時間：2023-09-25 17:40:30
導語：在數學中的反證法的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領您探索更多的創(chuàng)作可能。
一、反證法的簡單介紹
反證法又稱歸謬法、背理法，是一種論證方式，屬于“間接證明” 的一種（引用于現行人教版數學教材）.所謂反證，就是將要證明的反面情況駁倒就可以了.首先假設原命題不成立（即我們在原命題的條件下，假定結論不成立），據此推導出明顯矛盾的結果，從而得出結論說原假設不成立，原命題得證.
關于反證法的邏輯依據不得不提兩個重要的思維方式――“矛盾律”和“排中律”.矛盾律：在同一論證過程中，兩個互相反對或互相否定的論斷，其中至少有一個是假的.排中律：任何一個命題判斷或思想或者為真或者為假（不真），二者必居其一. 法國數學家J?阿達瑪曾概括為：“這證法在于表明：若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾.”這就是說反證法并非直接證明命題的結論，先是提出與需證結論反面的假定，然后推導出和公理、定理、定義或與題中假設相矛盾的結果.這樣，就證明了與待證命題的結論相反的假設無法成立，從而肯定了原來待證命題.用反證法完成一個命題的證明，大體上有三個步驟：否定結論 推導出矛盾 結論成立.
二、反證法在數學解題中的應用
（一）在肯定性命題中的應用
即結論以“……總是……”、“……都……”、“……全……”等出現的，這類肯定性命題可以用反證法進行嘗試.
如（代數問題）求證：無論n是什么自然數，總是既約分數.
證明：假設不是既約分數，
令21n+4=k？琢 （1），14n+3=kb （2），（k，？琢，b？綴N，k>1）
既約，由（2）×3-（1）×2得3kb-2k？琢=1？圯3b-2？琢=，因為3？琢-2b整數，為分數，則3？琢-2b=不成立，故假設不成立，分數是既約分數.
（二）在否定性命題中的應用
即結論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現的命題.
（三）在限定性命題中的應用
在命題結論中含有“至少”、“不多于”、“至多”或“最多”等詞語.
如（代數問題，抽屜原理）把2110人分成128個小組，每組至少1人，證明：至少有5個小組的人數相同.
證明：如若128個小組中，沒有5個小組的人數相同.則至多有4個小組的人數相同.那么不同人數的小組是：128÷4=32個，對32個小組，我們這樣分組：有4個組每小組1人，有4個組每小組2人，有4個組每小組3人，依法分組……有4個組每小組32人，故有：
4×（1+2+3+……+32）=4×[32×（1+32）÷2]=2112
這樣2112-2110=2（人） ，多出2人.故以上多于1人或2人的某一個小組人數就減少1人或2人，那么相同人數的組數就比4個多了，即5個或多于5個以上. 故至少有5個小組的人數相同.
（四）在不等量命題中的應用
不等式是學生需掌握的一大重點.當不等式的反面情況比較少時，題中若要求證明不等式成立時，那么只需用反證法來證實其反面不成立.
（五）在互逆命題中的應用
已知原命題是正確命題，在求證其逆命題時可使用原命題結論，此時反證法為解題提供更多便捷.
如（平面幾何問題）
原命題：若四邊形有一個內切圓，則對邊之和必相等.
逆命題：若四邊形對邊之和相等，則它必有一個內切圓.
逆命題的證明：
三、對反證法運用的思考
（一）在解題時，仔細審題是第一步.當運用反證法時，正確否定命題的結論是首要問題.要使一個待證命題的結論成立，需根據正難則反的原則.從結論的反面來間接思考問題，值得注意的是命題結論的反面情況并非唯一.若結論的反設只有一種情況，稱之為簡單歸謬.例如，證明根號2是無理數，只需證根號2不是有理數.若結論的反面不止一種情況，稱之為窮舉歸謬.必須將所有可能情況全部例舉出來，并需要不重不漏地一一否定，只有這樣才能肯定原命題結論成立.例如，證明某類數不為正數，則可以從正數的反面負數與零入手.
（二）明確邏輯推理的特點
反證法的任務首先需否定結論導出矛盾.至于出現什么樣的矛盾，何時出現矛盾，矛盾是以何種方式存在，都是我們無法計算和預測的.證明的過程沒有一個機械的統(tǒng)一標準，但最終都會得到矛盾，而這個矛盾一般總是在命題的相關領域內進行考慮.例如，空間解析幾何，平面幾何，代數等問題常常與相關的公理、定理、定義等相聯(lián)系.正因為與這些公式的規(guī)則，定理相互矛盾，進而說明原結論的正確性.這便是反證法的推理特點.做到正確否定命題結論，嚴格遵守推理規(guī)則，推理過程中步步有理有據，矛盾出現時，證明就已完成.
