時間：2023-08-30 16:37:33
導語：在數(shù)學原始概念的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領您探索更多的創(chuàng)作可能。
【關鍵詞】原始概念；規(guī)定式概念；構(gòu)造式概念；邏輯式概念；數(shù)形結(jié)合式概念
數(shù)學概念是人類在長期的實踐中經(jīng)過千錘百煉的數(shù)學精華和基礎，它的起源與發(fā)展都是自然的。數(shù)學概念是人類對現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的概括反映。數(shù)學概念是數(shù)學的根基，所有的數(shù)學內(nèi)容都必須建立在數(shù)學概念之上。數(shù)學概念是形成數(shù)學法則、公式、定理，也是運算、推理、判斷和證明的基礎，還是數(shù)學思維、交流的工具。數(shù)學概念包括概念的名稱、定義、正例反例、表征特性。最重要的是其定義，定義對明確概念具有清晰、扼要、確定和醒目的作用。學生對概念的理解和掌握如何，對后續(xù)知識的學習將產(chǎn)生重要的影響，教師必須做好概念教學。
數(shù)學概念的學習不應只限于接受、記憶、模仿和練習，還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等多種學習方式。但在教學實踐中，我們一線教師都有一個共同的困擾，即在學生自主探索的時間內(nèi)，①有的學生根本提不出問題，②有問題也無從下手分析，③大部分學生抓不住要點。一節(jié)時間過去了，什么教學任務沒有完成。教師看在眼里，急在心上，屬于無效教學?，F(xiàn)代教育提倡自主探索、情景激發(fā)、合作學習，但并不是每節(jié)數(shù)學課必不可少的步驟，數(shù)學課不能以“生活化”和“社會化”代替“數(shù)學化”。一個數(shù)學概念的形成是前人把大量的同類事物某方面的特性單獨抽出來研究，經(jīng)過比較、分析、歸納和抽象再把這類事物的共同特性綜合起來概括出數(shù)學概念。嚴謹科學的數(shù)學概念的理解，對學生來說不是一下子就能領會深刻的。因此教師必須搞清楚數(shù)學概念的屬性，有些概念只需識記；有些概念需弄清楚它的來龍去脈、深刻理解；有些概念不僅要理解還要應用其解決問題。這樣就能合理地安排教學。
原始概念指不加定義的概念，根據(jù)人們的直覺，形象描述，舉例說明。我們在教學中要找到現(xiàn)實的最佳原型，把這個概念的特性表征出來。如：自然數(shù)、點、線、平面、集合、對應、平行、相交、代數(shù)式、等式、不等式等。例1：代數(shù)式的說明：經(jīng)過舉例后，描述為像這樣由數(shù)和字母乘積組成的式子就叫代數(shù)式。例2：集合的說明：通過舉同種性質(zhì)事物全體后，描述為像這樣特定對象的全體構(gòu)成集合。原始概念是概念中的基石，有了原始概念就可以在其基礎上抽象出新概念。這類概念的教學，只需舉出日常生活、生產(chǎn)中的實例形成這類概念的印象，搞清楚其特征。教學的要求是達到了解水平，即能說出這些知識是什么，能在有關問題中識別它們。
二、規(guī)定式概念的教學
由于數(shù)學發(fā)展的需要而作出的規(guī)定。模長等于1的向量是單位向量。非零實數(shù)的零次方等于1。還有絕對值、圓周率、自然對數(shù)的底數(shù)等。教學要求也只需達到識別、回憶、套用即可。因為這些概念是硬性規(guī)定的。但應用時要抓住使用條件。
三、構(gòu)造式概念教學
日常生活、生產(chǎn)中研究的對象變化符合某種規(guī)律，就可構(gòu)造出相應數(shù)學模型。通常由數(shù)與式通過運算法則和符號組成固定形式。如：“形如y=ax（a>0且a≠1）的函數(shù)”叫指數(shù)函數(shù)。這類概念形式有嚴格的要求。要理解這類概念，就需進行概念辨析。如：y=3-x，y=2·3x，y=（-3）x，y=3x+1是不是指數(shù)函數(shù)。這類概念教學用不上情景和啟發(fā)，用得上點撥與討論，記住這些基本函數(shù)的形式。
四、邏輯式概念的教學
在已學過的數(shù)學概念基礎上，用若干個原始概念或者改變某些條件形成新的數(shù)學概念。例：棱柱的定義為：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體。其中已學過的定義有“平行平面”、“四邊形”、“公共邊”、“平行”、“多面體”。此類的概念還有：等腰梯形、圓錐等。教學中需要用到原來已學過的概念，再搞清要改變的條件即可。
五、程序性概念
經(jīng)過有限步驟的運算或畫圖由數(shù)學基礎知識和技能而形成的概念。此類概念是教學中的重點，有時也是難點。這類概念占的比例最大，又可細分為兩種情況：（1）過程型定義：完成運算步驟，就可以得到該概念的定義。例1：要想理解平均數(shù)的定義。①給出一組實數(shù)，②求這組實數(shù)的和③用和除以這組數(shù)的個數(shù)④所得的數(shù)即為這組數(shù)的平均數(shù)。例2：理解函數(shù)的定義。①觀察兩個非空數(shù)集A、B中有哪些元素，②分析對應關系f，③集A中的元素在f作用下的結(jié)果在B中能否找到④做出判斷。（2）結(jié)構(gòu)型定義：觀察數(shù)學對象的各部分結(jié)構(gòu)加上組合方式做出的判斷。例1：理解單項式定義時：舉出幾個式子，觀察每個式子都是數(shù)字與字母的乘積。例2：理解三角形定義時：觀察三條線段首尾順次相連即可。 教學中要搞清楚形成該概念有幾個步驟或分解這個概念的組成成分。
六、數(shù)形結(jié)合式定義
先通過畫圖認識其形狀結(jié)構(gòu)，再通過蘊含的數(shù)量關系搞清其本質(zhì)特性。例1：在平面內(nèi)到兩個定點距離的和等于定長的點的軌跡形成橢圓。我們雖然通過線繩操作畫出橢圓，但這些感性知識還是不夠的。其中的數(shù)量關系式①兩定點距離為2c，②動點到兩定點的距離之和為2a，③2c
數(shù)學概念除了定名稱，搞清定義以何種方式形成外，還應舉出適當數(shù)量的正例和反例加深理解和記憶。要熟練的掌握數(shù)學概念，還應對定義進行變式訓練，即加強或減弱或隱含某些條件來辨析概念的正誤以及適用范圍。
【參考文獻】
[1]齊建華、王紅蔚.數(shù)學教育學：鄭州大學出版社.2006
數(shù)學概念是反映一類對象本質(zhì)屬性的思維形式，它具有相對獨立性。概念反映的這一類對象本質(zhì)屬性，即這類對象的內(nèi)在的，固有的屬性，而不是表面的屬性，而這類對象時現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式，它們已被舍去了具體物質(zhì)屬性和具體的關系，僅被抽取出量的關系和形式結(jié)構(gòu)，在某種程度上表現(xiàn)為對原始對象具有內(nèi)容的相對獨立性。
數(shù)學概念具有抽象與具體的雙重性，數(shù)學概念既然代表了一類對象的本質(zhì)屬性，那么它是抽象的，以“矩形”概念為例，現(xiàn)實世界沒有見過抽象的矩形，而只能見到形形的具體的矩形，叢這個意義上來說，數(shù)學概念“脫離”了現(xiàn)實。由于數(shù)學中使用了形式化，符號化得語言，是數(shù)學概念離現(xiàn)實更遠，即抽象程度更高，但同時，正因為抽象程度愈來愈高，與現(xiàn)實的原始對象聯(lián)系愈弱，才使得數(shù)學概念應用愈廣泛。但不管怎樣的抽象，高層次的概念總是以低層次的概念為具體內(nèi)容。且數(shù)學概念的數(shù)學命題，數(shù)學推理的基礎部分，就整個數(shù)學體系而言，概念是一個實在的東西。所以它即抽象又具體。
數(shù)學概念還具有邏輯關聯(lián)性。數(shù)學中打多數(shù)概念都是在原始概念（原名）基礎上形成的，并采用邏輯定義的方法，以語言或符號的形式使之固定。其他學科均沒有教學中諸如概念那樣具有如此精準的內(nèi)涵和如此豐富，嚴謹?shù)倪壿嬯P系。
數(shù)學概念教學是中學教學中至關重要的一項內(nèi)容，是基礎知識和基本技能教學的核心，正確理解概念是學好數(shù)學的基礎，學好概念是學好數(shù)學的重要一環(huán)。一些學生數(shù)學之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特別是像我校這樣普通中學的學生，數(shù)學素養(yǎng)差的關鍵是在對數(shù)學概念的理解，應用和轉(zhuǎn)化等方面的差異。因此抓好概念教學時提高中學生數(shù)學教學質(zhì)量的帶有根本意義的一環(huán)。教學過程中如果能夠充分考慮到這一因素，抓住有限的概念教學的契機，以提高大多數(shù)學生的數(shù)學素養(yǎng)是完全可以做到的，同時，數(shù)學素養(yǎng)的提高也為學生的各項能力和素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了有利條件以及必要的保障。
