時間：2023-06-14 16:36:14
導(dǎo)語：在數(shù)學(xué)公式和定理的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合 凹凸性 求導(dǎo)公式 積分公式
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常遇到的一個問題就是學(xué)生記不住一些常用的數(shù)學(xué)公式，或者是隨著時間的推移，將一些數(shù)學(xué)公式記錯、記混，從而影響學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和后續(xù)知識的學(xué)習(xí).有一些學(xué)生因記不住數(shù)學(xué)公式而厭惡數(shù)學(xué)，進(jìn)而認(rèn)為數(shù)學(xué)就是套公式，他們學(xué)不好數(shù)學(xué)往往是因為記不住數(shù)學(xué)公式.這些認(rèn)識雖說具有很強(qiáng)的片面性，但從一個方面說明數(shù)學(xué)公式的掌握在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要性.
高等數(shù)學(xué)是建立在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之上的，一般來說，中學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)相對來說就比較吃力.但是，高等數(shù)學(xué)相較于中學(xué)數(shù)學(xué)又有一定的獨立性.中學(xué)數(shù)學(xué)涉及的知識面較窄，因此很注重技巧，而高職的高等數(shù)學(xué)相對來說涉及的知識面較廣，對技巧的要求少了許多，可以說是在反反復(fù)復(fù)地使用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.因而記住這些公式就顯得尤為重要.下面我就教學(xué)中遇到的幾個難于記憶的定理、公式提出了形象化的記憶方法，希望有助于學(xué)生的學(xué)習(xí).
一、凹凸性和極值的記憶
在極值和凹凸性的章節(jié)中有以下定理：
定理2：設(shè)在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么
這兩個定理涉及二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，我在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生往往會用錯這兩個定理.為此，我們提出了用一個蹺蹺板的圖形幫助學(xué)生記憶這兩個定理.解釋如下：圖中的水平線代表0，支點位置為一階導(dǎo)數(shù)，蹺蹺板的兩端，一端是函數(shù)f（x），一端是二階導(dǎo)數(shù)f″（x），很明顯，當(dāng)f″（x）>0時，蹺蹺板一端高于水平面，另一端比低于水平面，可以想象為極小和凹.類似地，當(dāng)f″（x）
二、三角函數(shù)的求導(dǎo)和積分公式
三角函數(shù)的積分和求導(dǎo)公式比較多，記憶難度較大，因此是學(xué)習(xí)的難點所在.即使剛開始記住了，時間長了也容易混淆.為了幫助學(xué)生記憶，我們引入如下圖形（注意第二個圖形中的負(fù)號）：
（2）積分：如果被積函數(shù)是兩個頂點的乘積，則結(jié)果是另外一個頂點：
教學(xué)實踐表明，簡單的圖形在幫助學(xué)生學(xué)習(xí)方面起到了很好的作用.本文僅是拋磚引玉，希望今后能看到更多更好的相關(guān)文章.
參考文獻(xiàn)：
關(guān)鍵詞：公式；定理；知識的發(fā)生；知識的發(fā)展
中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-0568（2013）36-0157-03
公式和定理揭示了數(shù)學(xué)知識的基本規(guī)律，具有一定的形式符號化的抽象性和概括性的特征，是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展水平發(fā)展的重要學(xué)習(xí)載體，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系的重要組成部分，是數(shù)學(xué)推理論證的重要依據(jù)。因此，公式和定理的教學(xué)是基礎(chǔ)知識教學(xué)的重要組成部分。按照課程標(biāo)準(zhǔn)的定位，高中數(shù)學(xué)公式和定理大部分是需要達(dá)到掌握的層次，即必須明了知識的來龍去脈，領(lǐng)會知識的本質(zhì)，能從本質(zhì)上把握內(nèi)容、形式的變化，對其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法也要加以掌握。
長期以來，由于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)知識源遠(yuǎn)流長，不可能再有什么創(chuàng)新，更不太可能要求學(xué)生發(fā)明創(chuàng)造新的初等數(shù)學(xué)的結(jié)論。同時，基于高考升學(xué)的壓力，數(shù)學(xué)教師普遍對定理、公式課的教學(xué)重視不夠，數(shù)學(xué)公式和定理教學(xué)容易產(chǎn)生“一背二套、公式加例題”的形式，在數(shù)學(xué)課堂中更多地重視“解題訓(xùn)練”，習(xí)慣了“滿堂灌”的模式，這種形式的教學(xué)往往使學(xué)生的頭腦里只留下公式、定理的外殼，而忽視他們的來龍去脈，不明確它們運用的條件和范圍，代之以更多地靠背誦數(shù)學(xué)的結(jié)論和公式，盲目、機(jī)械地去進(jìn)行模仿，在茫茫的題海中漫游，學(xué)生不知不覺地成了知識的容器。在這樣的課堂上，學(xué)生思維的時間和空間無情地失去了，長此下去，學(xué)生很用功，書本知識很純熟，但動手能力差，學(xué)生對數(shù)學(xué)問題根本不可能進(jìn)行深入的思考和探究，更不可能有創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神。
如何在新課改下的數(shù)學(xué)公式和定理的教學(xué)中，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，提高教學(xué)效率，并大面積提高教學(xué)質(zhì)量呢？通過教學(xué)實踐，筆者認(rèn)為，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)做好以下幾方面的工作，從而提高定理教學(xué)的質(zhì)量。
一、知識的發(fā)生階段
在公式定理的教學(xué)中，如何一開始就把學(xué)生的興趣調(diào)動起來，把學(xué)生吸引住，激發(fā)他們的求知欲，是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生探索能力的關(guān)鍵。在教學(xué)實踐中，筆者主要采取了如下幾種比較有效的引入方式：
1.注重與生活實際相結(jié)合。建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)，學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)教室的。在日常生活中，在以往的學(xué)習(xí)中，他們已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現(xiàn)象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現(xiàn)成的經(jīng)驗，但當(dāng)問題一旦呈現(xiàn)在面前時，他們往往也可以基于相關(guān)的經(jīng)驗，依靠自身的認(rèn)知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經(jīng)驗背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設(shè)。因此，在教學(xué)中，教師不能無視學(xué)生的這些經(jīng)驗，另起爐灶，從外部裝進(jìn)新知識，而是要把學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，引導(dǎo)他們從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗。
例如，在等差數(shù)列通項公式的教學(xué)中，通過如下問題引入：1682年，英國天文學(xué)家哈雷發(fā)現(xiàn)一顆大彗星描繪的曲線和1531年、1607年的彗星驚人的相似，便大膽斷定，這是同一天體的三次出現(xiàn)，并預(yù)言它將于76年后再度回歸。這就是著名的哈雷彗星。它的回歸周期大約是76年，請你查找資料，列出哈雷彗星的回歸時間表，并預(yù)測它在本世紀(jì)回歸的時間。學(xué)生通過審題分析可以很快得出結(jié)論，這個時候再提出等差數(shù)列的通項公式就水到渠成，相當(dāng)自然。