（三）了解產生矛盾的種類
矛盾的出現有很多種，知道導致矛盾的種類，可以更迅速，更有效的解題.
數學命題的證明分直接證法和間接證法兩種．在間接證法中，最常見的是反證法．雖然平時我們接觸了相關方面的知識，但比較零散，對其概念、應用步驟、使用范圍等沒有系統(tǒng)的認識，并且由于數學命題的多樣性、復雜性， 哪些命題適宜用反證法很難給與確切的回答，本文就反證法的概念、分類、步驟以及哪些適宜從反證法出發(fā)進行證明的問題進行了歸納．
2 反證法的定義
什么是反證法？法國數學家阿達瑪曾對它做了一個精辟的概括：此證法在于表明：若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾．可見，利用推理中出現的矛盾可以證明數學中的一些結論，這就是反證法．
反證法是從一個否定原結論的假設出發(fā)，經過正確的推理而得到（與公理、定理、題設等）相矛盾的結論，由于推理和引用的證據是正確的，因此出現矛盾的原因只能認為是否定原結論的假設是錯誤的，從而得到原結論成立．
用反證法不是從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假或改證它的等價命題為真．
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“反證法”是數學中的一種重要的證明方法，不少的數學問題的證明都要用反證法，但是不少學生對學習反證法感到吃力。這里的原因除了與在證明過程中的其他因素有關外。還有一些阻力是來自學生心理上的障礙。其實心理障礙即使在使用直接證明方法時，也或多或少干擾著學生推理的順利進行。比如，看到兩個三角形相象時，思考過程中就老是受視覺上的支配而不自覺地用這兩個三角形全等作為條件來進行推理。這種來自心理上的障礙雖然老師們都能明顯的感覺到，但通常易把它與來自其他因素的推理障礙相混。沒有在客觀上把清除心理障礙當作突破反證法的教學難點來考慮。
二、克服反證法教學心理障礙
學生的心理結構的發(fā)展過程包括圖式—同化—順應—平衡等四個過程。當一個新知識出現時，學生首先是用舊的認識結構對其進行解釋與吸收，將新知識納入原有的認識結構之中。當原有的認識結構不能解釋，不能容納新知識時，則內部系統(tǒng)及對原有認識結構進行重新改組，擴大。使之足以包攝新知識，達到新的平衡。學生在以往學習的只是直接證明方法，推理中的每一步在感知上和邏輯上都不會與原有的知識系統(tǒng)和認識圖形相互矛盾。他們在具體證明某一題目時，只須將題目具體內容“同化”到他們原有的認識結構或演繹體系中去。這種感知上與邏輯上的一致性已經形成了他們進行演繹推理的心理基礎，成為他們達到心理平衡的依據。運用直接證明方法時，也有心理障礙存在，但那是由于在錯覺影響下，或在下意識作用下的原因所造成的。而學習反證法時，推理過程中出現的是感知與邏輯上矛盾的情形，與錯覺或下意識是不同的。要使學生真正掌握反證法。不將學生原有的演繹體系提高到更高的層次，也就是進行“順應”的過程，是不可能的。反證法的教學，不應拘泥于教材，宜采取分散難點，逐步滲透，不斷深化的方法。有步驟、有計劃地落實到教學之中，著重培養(yǎng)學生進行形式演繹的能力。
結果，指導學生練習時，一定要突出兩點：一是要將結論的反面當成新的已知條件后，才能由此推出矛盾的結果，否則就不能導致矛盾。二是推理要合乎邏輯，否則即使推出了矛盾后，也不能斷言假設不成立。也就是說在“歸謬”的過程中其推理應是無懈可擊的，其矛盾的產生并非別的原因，只因反設不成立所致。同時，導致矛盾又有如下幾種情況：一是與已知條件矛盾。
二是與已學定義、公理、定理相矛盾。三是與題設相矛盾。
3、“結論”的練習：“反證法”中的結論是指最后得出所證命題的結論。教學時，一定要嚴格要求“結論”準確。否則，將前功盡棄。
（四）比較辨析，恰當運用“反證法”
“反證法”在幾何、代數、三角等方面都能應用。教學時，為了擴展學生的視野，激發(fā)學生積極性，可適當補充這方面的練習題。另一方面，學生學了“反證法”之后，企圖什么證明題都想用“反證法”來證，結果使一些簡單問題復雜化了，以致弄巧成拙。教學時還應強調，什么時候用“直接證明法”，什么時候用“反證法”，應依所證命題的具體情況恰當使用。 原則上是“以簡
（一）淺顯事例引入“反證法”的基本思想
學生剛接觸“反證法”時，對于此法中根據排中律而“否定反面，肯定正面”的基本思想感到陌生。教學時，可通過學生已有實踐體會的淺顯的生活方面的事例讓學生逐步領會。開始將“反證法”用于解題時候，也宜于用學生已掌握的而且也是最淺顯的例子引入。