從平常數(shù)學概念的教學實際來看，學生往往會出現(xiàn)兩種傾向，其一是有的學生認為基本概念單調(diào)乏味，不去重視它，不求甚解，導致概念認識和理解模糊：其二是有的學生對基本概念雖然重視但只是死記硬背，而不去真正透徹理解，只有機械的，零碎的認識。這樣久而久之，從而嚴重影響對教學基礎知識和基本技能的掌握和運用。比如有的同學在解題中得到異面直線的夾角為鈍角，有的同學認為函數(shù)與直線有兩個交點，這些錯誤都是由于學生對概念認識模糊造成的。從一定意義上來說，數(shù)學水平的高低，取決于對數(shù)學概念的掌握的程度。
二、數(shù)學概念的教學形式
1.重視概念的本源，概念產(chǎn)生的基礎，體驗數(shù)學概念形成過程。
學生如能在教師創(chuàng)設的情景中像數(shù)學家那樣去“想數(shù)學”，“經(jīng)歷”一遍發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)新的過程，那么在獲得概念的同時還能培養(yǎng)他們的創(chuàng)造精神。由于概念教學在整個教學中起著舉足輕重的作用，我們應重視在教學概念教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。引入時概念教學的第一步，也是形成概念的基礎。概念引入時教師要鼓勵學生猜想，即讓學生依據(jù)已有的材料和知識作出符合一定經(jīng)驗與事實的推測性想象，讓學生經(jīng)歷教學家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段，猜想作為數(shù)學想象表現(xiàn)形式的最高層次，屬于創(chuàng)造性想象，是推動數(shù)學發(fā)展的強大動力。
比如，在立體幾何中異面直線距離與概念，傳統(tǒng)的方法是給出異面直線公垂線的概念，然后指出兩垂足間的線段長就叫做兩條異面直線的距離。教學可以先讓學生回顧一下過去學過的有關距離的概念，如兩點之間的距離，點到直線的距離，兩平行線之間的距離，引導學生思考這些距離有什么特點，發(fā)現(xiàn)共同的特點是最短與垂線。然后，啟發(fā)學生思索在兩條異面直線上是否存在這樣的兩點，它們間的距離是最短的？如果存在，應當有什么特征？于是經(jīng)過共同探索，得出如果這兩點的連線段和兩條異面直線都垂直，則其長時最短的，并通過實物模型演示確認這樣的線段是否存在，在此基礎上，自然地給出異面直線距離和概念。
2.挖掘概念的內(nèi)涵與外延，理解概念。
新概念的引入，是對已有概念的繼承，發(fā)展和完善。有些概念由于其內(nèi)涵豐富，外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。如三角函數(shù)的定義，經(jīng)歷了以下三個循環(huán)漸進，不斷深化的過程：
（1）用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義，
（2）用點的坐標表示的銳角三角函數(shù)的定義，
（3）任意角的三角函數(shù)的定義。由此概念衍生出：三角函數(shù)的值在各個象限的符號；三角函數(shù)線；同角三角函數(shù)的基本關系式，三角函數(shù)點的圖像性質(zhì)；三角函數(shù)的誘導公式等?？梢?，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學中可謂重中之重，它貫穿于與三角有關的各部分內(nèi)容并起著關鍵的作用。
3.尋找新概念之間的聯(lián)系，掌握概念。
數(shù)學中有許多概念都有著密切的聯(lián)系。如函數(shù)概念有兩種定義，一種是初中給出的定義，是從運動變化的觀點出發(fā)，其中的對應關系式將自變量的每一個取值，與唯一確定的函數(shù)值對應起來，另一種高中給出的定義，是從集合中的每一個元素與象集合中唯一確定的元素對應起來。從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，而函數(shù)可用圖像，表格，公式等表示，所以高中用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性，更具有一般性。認真分析兩種函數(shù)定義，其定義域與值域的含義完全相同，對應關系本質(zhì)上也一樣，只不過在敘述的出發(fā)點不同，所以兩種函數(shù)的定義，本質(zhì)是一致的。
一、計量概念教學中，“情景式”生活化應以真切的感知為目的
現(xiàn)行小學數(shù)學課程標準需要學習的計量概念主要有長度、質(zhì)量、時間、貨幣、面積、體積（容積）等。這些概念與學生生活實際的聯(lián)系非常緊密，然而要在學生初級日常概念的基礎上建立定義明確，有一定邏輯意義的科學概念仍是一個漫長的進程。
以人教版（注：本文引用教材均來自人教版）二年級上冊《長度單位》的教學為例。米和厘米是兩個最基本的長度單位，教學的最終目的是讓學生對這兩個長度單位的實際“大小”形成較為鮮明的表象。其中《厘米的認識》教材內(nèi)容編排通過三個情景呈現(xiàn)（圖略，詳見二年級上冊教材P3）。
第一個情景是直觀呈現(xiàn)1厘米的長短，再借助圖釘、手指的寬度幫助學生建立表象。在教學設計之前，教師首先應該認識到，厘米屬于一個原始概念，難以用簡練確切的語言定義，甚至無法準確地進行描述。對于1厘米的實際長度，每個學生甚至每個人的感知標準受到年齡特征和生活經(jīng)驗的影響都不盡相同。因而，這樣的“情景式”生活化與學生對于1厘米的清晰表象建立之間仍存有不小的差距。
用怎樣的方式縮短或者彌補這一差距呢？筆者認為，需要給學生一種真實的感覺，第一次呈現(xiàn)的時候應該是標準的，這就需要借助實物教具進行。在類似的原始概念的教學中，甚至應當減少多媒體這一現(xiàn)代化教學方式的運用。試想，1厘米的距離，或者含有1厘米的一些生活情景，在多媒體上表現(xiàn)出來往往會有較大的偏差，這將對概念清晰表象的建立產(chǎn)生負面作用。
再如二年級下冊關于質(zhì)量的概念《克與千克》的教學，如果說長度單位的教學還能借助視覺的作用力，那么質(zhì)量概念則完全需要依賴真切的感知。教學之后學生的實際經(jīng)驗到底如何呢？這里引述一個真實的例子。在一次面向小學中高年級學生的調(diào)查測試中，有這樣一題“一個雞蛋約重（ ）。A.4克 B.40克 C.400克 D.4千克”這樣一個在教師看來非常簡單的題目，城區(qū)和農(nóng)村學生的正確率分別為69%和61%。此一現(xiàn)象值得引起教者廣泛的反思，而首先應對《克與千克》概念的教學進行剖析。
首先看教材的編排，先是通過一個主題圖，包含6個蘋果重1千克，一盒餅干110克，一壺豆油5千克等信息，引出“表示物品有多重，可以用克和千克做單位。”然后通過情景以設問的方式呈現(xiàn)（圖略，詳見二年級下冊教材P86）：1克有多重？1千克有多重？并指出1個2分硬幣重約1克；1袋鹽重1千克。提出：“分別用手掂一掂，感覺怎么樣？”
再看教學目標的設定：在具體生活情景中，使學生感受并認識質(zhì)量單位——克和千克?！督處熃虒W用書》關于該部分教材說明中有這樣的表述：學生在日常生活中已經(jīng)對質(zhì)量的概念有了感性的認識，建立了初步的質(zhì)量概念。
筆者認為，這里需要引起教師特別關注的有以下兩點。
1.學生對質(zhì)量概念的感性認識（即建立的表象）究竟處于怎樣的水平？
2.呈現(xiàn)式的生動、具體的“情景”對于學生理解質(zhì)量概念的作用應該以怎樣更為準確的方式體現(xiàn)？
實用主義哲學的創(chuàng)始人，教育家杜威認為：“一盎司經(jīng)驗勝過一噸理論?！毙W數(shù)學概念教學的核心便是讓學生去獲得那珍貴的一盎司經(jīng)驗?！扒榫笆健鄙罨梢哉J為是教材編排無法規(guī)避的現(xiàn)象，但是實際的課堂教學應該始終圍繞引導學生真切地感知為最終目的，只有這樣，學生建立起來的關于概念的表象才是真實的、科學的。
二、幾何概念教學中，“直觀性”生活化應避免造成理解的困惑