2.學(xué)會從實驗去歸納猜想。著名數(shù)學(xué)教育家G?波利亞曾指出：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，從這個方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門實驗性的歸納科學(xué)，在定理教學(xué)時，教師也可以設(shè)置實驗引入，引導(dǎo)學(xué)生通過實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)定理。
以二項式定理的教學(xué)為例，二項式定理是兩個計數(shù)原理的典型應(yīng)用，為了引導(dǎo)學(xué)生追本溯源，把二項式定理的研究還原到應(yīng)用計數(shù)原理的思考上來，在本節(jié)課教學(xué)時，筆者進(jìn)行了精心設(shè)計，下面是其中的部分教學(xué)設(shè)計：
問題1：兩個粉筆盒，每個盒里各有一紅一白兩支粉筆，現(xiàn)連續(xù)抽取兩次，每個粉筆盒各抽一支粉筆，問：有多少種不同的抽取結(jié)果？
（學(xué)生小組合作討論，得出可能結(jié)果。教師板書學(xué)生陳述的結(jié)果于黑板右側(cè)，并引導(dǎo)學(xué)生分別用分步和分類兩個原理加以說明。）
（1）分步乘法計數(shù)原理：2×2=4。
（2）分類加法計數(shù)原理：抽取結(jié)果分為三大類。
①兩白？邛白1白2？邛1？邛C
②一白一紅？邛白1紅2？邛1
白2紅1？邛12？邛C
③兩紅？邛紅1紅2？邛1？邛C
問題1設(shè)計意圖：從粉筆盒取粉筆生動形象，學(xué)生比較熟悉，解決起來得心應(yīng)手。
問題2：你能夠得出（a+b）2的展開式嗎？（教師板書于黑板中間）
問題3：對比取粉筆的過程，思考（a+b）2與它有什么共同之處？描述這些共同之處。（教師引導(dǎo)學(xué)生從項數(shù)、項的次數(shù)、各項的項數(shù)對（a+b）2進(jìn)行分析。）
學(xué)生小組合作，得出如下結(jié)論：
項數(shù)：2+1
項次數(shù)： 展開項的各項均為二次，a降冪b升冪，每一項可記為a2-kbk，k∈{0，1，2}
各項的項數(shù)：a2？邛a2b0？邛C
ab？邛a1b1？邛C
b2？邛a0b2？邛C
問題2設(shè)計意圖：把新問題回歸到已掌握的知識上，體會知識之間的聯(lián)系與問題的解決；體會展開式中系數(shù)的由來。
探究活動一：學(xué)生獨立探究（a+b）3的展開式，并請學(xué)生展示探究過程：（學(xué)生依舊選擇了取粉筆的過程，改為三個粉筆盒）
（a+b）3=C a3+C a2b+C ab2+C b3
=a3+3a2b+3ab2+b3
活動一設(shè)計意圖：再次理解取粉筆問題和展開式的聯(lián)系，特別是展開式各項的系數(shù)與取粉筆過程中分類計數(shù)原理的聯(lián)系。
探究活動二：請大家思考（a+b）n=？
（a+b）n=C an+C an-1b+C an-2b2+……+C bn n∈N*
活動二設(shè)計意圖：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想。
活動三：請哪位同學(xué)能對比剛剛的（a+b）2的分析過程，分析（a+b）n的展開式。
項數(shù)：n+1
項次數(shù)：展開項的各項均為二次，a降冪b升冪，每一項可記為an-kbk
活動三設(shè)計意圖：由特殊到一般，再次用計數(shù)原理歸納并證明的過程。
在這一設(shè)計中，學(xué)生經(jīng)過從粉筆盒抽粉筆的實踐操作，發(fā)現(xiàn)了（a+b）2的各項展開式系數(shù)與計數(shù)原理應(yīng)用下的抽粉筆的結(jié)果之間的聯(lián)系，然后經(jīng)過類似實驗得到 （a+b）3中類似的結(jié)論，由此猜想（a+b）n的展開式，從而輕松得到二項展開式定理。
3.注重知識類比引入。數(shù)學(xué)知識不是孤立存在的，學(xué)生可以應(yīng)用已經(jīng)掌握的公式、定理推導(dǎo)新的公式定理，也可以通過對知識點的相同、相通之處分析，采取類似的方法。
例如，在正弦定理的教學(xué)中，部分引入的教學(xué)設(shè)計為：
問題1：初中時，在三角形中，邊和角有什么樣的關(guān)系？
學(xué)生答：大邊對大角，小邊對小角。
問題2：已知RtABC中，∠C是最大角，所對的斜邊c是最大的邊，邊和角有什么關(guān)系？
學(xué)生思考后，作圖分析，得出結(jié)論：根據(jù)正弦函數(shù)的定義，■=sinA，■=sinB，所以■=■=c，又sinC=1，所以■=■=■
問題2設(shè)計意圖：直角三角形是學(xué)生已經(jīng)掌握的三角形，學(xué)生入手比較快，解答比較容易。
問題3：已知ABC中，A角對a邊，B角對b邊，C角對c邊，邊和角有什么關(guān)系？
學(xué)生類比問題2的解答，作圖，分類討論得出結(jié)論：■=■=■
問題3設(shè)計意圖：類比特殊三角形進(jìn)行推廣。
學(xué)生對直角三角形的邊角關(guān)系很熟悉，當(dāng)在直角三角形中得出結(jié)論后，再次提出新問題，即其他三角形中是否也有類似關(guān)系？學(xué)生就很容易類比直角三角形進(jìn)行推導(dǎo)，得出結(jié)論。
二、知識發(fā)展階段
1.重視推導(dǎo)和證明。掌握數(shù)學(xué)知識的過程是一個建構(gòu)和再建構(gòu)的過程，而理解把原有知識變成更容易記和提取的知識，提高新知識的記憶程度。在傳統(tǒng)的定理教學(xué)中，學(xué)生因為不清楚定理的來龍去脈，對數(shù)學(xué)結(jié)論性的定理和公式只能生硬地記憶和套用，經(jīng)常出現(xiàn)書本例題和練習(xí)都會做，但稍有變式便無從下手的情況，這是因為學(xué)生沒有理解定理。沒有理解，知識就是孤立存在，各種知識分別占用記憶單位，記憶量大，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中苦不堪言。因此，在定理教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)匾?，發(fā)現(xiàn)定理后，學(xué)生的興趣被激發(fā)，對證明、推導(dǎo)有迫切感，此時，教師要緊緊抓住這一理想狀態(tài)，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，發(fā)揮學(xué)生的主導(dǎo)作用，能由學(xué)生自己解決的推導(dǎo)過程堅決不插手。同時，還要注意引導(dǎo)對學(xué)生推導(dǎo)進(jìn)行完善處理，注重分析推導(dǎo)方式的原因，思考有沒有別的方法，以擴(kuò)充學(xué)生的思維。學(xué)生經(jīng)過自己動手推導(dǎo)的思考和理解，漸漸地體會到數(shù)學(xué)是一個緊密的內(nèi)部聯(lián)系的整體，知識網(wǎng)絡(luò)之間非常有條理地聯(lián)系在一起，這些聯(lián)系是學(xué)習(xí)者通過努力去探索和嘗試而建立起來的，同時就建立了比較正確的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀和數(shù)學(xué)信念等。就在學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及關(guān)聯(lián)有了理解，對數(shù)學(xué)方法的運用有體會時，學(xué)生對數(shù)學(xué)及其應(yīng)用就會產(chǎn)生興趣，并產(chǎn)生學(xué)習(xí)更新、更深知識的欲望。
2.注重靈活應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。知識的學(xué)習(xí)是為了能運用定理公式進(jìn)行思維解決問題，在應(yīng)用訓(xùn)練中關(guān)注兩點：
（1）強(qiáng)調(diào)特例和成立條件。公式定理的成立是有一定條件的，學(xué)生學(xué)習(xí)公式定理的最大弱點是把公式作為萬能公式亂用亂套。因此，在教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)公式成立的條件。例如，在a+■≥2應(yīng)用中，a是有范圍限定的，如果a的取值改變，會導(dǎo)致結(jié)果改變。
（2）注重練習(xí)。依據(jù)認(rèn)識論的觀點，一個完整的教學(xué)過程必須經(jīng)過“由感性的具體上升到抽象的規(guī)定”和“再由抽象的規(guī)定發(fā)展到思維中的具體”這樣兩個科學(xué)、抽象的階段，因此，定理公式的應(yīng)用訓(xùn)練不可或缺。但練習(xí)的目的在于鞏固、深化概念，形成技能，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力。因此，選題要典型、靈活多樣，對題目的探討、挖掘要深入，切忌盲目的進(jìn)行題海戰(zhàn)術(shù)。
本文從機(jī)械領(lǐng)域?qū)＠臋?quán)利要求包含數(shù)學(xué)公式的保護(hù)范圍如何理解入手，針對包含了數(shù)學(xué)公式的權(quán)利要求，重點探討了機(jī)械領(lǐng)域技術(shù)人員應(yīng)如何更加準(zhǔn)確、客觀地做出新穎性/創(chuàng)造性的判斷結(jié)論。