（二）精講例題，找出“反證法”的基本規(guī)律
有前面的基礎，就要注意講好每一個具有代表性的例題。特別是重要講好建立新概念或引出新方法時的第一個例題。教學時，宜于運用具體的幾何實例。逐步說明證明的過程，并啟發(fā)學生沿著思維規(guī)律進行思考，得出“反證法”的一般步驟和規(guī)律：
1、反設：將結論的的反面作為假設。
2、歸謬：將“反設”作條件，由此推出和題設或者和公理、定義、已證的定理相矛盾的結果。
3、結論：說明“反設”不成立，從而肯定結論不得不成立。
（三）加強練習，培養(yǎng)用“反證法”證題的基本能力
在學生初步領會“反證法”的基本思想，掌握“反證法”的基本方法以后，還應靠足夠的練習來逐步培養(yǎng)學生運用“反證法”證題的能力。練習要有針對性，要重點突出，根據“反證法”的特點，練習的著重點應放在“反設”、“歸謬”、“結論”三個方面。
1、“反設”的練習：“反設”即為“否定結論”，它是反證法的第一步，它的正確與否，直接影響著“反證法”的后續(xù)部分，學生初學時，往往去否定假設，教學時，應注意糾正。要突出“反設”的含義就是“將結論的反面作為假設”。在思考途徑上可指導學生按以下幾步進行：第一要弄清所證命題的題設和結論各是什么。第二找出結論的全面相反情況，注意不要漏掉又不要重復。第三否定時用“不”或“不是”加在結論的前面，再把句子化簡。
2、“歸謬”的練習：“歸謬”即“假定結論的反面成立，而導致矛盾?！本褪钦f將結論的反面作為條件后，經過邏輯推理，導出矛盾的結果，這不但是反證法的主要部分，而且也是核心部分。學生初學時，為宜”。一般來說，用“直接證法”的時候居多，但遇下列情況可考慮用“反證法”。
1、當直接證明某個命題有困難或不可能時，可考慮使用“反證法”。
2、否定性問題：在此類問題中，結論的反面即可能就更為具體，常常可以由此去推出矛盾，從而否定可能，而肯定了不可能。
3、唯一性問題：此類問題中，結論的反面是不唯一的，那么，至少可有兩個不同者，由此去推出矛盾，來否定不唯一，從而肯定唯一。
4、肯定性問題：此類問題中，有個帶肯定性的結論，其反面就是對前者的否定，由此去推出矛盾，從而使問題獲證。
有個很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友發(fā)現路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨有王戎沒動，王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的?！边@個故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃。這種間接的證法就是我們下面所要討論的反證法。
二、反證法的定義、邏輯依據、種類及模式
定義：反證法是從反面的角度思考問題的證明方法，屬于“間接證明”的一類，即肯定題設而否定結論，從而導出矛盾，推理而得。
種類：運用反證法的關鍵在于歸謬，因此反證法又稱為歸謬法。根據結論B的反面情況不同，分為簡單歸謬法和窮舉歸謬法。
模式：設待證的命題為“若A則B”，其中A是題設，B是結論，A、B本身也都是數學判斷，那么用反證法證明命題一般有三個步驟：
反設：作出與求證結論相反的假設；
歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；
結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。
三、反證法的適用范圍
1、否定性命題
即結論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現的命題，直接證法一般不易入手，而反證法有希望成功。
例求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個內角。求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個鈍角。
證明：假如∠A，∠B，∠C中有兩個鈍角，不妨設∠A＞900,且∠B＞900，則∠A+∠B+∠C＞1800。這與“三角形內角和為1800”這一定理相矛盾。故∠A，∠B均大于900不成立。所以，一個三角形不可能有兩個鈍角。
2、限定式命題
即結論中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等詞語的命題。