有研究表明，兒童在感知周圍的物體時，首先注意的是物體的形狀，而且對外部特征鮮明的物體興趣尤為強烈。隨著學生思維能力的提高，教師可將儲存在學生腦子里的豐富感知經(jīng)驗抽象化，并在此基礎上開發(fā)學生關于空間觀念的“元認知”，從而使其達到知覺水平，這一過程便是圖形與幾何教學的實質(zhì)。
“直觀性”生活化在幾何概念教學的導入階段是非常必要和重要的，它起到了將生活實際與數(shù)學概念溝通的橋梁作用。但是，教學中仍然需要處理好一些存在著矛盾的關系，從而避免使學生造成理解困難的現(xiàn)象，切實提高教學的有效性。
1.生活的直觀性與數(shù)學的抽象性
譬如說直線、點等原始概念。教師通過直觀性的生活化展示給學生的始終是具體的形象，科學意義上的點、直線的概念具有純抽象性，生活中找不出嚴格意義上的原型，只能建立并存在于學生的個人意識中。因此教師的教學重點應該是在豐富直觀呈現(xiàn)的基礎上進行抽象和歸納，從而完成學生意識形態(tài)上的概念建構(gòu)。只有這樣，直線的概念才不止步于初級思維當中的“直的線”，而是科學意識形態(tài)上可以向兩端無線延長的幾何形狀。
2.生活的豐富性與數(shù)學的科學性
生活對數(shù)學的切入并非一對一的對應關系，有時還會產(chǎn)生一定的消極因素。例如，關于“角的初步認識”，學生原始生活經(jīng)驗與數(shù)學概念之間并沒有直接聯(lián)系。生活中“角”的概念包括：動物的角，數(shù)學廣角的角，貨幣單位中的角及形態(tài)上像“角”的事物?！缎氯A詞典》關于“角”的意義解釋多達13種，而數(shù)學概念上的“角”只是其中之一。
因而開展“角的初步認識”教學，實際上就要建立在消除學生原有認知結(jié)構(gòu)不良影響的基礎之上。有一個案例是教師在課堂中根據(jù)學生的表述，采用拍照的方式將學生在課堂上所能見到的角真實地記錄并用多媒體的方式即時呈現(xiàn)，進而引出將立體的角轉(zhuǎn)化成平面意義上的角這一教學要點。這樣的教學可以說是從生活實際延伸到數(shù)學概念教學的一種自然而又恰當?shù)姆绞健?/p>
3.生活的呈現(xiàn)性與數(shù)學的過程性
蘇聯(lián)數(shù)學教育家斯托利亞爾指出：“數(shù)學教學是數(shù)學活動（思維活動）的教學，而不僅是數(shù)學活動的結(jié)果——數(shù)學知識的教學?！钡聦嵣?，任何數(shù)學概念不管采用怎樣的生活化呈現(xiàn)都已經(jīng)具備了結(jié)果的“雛形”，這使得數(shù)學活動（思維活動）的過程性體現(xiàn)大打折扣。從另一個角度來說，過程的體現(xiàn)在很多地方是不認可的，因為做不到，或者說做了也不充分，但這并不妨礙教師在教學實踐中需要在這方面付出努力、進行探索。
例如某位教師在《直角的認識》教學中開展的活動如下（僅摘錄教師引導部分）：
（1）這么多角里，找一找與直角能重合的；
（2）比較角的大小；
（3）畫一個接近于直角的角，比較大?。?/p>
（4）利用吸管做一個直角；
（5）你覺得你做出來的角是不是直角？
（6）做一個比直角大一點的角，做一個比直角小一點的角；
（7）老師手上的吸管這么長，能不能做一個比較小的角？你的吸管那么短，能不能做一個比較大的角？
（8）請你坐正，坐成直角；
（9）讓我們一起來體驗滑滑梯吧（多媒體呈現(xiàn)三種不同角度的滑梯）；
……
這樣的設計注重知識過程性的體驗，借助多樣的生活化表現(xiàn)方式，通過數(shù)學課堂切實地將學生原有的生活經(jīng)驗提升到了數(shù)學理解的層面。
三、數(shù)與代數(shù)概念教學中，生活化的呈現(xiàn)應多與學科特質(zhì)相聯(lián)系
新課程標準倡導學生自主式的發(fā)現(xiàn)學習，而我們習以為常的教學形式是：教師用多媒體的方式展示一幅情境圖，然后問“你能提幾個數(shù)學問題嗎？”“用數(shù)學的眼光去觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？”這樣的教學形式在數(shù)與代數(shù)概念的教學中經(jīng)常會讓人覺得牽強甚至于無奈。數(shù)與代數(shù)的概念是學生進行運算的基礎，是孕育“算理”的根本。另一方面，在“生活化”的大潮里，很多教師都進行了對課堂教學“數(shù)學味”的理性思考與探索，而這些努力的效果體現(xiàn)通常取決于生活化的課堂教學與數(shù)學學科特質(zhì)的結(jié)合是否密切。
例如六年級上冊《百分數(shù)的意義》設計思路：讓學生初步感受生活中的百分數(shù)（直觀認知）；再到各個百分數(shù)意義的充分表述（感知體驗）；逐步歸納出百分數(shù)意義的符號化模式（初級模型），即“表示（ ）是（ ）的百分之幾”；最終提煉出 “百分數(shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”（科學概念）。這樣的教學設計以模型思想的建立為依據(jù)，既是概念的建構(gòu)性體現(xiàn)，也是切實提高學生學習數(shù)學興趣和應用意識的根本途徑。
又如五年級上冊《用字母表示數(shù)》的概念教學，對于小學生來說，由具體的、確定的數(shù)引申到用字母表示抽象的、可變的數(shù)是認識上的一大飛躍。這就要求教師在課堂中既要發(fā)揮具體實例對于抽象概括的支撐作用，又要及時引導學生超脫實例的具體性，實現(xiàn)必要的抽象概括。實踐中通常利用正方形、三角形等圖形化符號作為過渡，應該說是在數(shù)形結(jié)合知識的基礎上開啟了“發(fā)展符號化意識”之門。
數(shù)學概念是進行數(shù)學推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學定理、法則、公式的基礎，也是形成數(shù)學思想方法的出發(fā)點。因此學好數(shù)學的基礎關鍵是數(shù)學概念的學習，數(shù)學概念教學是數(shù)學教學是一個重要的組成部分。
一、數(shù)學概念的意義和定義方式
數(shù)學概念形成是從大量的實際例子出發(fā)，經(jīng)過比較、分類從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后再通過具體的例子對所發(fā)現(xiàn)的屬性進行檢驗與修正，最后通過概括得到定義并用符號表達出來。實際上應包含兩層含義：其一，數(shù)學概念代表的是一類對象，而不是個別的事物。例如“三角形”可用符號“”來表示。這時凡是像“”這樣具有三個角和三條邊的圖形，則不論大小，統(tǒng)稱為三角形，也就是說三角形的概念，就是指所有的三角形：等邊的、等腰的、不等邊的、直角的、銳角的、鈍角……；其二，數(shù)學概念反映的是一類對象的本質(zhì)屬性，即該類對象的內(nèi)在的、固有的屬性，而不是那些表面的非本質(zhì)的屬性。例如，“圓”這個概念，它反映的是“平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集”，我們根據(jù)這些屬性，就能把“圓”和其他概念區(qū)分開。
我們把某一概念反映的所有對象的共同本質(zhì)屬性的總和叫做這個概念的內(nèi)涵，把適合于這個概念的所有對象的范圍稱為這個概念的外延。通常說，給概念下定義，就是提示內(nèi)涵或外延。一般說，定義數(shù)學概念有以下幾種方式：
1.約定式定義
由于數(shù)學自身發(fā)展的需要，有時也通過規(guī)定給術語以特定的意義。如“不等于零的數(shù)的零次冪等于1”，規(guī)定了零指數(shù)冪的意義，但要注意，約定式不能隨心所欲，必須符合客觀規(guī)律。
2.描述性定義
數(shù)學是一門嚴謹?shù)目茖W，每個新概念總要用一些已知的概念來定義，而這些用于定義的已知概念又必須用另一些已知的概念來刻畫，從而構(gòu)成了一個概念的系列。在概念的系列中，是不允許有循環(huán)的。因此總有些概念是不能用別的概念來定義。這樣的概念，叫做數(shù)學中的基本概念，又稱為“原名”（或不定義概念、原始概念），它們的意義只能借助于其他術語和它們各自的特征予以形象地描述。如：幾何中的點、直線、平面，代數(shù)中的集合、元素等。
3.構(gòu)造式定義
這種定義是通過概念本身發(fā)生、形成過程的描述來給出的。如橢圓的定義“平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于定長的點的規(guī)跡叫做橢圓”。
4.屬加種差定義
如果某一概念從屬于另一個概念，則后者叫做前者的屬概念，而前者叫做后者的種概念。如實數(shù)是有理數(shù)的屬概念，而有理數(shù)是實數(shù)的種概念。
在同一個屬概念下，各個概念所含屬性的差別叫種差。如對于四邊形這個屬概念，平行四邊形和梯形都是它的種概念，它們的種差是：“兩組對邊分別平行”和“一組對邊平行，另一組對邊不平行”。