1.權(quán)利要求包含數(shù)學(xué)公式的保護(hù)范圍的理解
《專利法》第五十九條第一款的規(guī)定：發(fā)明或者實用新型專利權(quán)的保護(hù)范圍以其權(quán)利要求的內(nèi)容為準(zhǔn)，說明書及附圖可以用于解釋權(quán)利要求的內(nèi)容?！秾＠麑彶橹改稀分杏诌M(jìn)一步規(guī)定：通常情況下，在確定權(quán)利要求的保護(hù)范圍時，權(quán)利要求中的所有特征均應(yīng)當(dāng)予以考慮，而每一個特征的實際限定作用應(yīng)當(dāng)最終體現(xiàn)在該權(quán)利要求所要求保護(hù)的主題上。在此基礎(chǔ)上，筆者認(rèn)為“采用數(shù)學(xué)公式限定的技術(shù)特征最終體現(xiàn)在權(quán)利要求所要求保護(hù)的主題上”應(yīng)當(dāng)包含了兩個方面的含義：
1.1第一層含義：以數(shù)學(xué)公式限定的技術(shù)特征，其實質(zhì)上是限定了一組數(shù)值范圍。
1.2第二層含義：數(shù)學(xué)公式本身就代表著一種“數(shù)學(xué)規(guī)律”，反映到權(quán)利要求所要求保護(hù)的主題上即為“請求保護(hù)的產(chǎn)品/方法涉及到公式中的各個參數(shù)所必須遵循一種規(guī)律”。
2.包含數(shù)學(xué)公式的權(quán)利要求的新穎性/創(chuàng)造性的判斷
在進(jìn)行新穎性/創(chuàng)造性的判斷之前，筆者建議，應(yīng)當(dāng)首先根據(jù)權(quán)利要求中所采用的數(shù)學(xué)公式是否是“本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識”，分為以下兩種情況并分別加以考慮：
2.1數(shù)學(xué)公式是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識
如果權(quán)利要求包含的數(shù)學(xué)公式經(jīng)過判斷屬于本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識，例如果該數(shù)學(xué)公式是教科書、工具書或技術(shù)手冊等現(xiàn)有技術(shù)明確記載的或者是本領(lǐng)域的慣用手段，則只要檢索到任意一組符合該數(shù)學(xué)公式的具體數(shù)值點即可以認(rèn)為公開了以數(shù)學(xué)公式進(jìn)行限定的技術(shù)特征，進(jìn)而得出權(quán)利要求不具備新穎性/創(chuàng)造性的結(jié)論。之所以沒有進(jìn)一步分析該數(shù)學(xué)公式的第二層含義的原因僅僅在于“該數(shù)學(xué)公式所代表的規(guī)律早已經(jīng)是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識”。因此，不需要再判斷現(xiàn)有技術(shù)是否給出第二層含義的技術(shù)啟示。下面，筆者結(jié)合案例進(jìn)行說明：
【案例】
權(quán)利要求：一種四聯(lián)桿傳動機(jī)構(gòu)，所述傳動機(jī)構(gòu)由活動絞接的四個傳動桿組成且共同構(gòu)成四邊形傳動機(jī)構(gòu)，其中所述四邊形的對角線的距離z滿足下述公式：Z2=X2+Y2-2XYcosA，其中x代表與對角線相鄰的長桿的長度，Y代表與對角線相鄰的短桿的長度，A代表長桿和短桿之間的夾角。
同時，權(quán)利要求中還分別限定了參數(shù)X，Y，A三個參數(shù)的數(shù)值范圍。
【案例分析】
其利用兩個桿的長度和兩個桿之間的夾角計算四邊形對角線的長度所采用的數(shù)學(xué)公式，實際上就是教科書早有記載的三角形計算邊長的“余弦定理”。因此，該數(shù)學(xué)公式是本領(lǐng)域技術(shù)人員所熟知的公知常識。在此前提條件下，本領(lǐng)域技術(shù)人員只需要檢索得到任意一個長桿和短桿的長度以及二者之間的夾角能符合該數(shù)學(xué)公式的四邊形傳動機(jī)構(gòu)即可，而不需要進(jìn)一步分析該數(shù)學(xué)公式的第二層含義是否已經(jīng)被現(xiàn)有技術(shù)公開。
2.2數(shù)學(xué)公式并非是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識，如果權(quán)利要求包含的數(shù)學(xué)公式并非是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識，則現(xiàn)有技術(shù)不僅應(yīng)當(dāng)能證明公開了上述第一層含義，還應(yīng)當(dāng)同樣能夠證明其公開了上述第二層含義或者能證明其給出了相關(guān)技術(shù)啟示，不能僅僅根據(jù)一個或幾個具體數(shù)值點就認(rèn)定公開了該數(shù)學(xué)公式進(jìn)而否定其新穎性/創(chuàng)造性。下面，筆者還是結(jié)合案例并進(jìn)行一些改進(jìn)后再加以分析說明：
【案例】
權(quán)利要求：一種四聯(lián)桿傳動機(jī)構(gòu)，傳動機(jī)構(gòu)由活動絞接的四個傳動桿組成且共同構(gòu)成四邊形傳動機(jī)構(gòu)，其中構(gòu)成四邊形的兩個相鄰桿之間長度滿足下述公式：X=aY+b，其中X，Y各自代表桿的長度，a，b為常數(shù)。
【案例分析】
四邊形傳動機(jī)構(gòu)中各個桿之間的長度關(guān)系需要滿足的上述公式并不是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識。在此基礎(chǔ)上，如何判斷該權(quán)利要求的新穎性/創(chuàng)造性，建議可從以下幾個方面考慮
2.2.1如果某一份現(xiàn)有技術(shù)中明確公開了上述數(shù)學(xué)公式，且其公開的桿的長度也滿足落入權(quán)利要求的數(shù)值范圍或部分重疊等條件，則可得出權(quán)利要求不具備新穎性/創(chuàng)造性的結(jié)論。
然而，實際情況中，本領(lǐng)域技術(shù)人員能夠獲得明確公開了上述數(shù)學(xué)公式的現(xiàn)有技術(shù)的可能性很小，所以這種理想情況并不多見。
2.2.2如果某份現(xiàn)有技術(shù)中明確公開了多組完全吻合該公式的具體的數(shù)值點，并且對于本領(lǐng)域技術(shù)人員來說，根據(jù)現(xiàn)有技術(shù)中公開的該多組具體的數(shù)值點，即可以很容易地推導(dǎo)得出上述公式，則可以認(rèn)為該權(quán)利要求相對于現(xiàn)有技術(shù)不具備創(chuàng)造性。然而，實際情況中，現(xiàn)有技術(shù)要“分毫不差”地公開完全吻合上述數(shù)學(xué)公式的具體的數(shù)值點，并且一個重要的前提條件還需要給出足夠多的點，該可能性也很小。
2.2.3如果某份現(xiàn)有技術(shù)中明確公開的多組具體的數(shù)值點并不完全吻合上述數(shù)學(xué)公式，但每一組具體數(shù)值點都無限逼近上述數(shù)學(xué)公式，則也應(yīng)視為與上述第（2）情況相同的情形處理。
這是因為實際情況中，很多數(shù)學(xué)公式所對應(yīng)的直線或曲線等圖形都是通過大量實驗得到具體數(shù)值點后再擬合得出的。由于實驗中存在著不可避免的誤差，因此，最終數(shù)學(xué)公式所對應(yīng)的直線或曲線等圖形是采用無限逼近點值的方式獲得，即不可能使所有的實際數(shù)值完全符合數(shù)學(xué)公式或完全落入擬合的曲線上。因此，如果某份現(xiàn)有技術(shù)中明確公開的多組具體的數(shù)值點雖然并不完全吻合上述公式，但每組具體數(shù)值點都無限逼近上述數(shù)學(xué)公式或?qū)?yīng)的曲線或直線等圖形，并且對于本領(lǐng)域技術(shù)人員來說，根據(jù)該現(xiàn)有技術(shù)中公開的多組具體的數(shù)值，采用同樣類似擬合的方式即可以推導(dǎo)得出上述數(shù)值公式，則可以認(rèn)為該權(quán)利要求不具備創(chuàng)造性。
[關(guān)鍵詞]：中學(xué)數(shù)學(xué) 觀察法 有效教學(xué)
科學(xué)始于好奇，發(fā)現(xiàn)始于觀察。觀察是一種有計劃、有目的、持久的知覺活動，是孩子們科學(xué)探究的起點，是人們認(rèn)識世界的開始。數(shù)學(xué)教學(xué)過程離不開觀察，通過觀察認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)、揭示數(shù)學(xué)的規(guī)律、探求數(shù)學(xué)方法。在教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)剡\用觀察來收集材料、發(fā)現(xiàn)新事物、探求解題方法與途徑，對于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，提高教學(xué)效果有很大作用。
一、創(chuàng)設(shè)情境，在觀察中理解數(shù)學(xué)概念