例在半徑為的圓中，有半徑等于1的九個圓，證明：至少有兩個小圓的公共部分的面積不小于。
證明：每個小圓的公共部分的面積都小于，而九個小圓共有個公共部分，九個小圓的公共部分面積要小于，又大圓面積為，則九個小圓應占面積要大于，這是不可能的，故至少有兩個小圓的公共部分面積不少于。
例已知方程，，中至少有一個方程有實數值，求實數的取值范圍。
分析：此題直接分情況用判別式求解就特別麻煩，可用反證法，假設三個方程都無實數根，然后求滿足條件的集合的補集即可。
證明：假設三個方程都無實根，則有：
解得
例已知m，n，p都是正整數，求證：在三個數中，至多有一個數不小于1．
證假設a，b，c中至少有兩個數不小于1，不妨設a≥1，b≥1，則 m≥n+p，n≥p+m．
兩式相加，得2p≤0，從而p≤0，與p是正整數矛盾．
所以命題成立．
說明“不妨設”是為了簡化敘述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各種情況時，證明過程是同樣的．
所求的范圍為、
3、無窮性命題
即涉及各種“無限”結論的命題。
例求證：是無理數。
分析：由于題目給我們可供便用的條件實在太少，以至于正面向前進一小步都非常困難。而無理數又是無限不循環(huán)的，“無限”與“不循環(huán)”都很難表示出來。當反設是有理數時，就增加了一個具體而有效的“條件”，使得能方便地將表示為一個分數。
證明：假設是有理數，則存在互質，使，從而，為偶數，記為，，，則也是偶數。由,均為偶數與、互質矛盾，故是無理數。
例求證：素數有無窮多個。
證明：假設素數只有n個：P1、P2……Pn，取整數N=P1?P2……Pn+1，顯然N不能被這幾個數中的任何一個整除。因此，或者N本身就是素數（顯然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一個），或者N含有除這n個素數以外的素數r，這些都與素數只有n個的假定相矛盾，故素數個數不可能是有限的，即為無限的。
四、運用反證法應注意的問題
1、必須正確否定結論
正確否定結論是運用反證法的首要問題。
如：命題“一個三角形中，至多有一個內角是直角”?！爸炼嘤幸粋€”指：“只有一個”或“沒有一個”，其反面是“有兩個直角”或“三個內角都是直角”，即“至少有兩個是直角”。
2、必須明確推理特點
否定結論導出矛盾是反證法的任務，但何時出現矛盾，出現什么樣的矛盾是不能預測的，也沒有一個機械的標準,有的甚至是捉摸不定的、一般總是在命題的相關領域里考慮（例如,平面幾何問題往往聯(lián)系到相關的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點。因此，在推理前不必要也不可能事先規(guī)定要得出什么樣的矛盾。只需正確否定結論，嚴格遵守推理規(guī)則，進行步步有據的推理，矛盾一經出現，證明即告結束。
五、小結
關鍵詞:逆向思維 培養(yǎng)思維品質
中圖分類號:G623.5文獻標識碼:A 文章編號:1673-0992(2010)05A-0145-01
逆向思維,是與人們長期形成的思維習慣相悖的思維方式,具有很強的創(chuàng)造性。因此,在數學教學中,注重對學生的逆向思維訓練,對激發(fā)學生的學習興趣,培養(yǎng)學生良好的思維品質是十分必要的,也是非常重要的。教學中要善于挖掘逆向思維訓練素材,不失時機的對學生進行訓練。筆者在長期教學活動別注重從以下幾方面挖掘逆向思維素材。
一、激發(fā)學生思維的興趣
外因是變化的條件,內因是變化的根據。興趣是最好的老師,因此在數學教學中教師應該想方設法激發(fā)學生思維的興趣,增強學生逆向思維的積極性。
(1)真正確立學生在教學中的主體地位。使學生成為主宰學習的主人、學習活動的主動參與者、探索者和研究者。
(2)實例引路。教師要有意識地剖析、演示一些運用逆向思維的經典例題,用它們說明逆向思維在數學中的巨大作用以及它們所體現出來的數學美,另一方面可列舉實際生活中的一些典型事例,說明逆向思維的重要性,從而逐漸激發(fā)學生思維的興趣,增強學生逆向思維的主動性和積極性。
(3)不斷提高教師自身的素質。教師淵博的知識和超凡的人格魅力也能在一定程度上激發(fā)學生學習興趣和思維的積極性和主動性。
二、幫助學生理順教材的邏輯順序
由于種種原因,教材的邏輯順序與學生的心理順序可能或多或少地存在著矛盾,而這些矛盾勢必妨礙學生思維活動的正常進行,因此,教師在鉆研教材時必須找出這些矛盾并幫助學生加以理順,只有這樣,才能保證學生思維活動的展開。例5ABC中,AB