用屬加種差來定義概念，“就是把某一概念放在另一更廣泛的概念里”來刻畫它的意義，通常的方法是用鄰近的屬加種差來進行表述。如：平行四邊形的定義，它的鄰近的屬概念是四邊形，種差是兩組對邊分別平行，因而平行四邊形的定義表述成“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”。
另外，在教材里，還會遇到一些通過揭示概念的外延的方式給概念下定。如實數(shù)的定義：“有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)”。
最后，還需聲明：定義是數(shù)學概念的方式，以上分析是相對的、不嚴格的。例如，“異面直線所成角”定義，我們既可以認為它是約定式的，即規(guī)定“把經(jīng)過空間任意一點所作的兩條異面直線的平行線所成的銳角或直角叫做異面直線所成的角”，也可以把它理解為發(fā)生式的：即通過取點、作平行線構(gòu)成兩對對頂角，把其中的銳角或直角叫做異面直線所成的角。總之，我們理解定義并不在于區(qū)分它是屬于哪種定義方式，而是要明確概念的外延與內(nèi)涵，然后應用它們?nèi)ソ鉀Q問題。
二、怎樣進行數(shù)學概念教學
對數(shù)學概念，即使是那些原始概念，都不能望文生義。在教學中，既要把握它的內(nèi)涵，這是掌握概念的基礎；又要了解它的外延，這樣才有利于對概念的理解和擴展；同時，對于概念中的各項規(guī)定、各種條件，都有要逐一認識，綜合理解，從而印象更深，掌握更牢。
一般來說，圍繞一個數(shù)學概念，應當力求清楚下列各個方面的問題：
①揭示本質(zhì)屬性。這個概念討論的對象是什么，有何背景？此概念中有哪些規(guī)定和條件？它們與過去學過的知識有什么聯(lián)系？這些規(guī)定和條件的確切含義又是什么？
給出概念的定義、名稱和符號，揭示概念的本質(zhì)屬性。例如學次函數(shù)的概念，先學習它的定義：“y=ax2＋bx＋c(a、b、c、是常數(shù)。a≠0)那么y叫做x的二次函數(shù)”。又如，一位教師教學“長方體和正方體的認識”時，在指導學生給不同形體的實物分類引入“長方體”和“正方體”的概念后，及時引導學生先把“長方體”或“正方體”的各個面描在紙上，并仔細觀察描出的各個面有什么特點，再認識什么叫“棱”，什么叫“頂點”，然后，指導學生分組填好領料單，根據(jù)領料單領取“頂點”和“棱”，制作“長方體”或“正方體”的模型，邊觀察邊討論長方體與正方體的頂點和棱有什么特點，最后指導學生自己歸納、概括出“長方體”和“正方體”的特征，從而使學生充分了解“長方體”和“正方體”這兩個概念的內(nèi)涵和外延。
②討論反例與特例。對概念進行特殊的分類，討論各種特例，突出概念的本質(zhì)屬性。例如二次函數(shù)的特例是：y=ax2，y=ax2＋c，y=ax2＋bx，等等。
③新舊知識聯(lián)系。此概念中有哪些規(guī)定和條件？它們與過去學過的知識有什么聯(lián)系？使新概念與原有認知結(jié)構(gòu)中有關觀念建立聯(lián)系，把新概念納入到相應的概念體系中，同化新概念。例如把二次函數(shù)和一次函數(shù)、函數(shù)等聯(lián)系起來，把它納入函數(shù)概念的體系中。
④實例確認。辨認正例和反例，確認新概念的本質(zhì)屬性，使新概念與原有認知結(jié)構(gòu)中有關概念精確分化。例如舉出y=2x＋3，y=3x2－x＋5,y=－5x2－6等讓學生辨認。
⑤具體運用。根據(jù)概念中的條件和規(guī)定，能夠歸納出哪些基本性質(zhì)？這些性質(zhì)在應用中有什么作用？通過各種形式運用概念，加深對新概念的理解，使有關概念融會貫通成整體結(jié)構(gòu)。
以上，我們只是介紹了概念教學過程的一般模式。把這個全過程可歸結(jié)為三個階段：
（一）引進概念途徑
數(shù)學概念本身是抽象的，所以，新概念的引入，一定要堅持從學生的認識水平出發(fā)，要密切聯(lián)系生產(chǎn)、生活實際。不同的概念的引進方法也不盡相同。對于一些原始概念和一些比較抽象的概念，教師應通過一定數(shù)量的感性材料來引入，要密切聯(lián)系生活實際，使學生“看得見，摸得著”。引用實例時一定要抓住概念的本特征，要著力于揭示概念的真實含義。如“平面”的概念，可讓學生觀察生活中一些如桌面、平靜的水面等，通過自己的探索和與同學們的交流得出結(jié)論。但是，教師一定要想辦法讓學生自己得到“無限延伸性和沒有厚度”的本質(zhì)特征。
（二）形成概念的方法
認識一個特殊的心理過程，由于每個學生之間存在一些差異，那么完成這個過程所需的時間也不一定相同。但是就認識過程而言，卻不能跳躍。教學中，引入概念、并使學生初步把握了概念的定義以后，還不等于形成了概念，還必須有一個去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的改造、制造，必須在感性認識的基礎上對概念作辯證的分析，用不同的方式進一步提示不同概念的本質(zhì)屬性。
1.在掌握了概念的本質(zhì)屬性之后，要引導學生作一些練習。例如，引入分解因式的概念后，可選下列一類練習讓學生回答。
下列由左到右的變形，哪些是屬于分解因式？哪些不是？為什么？
①（x+2）(x-2)=x2-4;
②(a2-9)=(a+3)(a-3);
③a3-9a=a(a2-9);
④x2-y2+1=(x+y)(x-y)+1;
⑤x2y+x=x2(y+1)
通過回答問題，特別是說明理由，可以初步培養(yǎng)學生運用概念作簡單判斷的能力。同時，每做一次判斷，概念的本質(zhì)屬性就會在大腦里重現(xiàn)一次。因而，對于促進概念的形成是行之有效的。
2．通過變式或圖形，深化對概念的理解。又如學習梯形這個概念時，可提供如下圖形讓學生觀察：
這里，要注意三點：第一，所提供的感性材料（梯形）要足量，不可太少，也沒有必要太多。太少不利于學生從中悟出規(guī)律，形成表象；太多會造成時間和精力上的浪費。第二，要引導學生對每一個材料加以分析和綜合。第
三，要注意變式，全部材料要能反映出本要領的全部本質(zhì)屬性。
3．抓住概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過新舊概念的對比，形成正確的概念。又如教學約數(shù)和倍數(shù)的概念時，可從“整除”這一概念入手，引出概念。
（三）概念的發(fā)展
學生掌握某一概念后，并不等于概念教學的結(jié)束，要用發(fā)展的眼光教概念。
1.不失時機地擴展延伸概念的含義。一個概念總是嵌在一些概念的群體之中。它們之間有縱橫交錯的內(nèi)在聯(lián)系，必須揭示清楚。如學習比的意義之后，就要及時地把“比”、“分數(shù)”、“除法”三者聯(lián)系在一起，找出三者的聯(lián)系和區(qū)別后，使學生居高臨下，在一個廣闊的背景下審視“比”這個概念，加深對概念的理解。
關鍵詞：概念教學；自然；合理；人情味
數(shù)學概念的簡潔與嚴謹之美容易使人感覺“高貴”與“冷艷”，缺乏“親和力”。如何讓學生體會數(shù)學概念美，需要教師在教學時揭示概念引入的必要性與合理性，展現(xiàn)人情味，增強親和力。本文是筆者在概念教學中的實踐與感悟，愿與同行一起分享，如有不當之處請批評指正。
一、課堂教學案例
案例：任意角的概念教學片段
師：初中我們已經(jīng)學習了角度，0度到360度。若把機械表撥快2小時，分針轉(zhuǎn)過多少度？
生：轉(zhuǎn)過了720度。
師：怎么算？
生：360度加360度。
師：若把機械表撥慢2小時，分針轉(zhuǎn)過了多少度？
生：720度。
師：怎么算？
生：360度加360度。
師：若把機械表撥慢1小時，之后又撥快1小時，分針轉(zhuǎn)過了多少度？
生：轉(zhuǎn)過0度。
師：這又是怎么算的？
生：一開始轉(zhuǎn)過360度，后來又返回來360度，相當于分針沒有任何轉(zhuǎn)動。
師：那是怎樣的兩個度數(shù)相加呢？
生：360度與-360度相加。
師：負角？那機械表撥快2小時與機械表撥慢2小時轉(zhuǎn)過角度還一致嗎？
（學生思索，感覺兩種轉(zhuǎn)法轉(zhuǎn)過的角度不同。）
生：對于順時針與逆時針轉(zhuǎn)動問題，我們應該讓轉(zhuǎn)動的角度有不同的表示。
師：你們說怎么規(guī)定好呢？
生1：規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)為正角，順時針轉(zhuǎn)為負角。
師：是書上看的，還是你覺得要這么規(guī)定呢？
生1：我自己覺得這樣舒服些。