數(shù)學(xué)概念是客觀事物或現(xiàn)象的數(shù)學(xué)關(guān)系、空間形式的基本屬性在人們頭腦中的反映。教材中有許多數(shù)學(xué)概念，在實際生活中都可以發(fā)現(xiàn)它的現(xiàn)實原型。所以，在教學(xué)過程中，密切聯(lián)系現(xiàn)實原型，從學(xué)生接觸過或認(rèn)識過的事物去創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察，就能夠使學(xué)生比較容易地理解、接受數(shù)學(xué)概念，理解數(shù)學(xué)概念。
例如，在引入正、負(fù)數(shù)概念之前，我有意識地讓學(xué)生觀察“零上2℃，零下1℃”、“高于1.5米，低于0.5米”、“前進(jìn)1步，后退2步”等具有相反意義的量，從而使學(xué)生了解引進(jìn)新的數(shù)來表示這種實際問題的必要性，易于接受正、負(fù)數(shù)的概念：像2，1.5，1…這樣的數(shù)叫做正數(shù)，它們都比0大，在正數(shù)前面加上“－”號的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，如-1，-0.5，-2…。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中也常常通過觀察數(shù)學(xué)對象的“形”，來認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)。如為了研究一些函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、周期性、奇偶性等），就可觀察這些函數(shù)的圖象。
二、自主探究，在觀察中推導(dǎo)計算公式
數(shù)學(xué)公式是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，數(shù)學(xué)公式的形成，既離不開細(xì)致的觀察，也離不開合情的推理。因此，在教學(xué)中，我們在善于引導(dǎo)學(xué)生去觀察、善于讓學(xué)生體驗觀察帶來快樂的基礎(chǔ)上，注意引導(dǎo)學(xué)生去自主探究、去推導(dǎo)計算公式，往往會有意想不到的收獲。
例如，在教學(xué)“圓錐的側(cè)面積”時，我先讓學(xué)生制作一個圓錐形紙帽，再讓學(xué)生將制作好的圓錐形紙帽的側(cè)面展開，接著讓學(xué)生觀察圖形前后的變化。通過觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了圓錐的側(cè)面展開后的形狀是一個扇形，并且發(fā)現(xiàn)了該扇形半徑的長度等于展開前圓錐母線的長度，扇形的弧長相當(dāng)于圓錐底面圓的周長，圓錐的側(cè)面積就是展開后扇形的面積。聯(lián)系扇形面積計算公式：S扇形=12×扇形弧長×扇形半徑。這樣，學(xué)生很自然就推導(dǎo)出圓錐的側(cè)面積計算公式：S圓錐側(cè)=12×圓錐底面圓周長×圓錐母線長，若圓錐底面圓半徑為R，母線長為l，該公式記為S圓錐側(cè)=12×2πR×l=πRl。由此一來，學(xué)生對公式的理解以及運用就水到渠成，不僅會計算圓錐的側(cè)面積，而且對與圓錐有關(guān)的計算問題也能償試著將圓錐展開后通過觀察后得到解決。
這樣，通過學(xué)生的做一做、看一看、想一想，讓學(xué)生自主探究，體驗成功的快樂，讓不好懂、不易懂、不好記、不易記的知識變成易懂易記的知識。
三、設(shè)計問題，在觀察中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理
數(shù)學(xué)中的定理，是數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系的一種反映或描述，而數(shù)學(xué)對象之間的許多關(guān)系是從對數(shù)學(xué)對象的直接觀察中得來的。在數(shù)學(xué)定理的教學(xué)中，我們不妨精心設(shè)計一些問題，讓學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn)定理，當(dāng)一回“科學(xué)家”。
例如，在“角平分線的性質(zhì)定理”的教學(xué)中，我是這樣引導(dǎo)學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)該定理的：
1.老師：同學(xué)們，大家知道，許多定理都是用發(fā)現(xiàn)它的人的姓氏來命名的，如勾股定理，外國人稱之為畢達(dá)哥拉斯定理。你們想發(fā)現(xiàn)定理，想用自己的姓氏來命名定理嗎？（這段引言的目的是激發(fā)學(xué)生的探索欲望。）
2.幻燈片顯示∠AOB及其平分線OC。
3.提問與練習(xí)。
①角平分線的定義是什么？
②在練習(xí)本上任意畫∠AOB，再畫出這個角的平分線OC；
③點到直線的距離定義是什么？
④在∠AOB的平分線OC上任取一點P，畫出點P到∠AOB的兩邊的距離PD、PE，再在OC上任取另一點Q，畫出點Q到∠AOB的兩邊的距離QM、QN。
4.指導(dǎo)學(xué)生觀察并實驗。
①分別觀察點P、Q到∠AOB兩邊的距離的大小關(guān)系，并測量驗證；
②再在∠AOB的平分線OC上任取一些不同的點，觀察并測量驗證這些點到∠AOB兩邊的距離的大小關(guān)系；
③將∠AOB沿OC對折，線段PD、PE能重合嗎？線段QM、QN呢？
5.引導(dǎo)學(xué)生猜想：在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
6.引導(dǎo)學(xué)生論證，并指出這是角平分線的性質(zhì)定理。
學(xué)生通過觀察實驗猜想論證，充分調(diào)動了學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，很好地體驗了成功的喜悅，嘗試了當(dāng)一回“科學(xué)家”的快樂。
此外，對于線段的垂直平分線定理、垂徑定理、圓周角定理等，都可以在觀察中發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生在觀察中不知不覺地接受定理，理解定理，愉快地完成學(xué)習(xí)任務(wù)。
四、合作交流，在觀察中尋找解題突破口
數(shù)學(xué)解題需要透過觀察去認(rèn)識本質(zhì)，找出問題的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律。教學(xué)習(xí)題時，開展小組合作，讓學(xué)生邊觀察邊交流，有助于尋找解題的突破口，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和開拓性，從而開闊學(xué)生的解題視野。
例如,計算(1-122)(1-132)(1-142)…(1-120072)(1-120082)
對于這道題，很多同學(xué)不善于觀察，難于找到突破口，盲目地先算括號里面的算式，使問題復(fù)雜化，運算量增大，無法算出結(jié)果。在學(xué)生冥思苦想之際,我引導(dǎo)學(xué)生開展小組合作，去觀察算式中的規(guī)律，并交流觀察結(jié)果，學(xué)生通過細(xì)心觀察，發(fā)現(xiàn)了每個小括號里的算式都是1與一個分?jǐn)?shù)的平方的差，分?jǐn)?shù)的分母依次為2，3，4，…2007，2008，且細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)1=12，因此，該算式每個括號里都隱藏著一個平方差公式。這樣，就可將每個括號里的多項式運用平方差公式進(jìn)行因式分解，于是原式= (1-12)×(1+12)×(1-13)×(1+13)…×(1-12007)×(1+12007)×(1-12008)×(1+12008) =12×32×23×43×34…20062007×20082007×20072008×20092008。
再觀察上式，又可發(fā)現(xiàn)第2個分?jǐn)?shù)與第3個分?jǐn)?shù)互為倒數(shù)，它們的乘積為1，第4個分?jǐn)?shù)與第5個分?jǐn)?shù)互為倒數(shù)…，由此可得原式=12×1×1…×20092008=20094016。
一、巧用方法，激發(fā)閱讀欲望
閱讀是學(xué)生學(xué)習(xí)的前提與基礎(chǔ)，但要想讓學(xué)生自主閱讀，則需要讓學(xué)生產(chǎn)生閱讀的興趣與欲望。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要采取有效策略，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀興趣，從而激發(fā)學(xué)生自主閱讀欲望。