作ADBC,垂足為D點,在BC上截取DE=BD,連結AE,則∠AEB=∠B. 過AC中點M作MP∥AE,交BC于P,MD就是所求的剪切線。剪下MPC,可以拼成等腰梯形ABPQ。 可見教師在備課時能及早發(fā)現教材的邏輯順序,發(fā)揮教材中互逆因素的作用
1.從定義的互逆明內涵
(1)重視定義的再認與逆用,加深對定義內涵的認識。許多數學問題實質上是要求學生能對定義進行再認或逆用。在教學實踐中,有的學生能把書上的定義背得滾瓜爛熟,但當改變一下定義的敘述方式或通過一個具體的問題來表述時,學生就不知所措了。因此在教學中應加強這方面的訓練。
逆用定義思考問題,往往能挖掘題中的隱蔽條件,使問題迎刃而解。
(2)過互逆定義把握定義間的聯(lián)系。指數函數與對數函數、函數與反函數等都是互逆的定義,互逆定義之間有著天然的聯(lián)系,教學中要著重使學生理解怎樣從一個定義導出另一個與它互逆的定義,向學生灌輸轉化的思想,揭示定義間相互聯(lián)系,當然也包括找出不同點。
2.從公式的互逆找靈感
(1)會公式的互逆記憶。很多數學問題是逆用公式的問題,要更好地解決這類問題,首先應該讓學生知道公式的互逆形式,學會公式的互逆記憶。
(2)逆用公式(包括公式變形的逆用)。往往可以使問題簡化,經常性地注意這方面的訓練可以培養(yǎng)學生思維的靈活性、變通性,使學生養(yǎng)成善于逆向思維的習慣,提高靈活運用知識的能力。公式逆用是學生常常感到困惑的一個問題,也是教學中的一個難點,教學中必須強化這方面的訓練。
3.從定理、性質、法則的互逆悟規(guī)律
數學中有許多可逆定理、性質和法則,恰當地運用這些可逆定理、性質和法則,可達到使學生將所學知識融會貫通的目的。
(1)讓學生學會構作已知命題的逆命題與否命題,掌握可逆定理、性質和法則的互逆表述。交換原命題的條件和結論,所得的命題是逆命題;同時否定命題的條件和結論,所得的命題是否命題。教學中要用一定的時間、適當的訓練量加強學生這方面的練習,打好基礎。
(2)掌握四種命題間的關系?；ツ婷}和互否命題都不是等價命題,而互為逆否關系的命題是等價命題。學生搞清四種命題間的關系,不僅能掌握可逆的互逆定理、性質、法則,而且能增強思維的嚴謹性和靈活性,培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力,也是科學發(fā)現的途徑之一。
(3)掌握反證法及其思想。反證法是一種間接證法,它是通過證明一個命題的逆否命來證明原命正確的一種方法,是運用逆向思維的一個范例。一些問題運用反證法后就顯得非常簡單,還有一些問題只能用反證法來解決,因此反證法是高中生必須掌握的一種數學方法。反證法的思想在其他學科和其他領域也有著廣泛的應用,應該重視。
(4)正確應用充要條件?！俺湟獥l件”是高中數學中一個重要的數學概念,是解決數學問題時進行等價轉換的邏輯基礎。一個定理如果有逆定理,那么定理、逆定理合在一起,就可構作一個充要條件。重視充要條件的教學,使學生能正確應用充要條件可培養(yǎng)學生的逆向思維能力。
三、采用直觀教學,為學生提供逆向思維的基礎
一、創(chuàng)設問題情境，讓學生在問題的處理中培養(yǎng)創(chuàng)新意識
數學是思維的體操，學生的思維孕育于問題之中。在數學教學中教師要精心創(chuàng)設問題情境，開啟學生思維的閘門，促使學生的思維活動有序開展。
1.創(chuàng)設問題情境，開啟學生思維之門。
問題是打開學生思維之門的鑰匙。在課堂教學中，教師要恰當準確地提出問題，將學生的思維引入佳境。如在“空間中直線與直線之間的位置關系”的教學中，我首先引導學生思考：同一平面內的兩條直線，其位置關系有哪幾種？空間中的兩條直線呢？在給學生出示了問題之后，我請學生觀察教室的墻角線，課桌面的邊線，教室的門沿線，思考它們所在的線面之間有什么樣的不同關系？用大家熟悉的事物，激起學生的探究意識，吸引他們積極主動地發(fā)散思維，思考問題。
2.注重啟發(fā)引導，保持思維的持續(xù)性。
人認識事物的過程是由具體事物到思維的抽象，再升華為思維的具體的過程。研究數學問題的過程一般都是從具體事物抽象為理性認知，在此過程中，將數學問題附著在數學例題之上，使被抽象出來的數學問題再回歸實踐。那么，如何實踐，從而保持思維的持續(xù)性呢？
首先，要讓學生有思維的時間。實踐表明，學生思考的時間如果非常短暫，思維就會很倉促，思維的全面與完整就會大打折扣，這顯然不利于培養(yǎng)學生良好的思維品質。