生2：我習慣看機械表，時間是往前走的，指針都是自動順時針轉(zhuǎn)的。所以，我喜歡規(guī)定順時針轉(zhuǎn)為正角，逆時針轉(zhuǎn)為負角。
師：學生2說得很有道理，學生1也說說你為什么會覺得逆時針轉(zhuǎn)為正角，順時針轉(zhuǎn)為負角舒服呢？
（學生1說不出所以然。）
師：同意學生1說法的同學，來說說你的理由。
生3：我覺得這個規(guī)定與坐標系的象限1、2、3、4順序一致。
師：啊？坐標系？你怎么想到坐標系呢？
生3：因為我們一直在學習函數(shù)，函數(shù)是要用圖象解決問題的，也就是用坐標系解決問題。本章是學三角函數(shù)，我想需要引進坐標系。
師：嗯，說得有理有據(jù)！根據(jù)學生2與學生3的說法，哪個規(guī)定更合理呢？
生：學生3的說法更合理。
師：很好！學生3已經(jīng)學會了函數(shù)的學習方法，我想本書主編也是這么想的。
（學生會心地笑了。）
二、教學感悟與思考
1.數(shù)學概念教學要體現(xiàn)自然、合理、人情味
人教版教材主編寄語中寫道：“數(shù)學是自然的，數(shù)學概念……的起源與發(fā)展都是自然的。如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么想一下它的背景、它的形成過程、它的應用，以及它與其他知識的聯(lián)系，你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味?！睌?shù)學概念教學要讓學生感覺到引入概念的必要性、合理性。讓學生親歷概念的自然形成過程。這個過程不一定是數(shù)學家原本的思維過程，只要教學時能夠讓學生自圓其說，讓教材中冰冷的規(guī)定與表述由教師通過適當?shù)膯栴}引導學生表述成功。教師在概念的背景引入上需濃墨重彩，顯示數(shù)學概念逐步形成的過程，挖掘蘊涵在其中的思想方法，使學生體會內(nèi)涵于概念中“冰冷的美”，背后的那些“火熱的思考”。學生能感受數(shù)學概念是自然、合理，充滿人情味的，能體會數(shù)學的美，樂于親近數(shù)學。案例中的負角概念的出現(xiàn)與正負角規(guī)定都是在教師的誘導下學生表達完成。
2.數(shù)學概念教學要能“自圓其說”
張奠宙先生說過數(shù)學教學有三種不同的形態(tài)，第一種是數(shù)學家創(chuàng)建數(shù)學結(jié)構(gòu)過程中的原始狀態(tài)；第二種是整理研究成果之后發(fā)表在數(shù)學雜志上、陳述于課本上的學術形態(tài)；第三種是便于學生學習理解，在課堂上出現(xiàn)的教育形態(tài)。教師每天面對課本上的數(shù)學概念，就是張先生說的第二種形態(tài)。是嚴謹、簡潔的知識成品，但對于學生來說它們猶如天外來客。如何把“冷冰冰的”第二種形態(tài)轉(zhuǎn)化為學生易于接受的第三種形態(tài)，需要教師對數(shù)學第一種形態(tài)的探究。雖然很多數(shù)學概念的原始生成過程隨著歲月的流逝，已經(jīng)面目全非或無從考證，但只要教師具備考古學家的精神，深刻挖掘背景知識，探索數(shù)學概念和生活的聯(lián)系，通過合理的想象與合情推理，盡可能地還原數(shù)學概念的本來面貌。在數(shù)學概念教學中做到“自圓其說”，使學生感受到概念不僅合情合理，甚至還很有人情味，從而讓學生理解數(shù)學、喜歡數(shù)學。案例中學生對正負角規(guī)定的解釋能夠從函數(shù)學習的角度自圓其說。蘇霍姆林斯基說過：“在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者?！弊詧A其說的過程，讓學生有發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者的快樂感。他們從中感受數(shù)學的規(guī)定與發(fā)明并不神秘，他們能用自己的眼睛來發(fā)現(xiàn)、用自己的智慧參與數(shù)學創(chuàng)造，從而感受數(shù)學學習的快樂。
參考文獻：
[1]章建躍，陶維林.注重學生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學[J].數(shù)學通報，2009（6）：19-24.
數(shù)學概念分為原始概念和定義概念。原始概念往往是直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關系抽象而來的,比較直觀具體。在教學中,教師若能很好地利用直觀教具,使學生通過觀察而明確概念所反映的對象、特性,以及概念所適用的范圍,則能收到較好的效果。定義概念,雖然是對客觀事物的空間形式和數(shù)量關系的反映,但其產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了抽象和概括的過程,具有其本身的復雜性和抽象性。因此,在進行定義概念教學時,教師有針對性地引導和幫助學生逐個角度、逐個層面地認識概念反映的對象,是很有必要的。
1.明確概念的研究對象
對概念要做到能夠正確理解,明確概念的研究對象是第一要義。教師在進行概念教學,特別是在初步建立新概念時,必須首先明確指出概念的研究對象是什么,同時可采用類比、反例等手段對概念的研究對象進行個性凸顯。例如,對“平行線”之一概念的教學,教師在引導學生通過觀察得出平行線是“同一平面內(nèi)的兩條不相交的直線”時,要強調(diào)平行線概念的研究對象是同一平面內(nèi)的兩條直線,它不是射線、線段,更不是曲線。學生對于研究對象的明確,意味著對新概念已初步地接受,有了初步的認知。
2.明確概念成立的條件
要正確理解概念,明確概念成立的條件同樣是很重要的環(huán)節(jié)。有些概念的表述很相似,但隨著其限制條件的不同,概念的內(nèi)涵可能完全不同。比如,“在同一平面內(nèi)的兩條不相交的直線是平行線”,這一關于平行線的概念,如果忽視了其前提條件“在同一平面內(nèi)”,“平行線”之一概念就不一定成立。因為在空間中確實存在著不相交但也確實不平行的直線——異面直線;再如“圓”之一概念的表述為“在同一平面內(nèi),到一定點的距離等于定長的點的集合”,如果沒有“在同一平面內(nèi)”這一前提作保障,“圓”的概念同樣不能成立,因為在空間中到定點的距離等于定長的點的集合可能是球面。像這樣的條件性較強的概念在中學數(shù)學中是很多的,教師要用類比的方法,使學生對概念成立的條件有明確的認識和全面的理解。
3.揭示概念的內(nèi)涵
概念的內(nèi)涵是概念的反映對象在一定條件下所具備的本質(zhì)屬性,是此概念區(qū)別于其他概念的根本標志。一個定義概念,其研究對象及相應條件的確定,即意味著概念內(nèi)涵的確定。因此,概念教學的主要任務之一即是要凸顯概念的內(nèi)涵本質(zhì)和本質(zhì)特征,同時要幫助學生排除誤解因素對本質(zhì)理解的干擾。
由于在教學中,給概念下定義常用“種概念加類差”的方式,因此概念教學時要重點講解定義中種概念和類差,使學生認識到被定義概念既擁有它的種概念的一切屬性,又有自己所獨有的特性即類差。例如,“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”這一定義中,“四邊形”就是平行四邊形所具有的最鄰近的種概念,類差是“兩組對邊平行”。應強調(diào)指出平行四邊形首先是四邊形,具有四邊形的一切屬性,如內(nèi)角和為360°,具有不穩(wěn)定性等,同時還應強調(diào)平行四邊形是特殊的四邊形,特殊在“有兩組對邊分別平行”。
有些概念的種概念和類差不夠明確,教學時通常還要從側(cè)面對這些概念的內(nèi)涵進行闡述。比如“互為余角”概念的教學,必須強調(diào)兩點:其一,必須是兩個角,單獨一個90°角或和為90°的三個角及三個以上角,都不能說互為余角;其二,兩個角之和必須為90°。這兩點即是“互為余角”這一概念的本質(zhì)所在。另外,教學實踐表明,很有必要向?qū)W生說明兩個角是否互余與角所處的位置無關,比如南極有一個角為30°,北極有一個角為60°,但這兩個角仍然互為余角。
4.在應用中加深對概念的理解
無疑,學習概念是為了應用。學生對初學概念即使能弄清其基本含義,也未必能運用概念進行運算、證明。同時,應用是對概念的加深理解最有效的方式和途徑,具體應用過程可使概念的對象屬格化、抽象的條件具體化、深刻的定義淺顯化。所以,必須配以典型的例題,引導學生掌握概念的適用范圍和方法,從而加深學生對概念的理解。仍以“互為余角”概念為例,配以如下例題,要求學生自己先行解答。
例:如圖所示,在ABC中,∠ACB=90°,CDAB于點D,DEAC于點E,則圖中互余的角共有( ?搖?搖)對。