首先，巧設(shè)問題情境，誘發(fā)閱讀的動力。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，問題情境是喚起學(xué)生主動學(xué)習(xí)的有效手段，也是激發(fā)學(xué)生閱讀興趣的重要途徑。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要圍繞教學(xué)內(nèi)容，充分考慮學(xué)生的年齡與心理特點，選取適宜的材料（如數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)故事等），設(shè)置豐富多樣、有趣生動的問題情境（如認(rèn)知沖突情境、矛盾情境、懸念情境、選擇情境、復(fù)習(xí)情境等），引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，使學(xué)生進(jìn)入思維興奮狀態(tài)，產(chǎn)生閱讀欲望，主動閱讀，探究問題，解決問題。如教學(xué)“黃金分割”時，教師利用多媒體展示和“黃金分割”有關(guān)的視頻或圖片，如東方明珠塔的視頻、芭蕾舞演員圖片，并提出問題：①東方明珠塔是世界第三高塔，有兩個球體，假設(shè)你是設(shè)計師，會將球體安放于哪一位置呢？②芭蕾舞演員為何要踮起腳？這些為何會給人以平衡、和諧、美的感覺呢？這些都與“黃金分割”有關(guān)，那么什么是“黃金分割”呢？“黃金分割”在日常生活中還有哪些應(yīng)用呢？若要解決上述問題，學(xué)生需要閱讀教材，提煉信息。這樣，利用問題情境，誘發(fā)學(xué)生閱讀的積極性，學(xué)會通過自主閱讀獲取知識。
其次，組織閱讀交流活動，增強(qiáng)學(xué)生的閱讀興趣。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于學(xué)生能力不同、基礎(chǔ)不同，他們的閱讀能力與自制程度有所不同，閱讀效果也不盡相同。在集體學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生之間會相互影響，如果學(xué)生處于濃厚的閱讀氛圍中，自然而然地會進(jìn)行閱讀。因此，為了進(jìn)一步提高學(xué)生的閱讀熱情，教師可以不定期地組織閱讀交流會，讓同學(xué)們交流討論，相互分享自己的閱讀體會與經(jīng)驗。這樣，既可以提高學(xué)生閱讀的積極性，又可以在相互啟發(fā)與促進(jìn)中提高閱讀的興趣與能力。另外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)小論文、讀書筆記。讀寫結(jié)合，既可以強(qiáng)化閱讀的效果，也有助于學(xué)生形成良好的閱讀習(xí)慣。
二、指導(dǎo)方法，提高閱讀能力
在初中階段，雖然學(xué)生有了一定的自學(xué)能力，能夠進(jìn)行自主閱讀，但有些學(xué)生由于閱讀的方法不正確，費時耗力，導(dǎo)致閱讀效率不高，而影響閱讀興趣。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要在日?；顒又星擅畹貪B透對學(xué)生的方法指導(dǎo)，以提高學(xué)生的閱讀能力。
第一，指導(dǎo)預(yù)習(xí)，使學(xué)生形成正確的閱讀習(xí)慣。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可利用課前幾分鐘，要求學(xué)生自主預(yù)習(xí)，并指導(dǎo)預(yù)習(xí)方法，從而促進(jìn)學(xué)生閱讀能力的提升。對于一些內(nèi)容較為簡單的學(xué)習(xí)材料，教師可預(yù)留預(yù)習(xí)時間，引導(dǎo)學(xué)生自主閱讀。當(dāng)然，為了提高閱讀效率，教師應(yīng)盡量根據(jù)知識要點、重點與難點制定相應(yīng)的預(yù)習(xí)提綱或思考題，讓學(xué)生明確閱讀目標(biāo)，有方向地進(jìn)行閱讀與思考，初步感知數(shù)概念、數(shù)學(xué)公式等，并提出自己的疑惑。如教學(xué)負(fù)數(shù)時，教師可留出一定的預(yù)習(xí)時間。要求學(xué)生閱讀課本內(nèi)容，初步了解正、負(fù)數(shù)的概念，并說說生活中還有哪些相反意義的量。另外，教師還可以先要求學(xué)生閱讀材料，然后提問，檢測學(xué)生閱讀效果，從而更有針對性地指導(dǎo)學(xué)生閱讀方法。
第二，在知識教學(xué)中，滲透對學(xué)生閱讀方法的指導(dǎo)。數(shù)學(xué)知識包括概念、定理、數(shù)學(xué)應(yīng)用題、幾何知識等，對于不同知識的閱讀，其方法也有所不同。因此，在教學(xué)過程中，教師要將閱讀指導(dǎo)貫穿于不同的知識中。如在教學(xué)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式等基礎(chǔ)知識時，教師要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效閱讀的技巧與方法：理解定義、公式中的相關(guān)符號、數(shù)學(xué)術(shù)語，并了解其邏輯關(guān)系，把握語言文字、數(shù)學(xué)符號與相應(yīng)圖形的轉(zhuǎn)化，透徹地理解數(shù)學(xué)定義、公式等知識。如勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。再如教師可以以圖形直觀地呈現(xiàn)各類特殊四邊形之間的關(guān)系，加深學(xué)生對定義的理解。同時，還要注意知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
一、重視在概念、定義教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維
數(shù)學(xué)中的定義是通過揭示其本質(zhì)而來的，定義都是充要條件，均為可逆的。所以，其命逆題也是成立的。因此，定義即是某一個數(shù)學(xué)概念的判定方法，也是這一概念的性質(zhì)。在教學(xué)中應(yīng)充分利用這一特征，尤為注意定義的逆用解決問題。在定義的教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解定義本身及其應(yīng)用外，還要善于引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生逆向思考，從而加深對定義的理解與拓展。
如絕對值是這樣定義的：“正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零”除了從正向去理解計算，還要教學(xué)生逆向去理解，如“計算︱5︱=？︱-5︱=？”，這是從正向去理解計算，“一個數(shù)的絕對值等于5，這個數(shù)是多少？”這是逆向去理解計算。
二、重視數(shù)學(xué)公式、法則、性質(zhì)的可逆性教學(xué)
數(shù)學(xué)公式本身是雙向的，由左至右和由右至左同等重要，但習(xí)慣上講究由左至右或化繁為簡的順序。為了防止學(xué)生只能單向運用公式，教師應(yīng)通過對公式的推導(dǎo)、公式的形成過程與公式的形式進(jìn)行對比，探索公式能否逆向運用，從而培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力和逆用公式，鼓勵他們別出心裁地去解決問題，在“活”字上下工夫。
公式從左到右及從右到左，這樣的轉(zhuǎn)換正是由順向思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力的體現(xiàn)。因此，當(dāng)講授完一個公式及其應(yīng)用后，緊接著舉一些公式的逆應(yīng)用的例子，可以開闊學(xué)生的思維空間。
三、重視引導(dǎo)學(xué)生探討命題（定理）的逆命題
每個定理都有它的逆命題，但逆命題不一定成立，經(jīng)過證明后成立即為逆定理。在平面幾何中，許多的性質(zhì)與判定都有逆定理。因此教學(xué)時應(yīng)重視定理和逆定理，強(qiáng)調(diào)其可逆性與相互性，對培養(yǎng)學(xué)生推理證明的能力很有幫助。例如：“互為余角”的定義教學(xué)中，可采用以下形式：∠A+∠B=90°，∠A、∠B互為余角（順向思維），∠A、∠B互為余角?！螦+∠B=90°（逆向思維）。
當(dāng)然，在平常的教學(xué)中，教師本身應(yīng)明確哪些定理的逆命題是真命題，才能適時給學(xué)生以訓(xùn)練。如：平行線的性質(zhì)與判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定等，注意它的條件與結(jié)論的關(guān)系，加深對定理的理解和應(yīng)用，重視逆定理的教學(xué)對開闊學(xué)生思維視野，活躍思維大有益處。
四、注意逆向思維能力的培養(yǎng)
1.在解題中進(jìn)行逆向思維能力的培養(yǎng)
我們知道，解數(shù)學(xué)題最重要的是尋求解題思路，這就需要我們解題之前，綜合運用分析和綜合或先順推，后逆推；或者先逆推，后順推；或者邊順推邊逆推，以求在某個環(huán)節(jié)達(dá)到統(tǒng)一，從而找到解題途徑。由此可見，探求解題思路的過程也存在著思維的可逆性，它們相輔相成，互相補(bǔ)充，以達(dá)到此路不通彼路通的效果。中學(xué)數(shù)學(xué)課本中的逆運算、否命題、反證法、分析法、充要條件等都涉及到思維的逆向性，在數(shù)學(xué)解題中，通常是從已知到結(jié)論的思維方式，然而有些數(shù)學(xué)總是按照這種思維方式則比較困難，而且常常伴隨有較大的運算量，有時甚至無法解決，在這種情況下，只要我們多注意定理、公式、規(guī)律性例題的逆用，正難則反，往往可以使 問題簡化，經(jīng)常性地注意這方面的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。