其次，啟發(fā)要密切聯(lián)系學生的思維狀況。教師在提出問題之后，要先給學生思維的時間和空間，在學生思維遭遇障礙之后，教師應作適當的啟發(fā)引導。啟發(fā)引導要瞄準學生思維的關鍵點，因勢利導地給予點撥，既不能越俎代庖，讓學生直達思維彼岸，又不能不顧學生的思維實際，蜻蜓點水，使學生不得要領，霧里看花，失去點撥的意義。
最后，通過不斷邁向縱深的新問題延續(xù)學生的思維。問題是數學的心臟，學生的思維品質就是在不斷提出問題、解決問題的過程中形成的。在數學教學中，教師要不斷地給學生呈現新的問題，讓學生的思維潛能最大限度地得以挖掘，從而使數學思維持續(xù)不斷地健康發(fā)展。
數學課堂教學是數學思維的教學，在教學中，教師要想方設法地通過對學生數學知識的傳授，讓學生在數學問題的解決中全面準確地暴露思維過程，同時給予恰到好處的啟迪和點撥，從而真正讓思維發(fā)展為學生創(chuàng)新素養(yǎng)的提高奠定基礎。
二、培養(yǎng)逆向思維，讓學生在思維的互補中優(yōu)化創(chuàng)新本領
伽利略說：“科學是在不斷改變思維角度探索中前進的。”要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新本領，提高學生的創(chuàng)新素養(yǎng)，對學生進行逆向思維的培養(yǎng)訓練是不可或缺的。但是，普通高中學生往往習慣于正向思維，對問題的思考沿襲傳統(tǒng)的方法，這顯然會使個體的思維落入俗套，不利于創(chuàng)新思維的發(fā)展。因此，在數學教學中，教師要結合教材內容，強化學生逆向思維的培養(yǎng)，讓他們學會從多個角度，尤其是從反面思考問題，從而幫助他們提高分析問題、解決問題的能力。
1.強化反證法教學。
反證法是數學教學一種常見的方法，其特點是先給出與結論相反的假設，然后得出與公理、定義或題設相矛盾的結果，從而說明前面的假設是錯誤的，是不成立的，也間接地肯定了原來求證的結論正確。因此，反證法可謂發(fā)展逆向思維的重要方法。部分數學教師在日常教學中，形成了固定的思維模式，只是在立體幾何及不等式的教學中才會談及反證法，而在其他地方則很少涉及，這樣學生對反證法的印象好像只能在特定的問題上才能用，事實并非如此。教師在講解很多問題時，都可滲透反證法的思想，讓學生學會從問題的反面思考問題的形成過程，更容易讓學生深化對問題的認識，對培養(yǎng)學生的逆向思維尤為重要。
2.注重分析法的運用。
數學分析是數學學習上升到一定階段后一種非常重要的方法，它對培養(yǎng)學生的思維的邏輯性和嚴謹性具有獨特的作用。古希臘數學之精華，歐氏幾何的基礎――《幾何原本》就是古希臘數學家歐幾里得運用分析法的結晶。在教學過程中，教師要充分引導學生學會分析，展示思維過程，從而優(yōu)化學生的思維品質，為逆向思維能力的培養(yǎng)奠定基礎。
3.學會搜集反例。
數學是嚴謹的科學，數學規(guī)律的形成必然注定是全面的。在數學發(fā)展中，巧妙地列舉反例，靈活地引入一些個案，可讓學生對規(guī)律形成過程的嚴謹性產生思考，從而更全面地認識事物，加深對規(guī)律的判斷。
三、協(xié)調兩種關系，讓學生在思維品質的完善上發(fā)展創(chuàng)新思維
1.直覺思維與邏輯思維。
思維按其方式看，可分為邏輯思維和直覺思維。事實上，二者是密切聯(lián)系、不可分割的，那種將二者對立起來，認為它們是水火不容的觀點是錯誤的。教師在培養(yǎng)學生思維品質的過程中，要激發(fā)學生數學學習的自信心，引導他們大膽猜測，勇于提出自己的看法和觀點，從而不斷迸發(fā)創(chuàng)新的火花，產生頓悟的靈感。當然，這種頓悟和創(chuàng)新絕非空穴來風，也絕非主觀臆斷，它同樣需要教師嚴格的推導和論證，這就要求培養(yǎng)學生嚴格的邏輯思維，從而為直覺思維提供理論基礎。
2.定勢思維與創(chuàng)新思維。
新n程標準指出，教師應激發(fā)學生的學習積極性，向學生提供從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗.學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者.新課標把數學思想方法作為基礎知識的重要組成部分明確提出來，不僅是課標體現義務教育性質的重要表現，也是對學生實施創(chuàng)新教育、培訓創(chuàng)新思維的重要保證.