A.6 B.7 C.8 D.9
結(jié)果多數(shù)學生選C。我們對此題作如下分析:在解決直角三角形中的互余問題時,要考慮三種情況:①直角三角形中的直角被分成兩部分的兩個角互余:∠1與∠2,∠3與∠4;②同一直角三角形中的兩個銳角互余:∠2與∠B,∠1與∠3,∠4與∠A,∠A與∠B,∠1與∠A;③等量代換得到的互余角:∠2=∠3,故∠3+∠B=90°,∠2+∠4=90°,即∠3與∠B、∠2與∠4也是互余角,所以共有9對互余角,正確答案為D。該題中學生出錯的主要原因是不自覺中對“互為余角”強調(diào)了位置關系。通過以上分析,學生可以更全面、深刻地理解“互為余角”這一概念。
5.梳理概念之間的關系,形成概念體系
關鍵詞:過程數(shù)學
數(shù)學教育不等同于傳授數(shù)學知識，它不僅給學生提供了一種科學語言、一門知識，更應當是一種思想方法，是陶冶情操、訓練心智的一種工具。數(shù)學學者何良仆曾經(jīng)說過：數(shù)學教育中重要的問題，不是教什么題材，而是教給學生更珍貴的東西——如何掌握題材。也就是說，數(shù)學教育中的價值不在于掌握數(shù)學知識，主要在于“數(shù)學過程”。
一、對“數(shù)學過程”的認識
“數(shù)學過程”是一個有關數(shù)學思維及數(shù)學教育的核心概念。它主要是對一系列思維活動過程的概括，即：數(shù)學概念、公式、定理、法則的提出過程；數(shù)學結(jié)論的形成過程；數(shù)學思想方法的探索及概括總結(jié)過程，其本質(zhì)是以“抽象——符號變換——應用”為核心的思維過程。即數(shù)學是來源于現(xiàn)實生活并用于現(xiàn)實生活這一根本，從最原始模糊而籠統(tǒng)的印象，豐富多彩的具體直觀形象，直到最終形成抽象的形式體系，嚴格的邏輯演繹推理，進而在解決問題中加以應用，這就是數(shù)學過程數(shù)學過程是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的最基本、最有效的方法。
數(shù)學學習是一個通過長期系統(tǒng)數(shù)學活動來培養(yǎng)學生的數(shù)感、符號感、邏輯性、空間觀念、統(tǒng)計觀念以及應用意識與推理能力的過程，它培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度、科學方法、科學的學習習慣、能力以及探究精神、創(chuàng)造精神和協(xié)作精神，使學生充分經(jīng)歷“數(shù)學過程”的磨礪，在知識、智力、品質(zhì)、情感、態(tài)度和價值觀等方面得到全面發(fā)展，成為適應社會進步的高素質(zhì)人才。
二、教學中無“數(shù)學過程”教學的原因及弊端
如果學數(shù)學知識只為懂得某一知識的結(jié)論，而不了解事物發(fā)生、發(fā)展變化的過程，這樣的知識是殘缺不全的、是靜止的、孤立的知識?！皵?shù)學過程”是數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，是嚴密數(shù)學思維的必要環(huán)節(jié)，是知識內(nèi)化、構(gòu)建數(shù)學知識體系的關鍵元素。只有掌握“過程”才能將各部分的知識融為一體，舉一反三，使學生的解題能力大大提高。
“數(shù)學是系統(tǒng)化了的知識?！睌?shù)學的很多概念都蘊含了樸素的數(shù)學思想，基本上都來源于學生的生活經(jīng)驗。應該說，學生認識這些樸素的思想應該很容易，可事實上學生學習“課本上的數(shù)學”很困難。主要原因在于數(shù)學的學科定義高度抽象、概括，教材不易呈現(xiàn)其形成與發(fā)展的過程，它所呈現(xiàn)的是形式化的、冰冷的結(jié)果，教學如果從這些“冰冷”的形式開始，學生就不可能經(jīng)歷“火熱”的數(shù)學思考過程，直接學習現(xiàn)成的結(jié)論也不符合學生的認知特點和思維水平
在有關概念、定理、法則教學時，有些教師似乎很少關注隱藏在其背后的豐富的數(shù)學過程知識，為了考試，知識體系被簡單地肢解為一個個的知識點，強化題型覆蓋知識的作用，注重結(jié)論的使用和各種操作步驟記憶，用機械記憶和反復強化的方法進行以落實知識點為目的的訓練，這樣我們的數(shù)學課堂成了解題教學，從而導致學生對數(shù)學的興趣、態(tài)度、價值觀等心理傾向得不到相應的發(fā)展。如果你認真觀察比較教師發(fā)給學生的數(shù)學習題，不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)學題不只十分樣板，各學校所提供的數(shù)學題相當劃一。原因顯然是緊扣考試，于是不同老師給學生的數(shù)學題都十分類似，對于考試的試題，我們看到學生經(jīng)年累月身處沒有多大變化的數(shù)學經(jīng)驗空間，不難想象他們漸漸會形成機械化的數(shù)學觀，也會逐漸失去學習數(shù)學的興趣。
究其原因主要有兩點：一是教者缺少追問學科概念的本質(zhì)，二是沒有真正了解學生的思維特點與已有的知識經(jīng)驗儲備。對于前者，我們強調(diào)教師追問為什么學習這些內(nèi)容、所學習內(nèi)容的核心是什么、如何建立聯(lián)系；后者主要包括學生的生活概念、學生的思維水平與認知特點及學生已有的知識儲備。當教師對這兩個根源有深入的思考后就能設計出有過程的教學。
三、注重“數(shù)學過程”教學、提高學生數(shù)學素質(zhì)
要能充分發(fā)揮數(shù)學的作用，教學中必須設計有過程的教學，這就要求我們的教師備課時關注數(shù)學概念形成、思想的本質(zhì)以及發(fā)展的歷史本源和原始動力，關注學生樸素的問題與思維過程，關注學生的生活經(jīng)驗與數(shù)學概念之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，利用思維沖突、質(zhì)疑與障礙使學生獲得高水平理解力。激發(fā)學生學習的愿望與動機，體會到創(chuàng)造的樂趣。
注重培養(yǎng)學生觀察和發(fā)現(xiàn)問題的能力，讓學生在自主參與、合作探究中拓展實踐思路，不斷享受成功的體驗，感受創(chuàng)造過程中的無限樂趣。比如在等差數(shù)列前n項公式中提出1+2+3+…+100=?讓學生去探索為什么高斯用(1+100)×100/2式子計算，從而真正理解等差數(shù)列前n項和公式的由來，注重這個“數(shù)學過程”，學生即使忘記公式，他也能推算出等差數(shù)列求和結(jié)論。
對于學生來說學數(shù)學更要注重“數(shù)學過程”。學習數(shù)學時的重點應放在對事物認識的思考過程上，要理解和領會認識過程，而不能為了應付考試跳過對過程的認識而直接記憶結(jié)論。我們要重結(jié)論，更要重過程，只有兩者共同結(jié)合才能體現(xiàn)數(shù)學知識的整體內(nèi)涵和思想，才能真正使學生掌握一個完整的知識結(jié)構(gòu)，提高學生的數(shù)學綜合素質(zhì)。學習數(shù)學其中一個重點在于向老師學習如何科學地思考問題，以使自己的思維能力的發(fā)展建立在科學的基礎上，培養(yǎng)自己的科學思維能力，使自己對知識的領會進入更高級的境界。
總之，當《數(shù)學課程標準》提出了過程性目標時，我們應正視數(shù)學過程教學的價值，優(yōu)化教學環(huán)節(jié)，突出數(shù)學過程教學，讓學生在深刻體驗“數(shù)學過程”中提升數(shù)學能力、數(shù)學素養(yǎng)。
參考文獻：
關鍵詞：高中數(shù)學；探究；問題呈現(xiàn)
在新課程走過的這些年里，數(shù)學探究已經(jīng)成為數(shù)學教學研究中的一個常用語，這說明了新課程的相關理念已經(jīng)成為高中數(shù)學教師的一種自然意識. 但有意思的是，數(shù)學探究這一概念對于很多同行而言，可能還停留在探索研究的理解上，對于《普通高中數(shù)學課程標準》（實驗稿）提出的“圍繞某個數(shù)學問題，自主探究、學習的過程”的表述，以及其他關于數(shù)學探究的文獻中的表述，卻沒有給予太多的重視與關注，因而導致了從課程改革到現(xiàn)在，數(shù)學探究還停留在相對較淺的層面，應當說這是數(shù)學課程改革的一點不足. 從這個角度看，我們有必要對數(shù)學探究本身進行探究.由于數(shù)學探究涉及多個層面，又由于篇幅所限，本文主要以數(shù)學探究中的問題呈現(xiàn)為例談談筆者的看法，對于其他層面則做附帶性的簡述.