2.教學(xué)設(shè)計中進(jìn)行逆向思維教學(xué)的運用
教學(xué)設(shè)計是中不僅注意反映教材的重點、難點，還要注意到對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，特別要注意逆向思維的運用。因此經(jīng)常逆向設(shè)問，以培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識。
同時教師應(yīng)經(jīng)常地、有意識地從正反兩反面探索數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生從對立統(tǒng)一中去把握數(shù)學(xué)對象，解決數(shù)學(xué)問題。
教師在總結(jié)思維過程時應(yīng)告訴學(xué)生有的問題從“正面”不易解答時，從其“反面”思考往往有突破性效果。通過分析啟發(fā)很容易掌握，既激發(fā)了學(xué)生解題興趣，又培養(yǎng)了學(xué)生正確思維方法和良好的思維習(xí)慣，思維能力逐步提高。因式分解一章教材本身就明確提出了“因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系”，教學(xué)中抓住“互逆”、“反過來”這條主線，就能讓學(xué)生真正理解因式分解的意義，并得到逆向思維的訓(xùn)練從而提高思維能力。
3.鞏固對逆向思維的理解和掌握
一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的重要作用
初中數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很重要的意義，所以數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)中得到應(yīng)有的重視。通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化，能夠了解到數(shù)學(xué)家的奮斗歷程，在數(shù)學(xué)上杰出的貢獻(xiàn)和數(shù)學(xué)家在科研上刻苦鉆研的精神。數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)研究上認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木?，以及刻苦鉆研的態(tài)度，能夠調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，讓學(xué)生在潛意識中愿意向這些數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)，從而使自己在數(shù)學(xué)上也能取得優(yōu)異的成績。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化可以提升學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的能力，幫助學(xué)生記憶數(shù)學(xué)內(nèi)容。在中國的歷史上也有很多著名的數(shù)學(xué)家，如祖沖之、華羅庚、陳景潤等，他們?yōu)閿?shù)學(xué)做出了很多貢獻(xiàn)。例如，祖沖之曾將圓周率π確定到小數(shù)點后七位，當(dāng)時處于世界上的領(lǐng)先水平，是我國數(shù)學(xué)歷史上的杰出成就。教師通過講解這些數(shù)學(xué)文化，可以豐富課堂上的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識。
二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的現(xiàn)狀分析
新課程背景下，數(shù)學(xué)文化正逐漸走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，但是教師對于數(shù)學(xué)文化的重視程度不夠，弱化了對數(shù)學(xué)文化的教學(xué)。而對于學(xué)生而言，由于在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上對于數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用比較少，久而久之也就忽視了這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)。兩方面原因?qū)е聰?shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透非常有限，學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的了解程度也就少之又少。課堂教學(xué)中只注重學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)而弱化對數(shù)學(xué)文化的滲透。教師在數(shù)學(xué)課堂，對于數(shù)學(xué)的教學(xué)主要是數(shù)學(xué)技能的培養(yǎng)，教學(xué)目的主要圍繞提升學(xué)生的解題能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。數(shù)學(xué)文化在課本上的體現(xiàn)也在次于理論知識的位置，所以，數(shù)學(xué)文化不能得到足夠的重視，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時忽視數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)。
三、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的實踐途徑
1.從課堂抓起，滲透數(shù)學(xué)文化
要提高初中生的數(shù)學(xué)文化儲備，不能只停留在口頭上，要在實踐中不斷提高學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)能力，就要求教師在教學(xué)中，采取科學(xué)合理的途徑幫助學(xué)生進(jìn)行提高，通過對數(shù)學(xué)文化進(jìn)行不斷的滲透，使學(xué)生在潛移默化中受到影響。要讓學(xué)生了解更多的數(shù)學(xué)文化，就要挖掘教材中可用的材料，將數(shù)學(xué)文化與教材內(nèi)容結(jié)合，通過數(shù)學(xué)文化來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。例如，在學(xué)習(xí)幾何“三角形”這部分內(nèi)容時，教師可以在課程開始之前，給學(xué)生講解勾股定理的由來，以及勾股定理在中國的發(fā)展史等內(nèi)容，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)。
2.講解數(shù)學(xué)名家故事，鍛煉學(xué)生意志
教師在講解每一部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容之前，都可以用一段簡短的時間為學(xué)生講解一個著名的數(shù)學(xué)家刻苦鉆研的事例或者一些數(shù)學(xué)家的名人軼事。通過這些內(nèi)容的講解，可以增加學(xué)生對數(shù)學(xué)家的了解，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)意志。并且講解這些內(nèi)容也使數(shù)學(xué)課堂變得更加豐富多彩，可以有效地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。例如，我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤在數(shù)學(xué)上有很多偉大的成就。他在青年求學(xué)的過程中非常刻苦，他熱愛學(xué)習(xí)，經(jīng)常是書不離手。曾經(jīng)有一次，因為他還書的日期到了，但是書還差一點沒有讀完，他就在還書的路上一邊走，一邊讀，他讀書非常專注，以至于下雨了都渾然不知。這樣專注的學(xué)習(xí)態(tài)度是值得所有學(xué)生學(xué)習(xí)的，他的故事對于學(xué)生學(xué)習(xí)也會有很大的啟發(fā)，激勵學(xué)生努力學(xué)習(xí)，提高自己。
3.開展數(shù)學(xué)文化角，進(jìn)行課外延伸
最好的滲透數(shù)學(xué)文化的實踐途徑，就是以學(xué)生為主體，教師可以通過開展數(shù)學(xué)文化角的方式，進(jìn)行課外延伸，這樣可以培養(yǎng)閱讀習(xí)慣，增加學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的理解。例如，可以將班級文化墻的一部分作為數(shù)學(xué)文化板塊，讓同學(xué)們制作關(guān)于自己最喜歡的數(shù)學(xué)家的故事，或者名人軼事、數(shù)學(xué)公式來源等。再如，可以在課堂上帶領(lǐng)學(xué)生探訪一些歷史名題。如高斯也是一位偉大的數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)用技巧的算法快速算出從一到一百的和就是很好的例子，對于學(xué)生進(jìn)行數(shù)字規(guī)律的學(xué)習(xí)有很大的啟發(fā)作用。