所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規(guī)律的理性認識.所謂數學方法，就是解決數學問題的根本程序，是數學思想的具體反映.數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學的行為.運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程度時就產生了質的飛躍，從而上升為數學思想.若把數學知識看作一座宏偉大廈，一幅構思巧妙的藍圖就相當于數學思想，那么數學方法相當于建筑施工的手段.
新課標要求，滲透層次教學.數學新課標對初中數學中滲透的數學思想方法劃分為三個層次，即了解、理解和應用.在教學中，要求學生了解的數學思想有：數形結合思想、分類思想、化歸思想、類比思想和函數思想等.這里需要說明的是，有些數學思想在數學新課標中并沒有明確提出來，如化歸思想是滲透在學習新知識和運用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉化的思想方法.
在教學過程中，教師不僅應該使學生領悟到數學思想的應用，而且要激發(fā)學生學習數學思想的好奇心和求知欲，促使學生獨立思考，不斷追求新知，發(fā)現、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題.在數學新課標中要求了解的方法有分類法、類比法、反證法等.要求理解或應用的方法有待定系數法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等.在教學中，教師要認真把握好了解、理解、應用三個層次，不能將了解的層次提高到理解的層次，也不能把理解的層次提高到應用的層次.比如，初中數學九年級上冊中明確提出反證法的教學思想，且揭示了運用反證法的一般步驟，但數學新課標只是把反證法定位在通過實例體會反證法的含義的層次上，教學中教師應把握住這個“度”，不能隨意拔高、加深.
一、 了解課標要求，把握教學方法
《數學新課標》對初中數學中滲透的數學思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應用”.在教學中，要求學生“了解”數學思想有：數形結合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數的思想等.這里需要說明的是，有些數學思想在《數學新課標》中并沒有明確提出來，比如，化歸思想是滲透在學習新知識和運用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉化的思想方法.
教師在整個教學過程中，不僅應該使學生能夠領悟到這些數學思想的應用，而且要激發(fā)學生學習數學思想的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發(fā)現、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題.在《數學新課標》中要求“了解”的方法有：分類法、類比法、反證法等.要求“理解”的或“會應用”的方法有：待定系數法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等.在教學中，要認真把握好“了解”、“理解”、“會應用”這三個層次.不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應用”的層次，不然的話，學生初次接觸就會感到數學思想、方法抽象難懂，高深莫測，從而導致他們失去信心.如，初中數學三年級上冊中明確提出“反證法”的教學思想，且揭示了運用“反證法”的一般步驟，但《數學新課標》只是把“反證法”定位在通過實例，“體會”反證法的含義的層次上，我們在教學中，應牢牢地把握住這個“度”，千萬不能隨意拔高、加深.否則，教學效果將是得不償失.
二、遵循認知規(guī)律，開展創(chuàng)新教學
要達到《數學新課標》的基本要求，教學中應遵循以下幾項原則：
1.滲透“方法”，了解“思想”.由于初中學生數學知識比較貧乏，抽象思維能力也較為薄弱，把數學思想、方法作為一門獨立的課程還缺乏應有的基礎.因而只能將數學知識作為載體，把數學思想和方法的教學滲透到數學知識的教學中.教師要把握好滲透的契機，重視數學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，從而發(fā)展他們的科學精神和創(chuàng)新意識，形成獲取、發(fā)展新知識，運用新知識解決問題.忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識的結論，就必然失去滲透數學思想、方法的一次次良機.如，北師大版初中數學七年級上冊課本《有理數》這一章，與原來部編教材相比，它少了一節(jié)――“有理數大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中.在數軸教學之后，就引出了“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”，“正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數”.而兩個負數比較大小的全過程單獨地放在絕對值教學之后解決.教師在教學中應把握住這個逐級滲透的原則，既使這一章節(jié)的重點突出，難點分散；又向學生滲透了數形結合的思想，學生易于接受.
2.訓練“方法”，理解“思想”.數學思想的內容是相當豐富的，方法也有難有易.因此，必須分層次地進行滲透和教學.這就需要教師全面地熟悉初中三個年級的教材，鉆研教材，努力挖掘教材中進行數學思想、方法滲透的各種因素，對這些知識從思想方法的角度作認真分析，按照初中三個年級不同的年齡特征、知識掌握的程度、認知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹數學思想、方法的教學.如在教學同底數冪的乘法時，引導學生先研究底數、指數為具體數的同底數冪的運算方法和運算結果，從而歸納出一般方法，在得出用a表示底數，用m、n表示指數的一般法則以后，再要求學生應用一般法則來指導具體的運算.在整個教學中，教師分層次地滲透了歸納和演繹的數學方法，對學生養(yǎng)成良好的思維習慣起重要作用.