[?] 數(shù)學探究中問題呈現(xiàn)新思考
要深入理解數(shù)學探究，還是離不開數(shù)學探究這一概念及其定義的，事實上對概念及定義缺少理解，也是產(chǎn)生對數(shù)學探究只有經(jīng)驗性解讀的根本原因. 根據(jù)國內(nèi)高中數(shù)學同行及有關專家的研究，基于課程標準且更具針對性、科學性的定義是，“數(shù)學探究”指的是“學生圍繞某一個問題情境，通過觀察分析數(shù)學事實，以提出有意義的數(shù)學問題并解決問題的過程”. 在這個過程中，“情境表述”即產(chǎn)生問題的情境，以及“問題表述”被提高到一個新的高度. 也就是說，高中數(shù)學教學中，固然要重視探究過程的完成，但對于所探究的問題如何得出，或者說怎樣讓學生提出有意義的探究問題，成為數(shù)學探究的一個重要施力點.
這一點與常規(guī)情況下對數(shù)學探究的觀點是不一樣的，一般情況下我們認為讓學生探究的數(shù)學問題可以由教師提出（盡管實際教學中也是反對學生提出的，但總的來說真正由學生提出的可探究問題并不多），數(shù)學探究的重心在于探究過程. 而現(xiàn)在強調(diào)探究問題的提出，是對數(shù)學探究基礎的重視與回歸，某種程度上講，具有愛因斯坦所說的“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”的含義. 事實上，如果我們暫時不談高考的要求（準確地說，是目前的高考中還沒有出現(xiàn)考查學生提出問題能力的題型，因而沒有出現(xiàn)這種性質(zhì)的導向作用），我們就會更為客觀地發(fā)現(xiàn)提出問題，對于高中學生的數(shù)學學習具有更為重要的作用. 曾經(jīng)有很多高中數(shù)學同行在論文中都提出一個觀點，就是當學生有了提出問題的意識之后，當學生在某個知識點的學習中有了問題并得到解決之后，他們對相應知識點的理解是超過單純的聽的效果的，這也打消了研究問題的提出會影響學習質(zhì)量的擔心.
那么，問題不是由教師或課本提出，學生怎樣才能提出有意義的探究問題呢？關于這一點，我們的共識是：不是簡單地在陳述句前面加一個為什么，而應該向?qū)W生提供合適的素材，讓學生在一定的情境中去提出問題.
[?] 數(shù)學探究中問題呈現(xiàn)再實踐
結(jié)合以上分析，我們在教學實踐中進行了一些嘗試，這些嘗試有的是專題性質(zhì)的，也有的是穿插在日常的數(shù)學知識教學中的. 現(xiàn)將實踐所得到的一些認識形成文字，以與同行切磋.
首先，我們認為要想讓學生提出有探究意義的問題，必須有合適的素材.
這里所說的“合適”，不完全是指合乎高中數(shù)學學習的需要，更指符合他們的興趣與求知需要. 興趣需要是不言而喻的，有了興趣才會有探究的動力，而求知的需要則更多的是一種認知平衡的打破，亦即讓學生去發(fā)現(xiàn)已有知識的體系是不能解決新問題的. 根據(jù)這一認識，我們進行了一些課例探究.
課例一：圖象與函數(shù). 在高中數(shù)學學習中，為了加強學生對函數(shù)的理解，必須讓學生認識到函數(shù)可以描述具體的圖形，認識到函數(shù)是一種數(shù)學語言. 除了課本上提供的三角函數(shù)、曲線函數(shù)外，我們還可以將其拓展到數(shù)學發(fā)展史上的其他事例.
筆者在課例中向?qū)W生提供的是“阿基米得螺線”. 阿基米得螺線在數(shù)學發(fā)展史上具有重要地位，在生活中也有類似的情形，因此容易激起學生的興趣和求知欲.具體做法是，筆者首先讓學生自己去想象出一個阿基米得螺線，具體方法如下：
第一步，想象生活中盤狀蚊香；想象從螺絲的尖端看螺絲的螺紋. 教師也可以提供這些實物或投影片，以讓學生直觀感受，然后再讓學生回憶，以在大腦中形成良好的表象，以建立一定程度的形象思維.
第二步，想象一根可以繞固定點轉(zhuǎn)動的長桿在轉(zhuǎn)動，然后一個小蟲在桿上爬動，想象整個過程中小蟲爬出的軌跡. 對于某些想象能力差的學生，可以用圓規(guī)作為教具繞點轉(zhuǎn)動，用一個粉筆頭比作小蟲在圓規(guī)上由內(nèi)向外爬，然后讓學生去想象小蟲的運動軌跡.
第三步，介紹生活中其他例子，如螺絲身上的螺紋等.
有了這樣豐富的情境作為支撐，就可以引導學生去提出問題：這樣美的曲線在生活中如此常見，引起了數(shù)學家的高度興趣，面對阿基米得螺線，你們有什么探究的欲望呢？我們的教學目的自然是讓學生想到用數(shù)學語言去描述數(shù)學事物，而這一問題只可能產(chǎn)生于學生具有良好的數(shù)學意識，進而我們又發(fā)現(xiàn)這種數(shù)學又來源于日常教學中的積累，因此每學習一個數(shù)學知識，都需要跟學生強化數(shù)學語言的認識. 事實上，本課例并不完全在于要求學生能夠提出教師想要的問題，關鍵是培養(yǎng)學生一種提問的意識與能力，讓他們自己生成數(shù)學問題來源于數(shù)學事例中的意識.
其次，要想讓學生提出有意義的探究問題，教師應當向?qū)W生提供“原始問題”.
原始問題來源于首都師范大學邢教授的研究成果，數(shù)學作為物理的工具，與物理具有密不可分的關系. 在高中數(shù)學教學中，利用物理現(xiàn)象提生數(shù)學探究問題的土壤，可以讓數(shù)學探究變得更為真實. 而且通過這種學科之間發(fā)生的聯(lián)系，可以培養(yǎng)學生的數(shù)學視野與對數(shù)學的認識.
課例二：曲線方程. 曲線方程是高中數(shù)學的一個重要知識，新課學習中其都是在不同階段呈現(xiàn)的，如何讓學生對曲線方程形成一個完整、統(tǒng)一的認識呢？這是必須探究的一個問題. 而且我們注意到，類似于這種問題的探究，還有助于學生形成比較好的學習品質(zhì)，讓學生不僅得到一個良好的認知結(jié)構(gòu)，更能夠生成較好的學習方法.
我們向?qū)W生提供的原始問題是這樣的：小明看到木匠師傅要得到一個特殊形狀的木板，就在一個平面內(nèi)確定了兩個固定點A、B，其用一根線系住兩個點，然后用鐵釘將這根線向外拉直至繃直. 這個時候如果你是木匠師傅，你想得到的是什么形狀的木板，你會怎么做？當學生對這個問題有了回答之后（預期答案是“畫出一個圖形”）；還可以引導學生生成“這個圖形會是什么形狀（預期答案是“橢圓”），可否用學過的知識來尋找曲線方程”等問題. 尤其是在此基礎上，我們可以引導學生生成“今天研究圖形所用的曲線方程與已經(jīng)學過的哪些類似，有什么聯(lián)系，又有什么區(qū)別”等問題. 這樣就可以將橢圓與雙曲線形成一個整體的認識，從而將雙曲線和橢圓兩知識組塊合成一個，進而增大學生的記憶容量.
分析這一過程，我們可以看到最初提出的情境并沒有明顯的數(shù)學語言，有的只是一個生活情境，而這個情境中顯然又包含著數(shù)學知識. 因此我們說這樣的情境就是一個原始問題的情境，利用這個情境讓學生生成問題，可以培養(yǎng)學生良好的數(shù)學探究意識. 事實上在教學實踐中，我們看到起初在呈現(xiàn)這種原始問題時，學生往往無所適從，因為習慣了常規(guī)探究問題的學生不知道如何在這種原始事例中尋找數(shù)學知識，更加談不上產(chǎn)生數(shù)學探究的問題了. 而經(jīng)過了多次這樣的訓練之后，學生又很容易生成這樣的數(shù)學問題與探究意識. 這說明通過原始問題來培養(yǎng)學生的數(shù)學探究問題呈現(xiàn)的能力是有效的.