四、結(jié)語
數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)的重要組成部分，與數(shù)學(xué)有不可分割的關(guān)系。通過數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以更加了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史，以及數(shù)學(xué)公式的由來?，F(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，是歷代數(shù)學(xué)工作者努力的結(jié)晶，是數(shù)學(xué)的靈魂所在，是需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中了解的內(nèi)容。通過數(shù)學(xué)文化的滲透，可以加深學(xué)生的學(xué)習(xí)印象，幫助學(xué)生對所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行理解和記憶，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高有重要的意義。教師在教學(xué)中應(yīng)該注意對學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)，在數(shù)學(xué)課堂中更多地滲透數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生不僅學(xué)到數(shù)學(xué)技能，更認(rèn)識到數(shù)學(xué)精神。
參考文獻(xiàn)：
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一、經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程
新課標(biāo)指出：抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要關(guān)注概念實際背景與形成過程。教師在概念教學(xué)時，切忌直截了當(dāng)?shù)鼐投x講定義，應(yīng)更多地從概念的產(chǎn)生和發(fā)展過程中為學(xué)生提供思維情景，讓他們通過觀察、比較、概括，由特殊到一般，由具體到抽象，這樣才能保證學(xué)生理解和掌握新概念，而且也能使他們的抽象思維得到發(fā)展。
如數(shù)軸概念的教學(xué)，由于該概念涉及數(shù)形結(jié)合的思想，初一的學(xué)生要掌握這個概念有些難度，教師先出示下列問題：小張家向東走20米是書店，向西走30米是少年宮。若規(guī)定向東走為正，向西走為負(fù)，那么，小張從家出發(fā)，走到書店應(yīng)記作什么？走到少年宮記作什么？溫度計顯示零上20℃，零下3℃，你如何用有理數(shù)表示？
教師接著要求學(xué)生將上述兩個問題分別用簡單形象的圖示方法來描述它們，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提煉出它們的共同屬性：
①能用圖線表示事物的數(shù)量特征（可用同一直線上的線段來刻劃），②度量的起點（0℃和小張家），③度量的單位（溫度計每格表示1℃），④有表示相反意義的方向（向東為正，向西為負(fù)；零上為正，零下為負(fù)）。
這樣就啟發(fā)學(xué)生用直線上的點表示數(shù)，對于“表示相反意義的方向”用箭頭“”表示正方向，從而引進(jìn)“數(shù)軸”的概念。這樣做既符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，給學(xué)生留下深刻持久的印象，同時也有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使他們積極參與教學(xué)活動，有利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和素質(zhì)的提高。
二、感受數(shù)學(xué)公式、定理、法則的發(fā)現(xiàn)過程
數(shù)學(xué)公式、定理、法則是從現(xiàn)實世界的空間形式或數(shù)量關(guān)系中抽象出來的。教師在向?qū)W生講授某個定理、公式，一般不要一開始便直接把定理、公式“塞給”學(xué)生，而應(yīng)盡量通過創(chuàng)設(shè)一定的情景引導(dǎo)學(xué)生對具體的事物（數(shù)學(xué)現(xiàn)實模型）進(jìn)行觀察、測量、計算等實踐活動，來猜測定理、公式的具體內(nèi)容。如“積的乘方”法則的教學(xué)可設(shè)計為：先計算(2×3)2與22×32，比較它們的結(jié)果是否相等？再計算(－2×3)2與(－2)2×32，比較它們的結(jié)果是否相等？根據(jù)上面的算式，猜想(ab)2與a2b2是否相等？并給出說明。類似地提出：計算(2×3)3與23×33，比較它們的結(jié)果是否相等？再計算(－2×3)3與(－2)3×33，比較它們的結(jié)果是否相等？然后要求學(xué)生寫出類似問題并加以計算，根據(jù)上面的算式，猜想(ab)3與a3b3是否相等？并給出說明。有了上述問題引導(dǎo)學(xué)生猜想(ab)n的結(jié)果（n是正整數(shù)）。這樣，通過回憶復(fù)習(xí)舊知識，了解新舊知識之間的聯(lián)系，親身體驗到知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，加深了學(xué)生對定理本質(zhì)的理解，也促進(jìn)了學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化與發(fā)展。
三、體驗數(shù)學(xué)問題解法及拓廣的探索過程
著名數(shù)學(xué)教育家玻利亞的解題表強(qiáng)調(diào)解題的四個步驟，其中解題方法的探索和解題后的反思這兩個步驟往往為我們的教師所忽略，很多教師缺乏解題方法的探索過程，使學(xué)生對題目的解法感到突然，覺得老師的方法妙，但就是不知道是如何想出來的？因此，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)問題及拓廣問題的方法，切忌“掐頭去尾，燒中段”的解題教學(xué)模式。同時由于很多數(shù)學(xué)問題的解法具有多樣性，因此，教師要留給學(xué)生思考的空間，鼓勵學(xué)生發(fā)表自己的看法，從多角度、多側(cè)面思考問題。
例如，在講二元一次方程組的解的時候，我是這樣引入的：現(xiàn)有足夠的2元和1元的錢，要將1張10元的錢換成2元和1元的零鈔，問有多少種換法？同學(xué)們一下子興奮起來，通過討論，提出了這樣的方案：設(shè)換二元的x張，換1元的y張，列方程2x+y=10，解這個方程的非負(fù)整數(shù)解有6種換法。這樣學(xué)生對二元一次方程的解有了進(jìn)一步的認(rèn)識，也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想。當(dāng)我們學(xué)了“數(shù)據(jù)的收集”后，讓每個學(xué)習(xí)小組寫一份調(diào)查報告，學(xué)生興趣很濃，有的調(diào)查“班級同學(xué)每月零花錢的使用情況”，有的調(diào)查“每個家庭每月塑料袋的使用情況”，有的調(diào)查“每個同學(xué)的疊被情況”。然后專門用一課時在多媒體教室展示成果，學(xué)生熱情很高，學(xué)生再也不認(rèn)為數(shù)學(xué)是高深莫測的東西了。
這樣通過將課本例題的改造，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論并從多個角度解決問題，又通過類比、引申、推廣提出新的問題并加以解決，既能有效地掌握數(shù)學(xué)基本知識，又能培養(yǎng)學(xué)生探究問題的方法和策略。
四、重視過程教學(xué)應(yīng)注意的問題
教師加強(qiáng)過程教學(xué)時必須力求把數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含的最重要的思想方法揭示出來，將這些深層知識由潛形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)轱@形態(tài)，使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的朦朧感受轉(zhuǎn)變?yōu)槊魑?、理解和掌握，并領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的運用。
關(guān) 鍵 詞：高中數(shù)學(xué) 教學(xué)質(zhì)量 有效途徑