3.掌握“方法”，運用“思想”.數學知識的學習要經過聽講、復習、做習題等才能掌握和鞏固.數學思想、方法的形成同樣有一個循序漸進的過程.只有經過反復訓練才能使學生真正領會.另外，使學生形成自覺運用數學思想方法的意識，必須建立起學生自我的“數學思想方法系統(tǒng)”，這更需要一個反復訓練、不斷完善的過程.比如 ，運用類比的數學方法，在新概念提出、新知識點的講授過程中，可以使學生易于理解和掌握.學習一次函數的時候，我們可以用乘法公式類比；在學次函數有關性質時，我們可以和一元二次方程的根與系數性質類比.通過多次重復性的演示，使學生真正理解、掌握類比的數學方法.
4.提煉“方法”，完善“思想”.教學中要適時恰當地對數學方法給予提煉和概括，讓學生有明確的印象.由于數學思想、方法分散在各個不同部分，而同一問題又可以用不同的數學思想、方法來解決.因此，教師的概括、分析是十分重要的.教師還要有意識地培養(yǎng)學生自我提煉、揣摩概括數學思想方法的能力，這樣才能把數學思想、方法的教學落在實處.
一、 設置合作情境，點燃學生互助合作的情感“火花”
很多時候要想讓學生彼此間展開合作需要教師設置良好的合作情境，在有效的情境下迅速激發(fā)學生的思維。有趣的情境是激發(fā)學生好奇心、誘發(fā)學生思考、引發(fā)學生強烈的求知欲的非常有效的途徑。提出一個有意思的問題，往往能很好地吸引學生的目光及注意力，學生會迫切地想知道事情的原委，非常積極地跟隨老師的步伐進行思考尋找答案。在課堂教學中，設置情境的最好時機是課堂的開始。情境設于此時，學生往往能迅速集中精力，激發(fā)興趣，活躍課堂氣氛。在這種情況下，通常從概念、定理、法則、公式的實質處設置懸念。
情境設置的一個非常有效的方式就是引發(fā)懸念。例如，在有關圓的教學時，課堂一開始我就向學生提問：一輛汽車的輪胎已殘缺破舊，現在無任何標記的情況下，你能想辦法找到一個與原來輪胎大小完全一致的輪胎嗎？帶著疑問及疑問引發(fā)的懸念學生們展開了激烈的討論，學生的思維不僅迅速地被懸念點燃，學生間互助合作的情感“火花”也隨之引發(fā)。在一陣激烈地探討合作后學生還是沒有找到理想的解決方法。當學生們紛紛表示疑惑時，我告訴大家，只要認真聽今天的課，自然會找到結論。大家聽了都非常興奮，對于課堂產生了濃厚的興趣及求知欲。
二、 重視學習方法，傳授學生互助合作學習的“要訣”
學生只有掌握了正確的學習方法與合作方式，合作過程才能真正起到它的作用。教學過程中教師首先要引導學生找到問題的重點，并且讓學生掌握正確的解決問題的方法。有了這些良好的工具后學生在此基礎上再來展開互助合作，合作的效果將會非常好，學生們在合作學習的過程中也會有更多的收獲。合作的重點應放在解決問題的方法上，掌握了方法，學生才能舉一反三，教學才體現出其價值，碰到類似的問題自然能迎刃而解。
例如，在教學“有理數的加法”時，學生有必要掌握相應的運算方法及技巧，但這些又不是那么容易掌握。老師如果只是教條性地將方法灌輸給學生，學生當時會用，過后三、 強化合作指導，奠定學生互助合作素養(yǎng)的“基石”
很多時候，學生們在展開合作學習時教師的指引是很重要的。對于很多重難點的合作學習過程，學生們很可能一時找不到合適的解決問題的方法與思路，這時就容易進入一些誤區(qū)或者思維產生僵化。這時，教師應當及時給予學生正確的指引，只有將學生從誤區(qū)中領出來，讓他們換個思維模式，學生才能對于教學要點有更好地領悟與認識?，F代教學中，老師已經逐漸從傳統(tǒng)教學體系中的主導者演變?yōu)橐龑д?，課堂教學越來越強調學生的參與性及主動思考能力，因此合作學習這種教學方式越來越被推崇。課堂教學中學生在展開合作學習時教師的作用也是不容忽視的，只有教師在旁邊細心觀察才能及時發(fā)現學生遇到的問題，進而幫助學生從不正確的思路中走出來。