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，一方面要傳授數(shù)學(xué)知識，使學(xué)生具備數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的素養(yǎng)；另一方面，要通過數(shù)學(xué)知識的傳授，培養(yǎng)學(xué)生能力，發(fā)展智力，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個非常重要的方面，引起高度重視，在諸多能力中，思維能力是核心。
提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程。這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷。數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨特的作用。
說到考試能力，根本點就是要把學(xué)生在能力上的這種個體差異，通過試卷中的試題組合這種間接的測量方式，以分?jǐn)?shù)的量化形式體現(xiàn)出來。考試能力，就是要考查學(xué)生運用所學(xué)知識解決問題的能力。
那么如何通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力從而提高教學(xué)質(zhì)量昵？
一、培養(yǎng)邏輯思維能力、推理論證能力
數(shù)學(xué)思維的敏捷性，主要反映了正確前提下的速度問題。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，一方面可以考慮訓(xùn)練學(xué)生的運算速度，另一方面要盡量使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念、原理的本質(zhì)，提高所掌握的數(shù)學(xué)知識的抽象程度。因為所掌握的知識越本質(zhì)、抽象程度越高，其適應(yīng)的范圍就越廣泛，檢索的速度也就越快。另外，運算速度不僅僅是對數(shù)學(xué)知識理解程度的差異，而且還有運算習(xí)慣以及思維概括能力的差異。
因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)時刻向?qū)W生提出速度方面的要求，另外還要使學(xué)生掌握速算的要領(lǐng)。例如，每次上課時都可以選擇一些數(shù)學(xué)習(xí)題，讓學(xué)生計時演算；結(jié)合教學(xué)內(nèi)容教給學(xué)生一定的速算要領(lǐng)和方法；常用的數(shù)字，如20以內(nèi)自然數(shù)的平方數(shù)、10以內(nèi)自然數(shù)的立方數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、n、lg2、lg3的近似值都要做到“一口清”；常用的數(shù)學(xué)公式如平方和、平方差、立方和、立方差、一元二次方程的有關(guān)公式、對數(shù)和指數(shù)的有關(guān)公式、三角函數(shù)的有關(guān)公式、各種面積、體積公式、基本不等式、排列數(shù)和組合數(shù)公式、二項式定理、復(fù)數(shù)的有關(guān)公式、斜率公式、直線、二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程等等，都要做到應(yīng)用自如。實際上，速算要領(lǐng)的掌握和熟記一些數(shù)據(jù)、公式等，在思維活動中是一個概括的過程，同時也訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，而數(shù)學(xué)技能的泛化就成為能力。
數(shù)學(xué)思維功能僵化現(xiàn)象在學(xué)生中是大量存在的，這與學(xué)生平時所受的思維訓(xùn)練有很大關(guān)系。教師在教學(xué)過程中過分強(qiáng)調(diào)程式化和模式化；例題教學(xué)中給學(xué)生歸納了各種類型，并要求學(xué)生按部就班地解題，不許越雷池一步；要求學(xué)生解答大量重復(fù)性練習(xí)題，減少了學(xué)生自己思考和探索的機(jī)會，導(dǎo)致學(xué)生只會模仿、套用模式解題。灌輸式的教學(xué)使學(xué)生的思維缺乏應(yīng)變能力。因此，為了培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性，應(yīng)當(dāng)增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的變化性，為學(xué)生提供思維的廣泛聯(lián)想空間，使學(xué)生在面臨問題時能夠從多種角度進(jìn)行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”。教學(xué)實踐表明，變式教學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性有很大作用，在概念教學(xué)中，使學(xué)生用等值語言敘述概念，數(shù)學(xué)公式教學(xué)中，要求學(xué)生掌握公式的各種變形，都有利于培養(yǎng)思維的靈活性。
二、培養(yǎng)抽象概括能力和選擇判斷能力
數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的“過程”與“結(jié)果”的平衡，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得過程，而不是只注意數(shù)學(xué)活動的結(jié)果。這里，“經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得過程”的含義是什么呢？我們認(rèn)為，其實質(zhì)是要讓學(xué)生有機(jī)會通過自己的概括活動，去探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律。
必須指出的是，抽象概括能力的培養(yǎng)，不論采取何種教學(xué)方法，關(guān)鍵是要有正確的教學(xué)思想，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，把教學(xué)真正建立在學(xué)生自己的獨立探索、思考、理解的基礎(chǔ)上，真正給學(xué)生以獨立探索的機(jī)會，使他們在學(xué)習(xí)過程中有充分的自由思想空間，使學(xué)生有機(jī)會經(jīng)歷數(shù)學(xué)概括的全過程。但是，在教學(xué)實踐中，要做到這些并不容易，教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力往往并不完全信任，他們總怕學(xué)生出錯，總怕學(xué)生會浪費時間，總想攙扶著學(xué)生，甚至不惜去代替學(xué)生思維。而這些做法與培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力的要求是背道而馳的，也是與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本來面目不相符合的。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)概括的自身特點出發(fā)，在使用抽象的數(shù)學(xué)語言和符號表述數(shù)學(xué)定義、定理或原理之前，通過可觀察的（實物、圖形、圖表等等）、描述性的、可親身體驗的形式來傳播新的思想，從而引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使他們自己去試驗、構(gòu)造，用他們自己的語言去闡述和解釋，通過自己的獨立思維活動來學(xué)習(xí)知識。要為學(xué)生創(chuàng)造一種環(huán)境，使他們在其中扮演自主活動的角色，有發(fā)揮自己的聰明才智進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的機(jī)會，能自己去尋找需要的證據(jù)，獲得能夠反映自身特點的
對數(shù)學(xué)原理的解釋，在他們自己的水平上完成對數(shù)學(xué)原理的概括過程。我們應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)當(dāng)作一種科學(xué)探索的過程（當(dāng)然，它是在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的），而不要把它當(dāng)成是一種語言、一種高度抽象的理論。應(yīng)當(dāng)努力促使學(xué)生形成自己對數(shù)學(xué)的理解，并能用自己的語言來表達(dá)這種理解，而不要只是追求所謂的精確性。因為在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，精確而沒有理解，理解但不精確的現(xiàn)象都不少見。通過死記硬背而一字不差地重述一個定理，在任何時候都不能與理解一個定理劃上等號。
因此，在課堂教學(xué)中，只有以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力為重點，才能實際提高數(shù)學(xué)課的教學(xué)質(zhì)量。
參考文獻(xiàn)：
[1]鄒湘梅：《培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的探索》[J]安徽教育2003；