[?] 數(shù)學探究中問題呈現(xiàn)再思考
作為數(shù)學探究的開端，問題的作用是不言而喻的，數(shù)學探究的價值在于探究環(huán)節(jié)本身，根據(jù)高中數(shù)學教學的國內(nèi)外比較研究結(jié)果，數(shù)學探究所包含的五個因素中，有兩個因素與問題相關. 因此從提高學生數(shù)學素養(yǎng)的角度來看，對于問題呈現(xiàn)的研究價值也是顯而易見的. 我們要做的很大程度上是在應試的壓力下，本著數(shù)學探究的本義去實施探究.
關鍵詞：概念教學；例題設計；策略
數(shù)學概念是數(shù)學思維的基本形式，是基本技能形成與提高的必要條件，數(shù)學概念具有高度抽象性和概括性的特點，數(shù)學概念與它的性質(zhì)、公式、定理密切連系，比如“指數(shù)”這個概念理解不到位，那么“指數(shù)函數(shù)”這個概念理解也不可能到位，更談不上理解“指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”；比如“等比數(shù)列”這個概念只要能準確理解和熟練掌握，那么等比數(shù)列的通項公式與等比數(shù)列前n項和公式就能推出和記牢；比如“直線與平面垂直”這個概念如果不能正確理解和掌握，那么“直線與平面垂直的判定定理”就談不上理解記憶，而只能是死記硬背。
因此概念教學在高中數(shù)學教學中的地位非常突出，不少教師也都非常重視數(shù)學概念的教學，并且很多有自己獨到的見解和體會.而筆者在這過程中發(fā)現(xiàn)，目前概念教學最大的問題并不是如何引人概念，如何剖析概念，如何應用概念；而是有一些教師沒有選擇恰當?shù)睦}與合適的問題設計，沒有意識到例題的重要性，僅僅是形象性地、比喻性地給學生解釋概念，所以教學效果不好，既不能使學生準確理解概念，也不能使學生正確掌握概念.為此，筆者就概念教學中的例題設計與問題設計環(huán)節(jié)來談談自己的心得體會。
（一）概念引入時強調(diào)產(chǎn)生這個概念的問題情境
從無到有，學生必須要有一個契合處，以緩解新的概念對思維產(chǎn)生的“碰撞”。概念的引人意在新舊知識點或數(shù)學模型中找到一個結(jié)契合點，以實現(xiàn)新知自然銜接、過渡的目的.從學生對知識的認知規(guī)律來看，對抽象、概括事物的認識、理解需要一個具體化、形象化的過程.因此，教師在概念的教學過程中，要想方設法借助學生熟悉的或引起興趣的問題情境選取較多的合適的例題與問題設計。
點滴滲透引出“數(shù)列”概念：
情景一、讓學生看我國自主研發(fā)的神舟十一發(fā)射升空倒計時瞬間.讓學生從中抽象出一列數(shù).
情景二、從古語出發(fā)：一尺之棰，日取其半.萬世不竭.讓學生做數(shù)學實驗“撕紙尺”。體會古語中的數(shù)學含義。
情景三、貼近學生的專業(yè)，分小組讓學生課前收集必須是帶數(shù)的兒歌，留作課上分享.然后在課上讓學生從兒歌中找出隱藏著數(shù).將它們組合成一列列數(shù)。不同的學生會得到不同的一列數(shù)。通過上述事例引出數(shù)列概念的講解。
突出情境引出“弧度制” 概念：
在上“弧度制”這個概念教學時，上課教師可以手拿一面折扇，慢慢地走進教室，邊走邊打開折扇以引起學生的注意，上課之后就問：同學們請看我手中的是什么圖形？學生回答：這是扇形。教師又問：你會做扇形嗎？學生回答：會做。你做的扇形好看嗎？學生回答：不怎么好看，怎樣做才能使做的扇形好看？從而引出角度制與弧度制概念的講解。
問題設計引出“補集”概念：
觀察下面三個集合：S={x|x是高幼一（5）班的同學}，A={x|x是高幼一（5）班的男同學}，B={x|x是高幼一（5）班的女同學}。分析上面三個集合S，A，B的關系，從而引出補集的概念。
創(chuàng)設問題情境是概念引人中常用的方式方法，它不僅能夠為概念的引人做良好的準備，而且還能夠引起學生的好奇心和求知欲。
（二）概念剖析時抓住概念本質(zhì)
引人概念之后，學生雖對其有了基本的印象，但仍處于一知半解的狀態(tài)，易出現(xiàn)概念模糊、張冠李戴的現(xiàn)象，特別是有些數(shù)學概念概括性強，需要逐字逐句的分析、理解。
（1）剖析概念中關鍵詞的含義 準確掌握概念
某些關鍵詞是理解和掌握概念的鑰匙，有些學生由于對少數(shù)概念理解不到位，特別是對原始概念的理解更是如此，從而為后繼知識的學習埋下隱患，使學習效果大打折扣.因此，教師必須要強調(diào)關鍵詞，并通過淺顯易懂的方式進行講解和剖析，確保每一位學生都能真正理解和掌握。
如在“集合”的學習中，要強調(diào)“集合”是一個原始概念，是不可能下定義的，因此不能用“叫做”這兩個字，只能用描述性的語言表述為：在一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體能構(gòu)成一個集合。教師可通過實例：（1）我們班中的每一名學生都是確定的，而且也沒有相同的，因此我們班學生的全體能構(gòu)成一個集合。（2）我們班中的美麗的女學生是不確定的，因為“美麗”這個詞沒有精確的定義，所以我們班美麗的女學生不能構(gòu)成一個集合。（3）“good中的英文字母的全體”能構(gòu)成一個集合，因為該集合中的不同英文字母只能是g，o，d三個，盡管o這個字母在單詞good出現(xiàn)過兩次，但也只能在該集合中看成一個。
通過以上實例讓學生們深刻理解“集合”這個概念中的“確定的”、“不同的”兩個關鍵詞的準確含義。
如在“數(shù)列”的學習中，數(shù)列的定義為：按一定次序排列的一列數(shù).看似簡單的一句話，學生理解起來卻并不樂觀.很多學生對于“一定次序”四個字理解不到位，怎么樣才算是‘一定次序’？”教師可以通過書本中一個例子：我國參加6次奧運會獲金牌數(shù)依次為15，5，16，16，28，32，如果交換其中的數(shù)字5和16的位置，還能表達原來的含義嗎？
顯然不能，通過這個例子的講解來幫助學生理解“一定次序”的準確含義；“同學們都知道1，3，5，7，…是數(shù)列，那么1，3，1，3，1，3，…是否也算是數(shù)列呢？ 2，4，6，8，10和10，8，6，4，2是不是屬于同一數(shù)列？”在學生分組討論之后，教師強調(diào)關鍵詞 “一定次序”的含義，這樣學生自然就能得出結(jié)論：如果組成兩個數(shù)列的數(shù)是相同的而排列次序是不同的，那么它們就是不同的數(shù)列；既然定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，那么同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn)。
（2）逐層分析，通過歸納現(xiàn)象找出規(guī)律，從而抓住概念的內(nèi)在含義。
數(shù)學概念中符號式子具有高度的概括性，教師可以通過對符號式子進行逐層分析來理清概念的內(nèi)在含義，從而達到抓住概念本質(zhì)的目的.因此，教師在概念教學的過程中，要注意逐層地對概念進行展開分析整理，一方面深化學生對概念的理解和掌握，另一方面以培養(yǎng)學生思維的周密性、嚴謹性。
如在“奇函數(shù)概念”的學習中，教師可將其從圖形與數(shù)式兩方面進行分解，通過觀察 圖形，發(fā)現(xiàn)當自變量 取一對相反數(shù)時，通過計算得出 亦取得相反數(shù)，可得出它們關于原點對稱對稱；例如 ， ，…，進一步分析可知圖像上的每一點關于原點都有對稱點，而每一點都和唯一的一個數(shù)對一一對應，也就是它們的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標也互為相反數(shù)，用數(shù)學式子可高度概括表示為： 。同樣在“偶函數(shù)概念”的學習中，教師可讓學生仿照“奇函數(shù)概念”的講解過程進行類比對照理解學習。然后再強調(diào)：（1）式子 中的 與 的含義是代表著定義域中的任意一對相反數(shù)，即“函數(shù)的定義域必須關于原點對稱”；（2）“定義域內(nèi)任一個”是指對定義域內(nèi)的每一個 ；（3）判斷函數(shù)奇偶性的第一步是看定義域。通過這樣由表及里的剖析、講解，學生對概念的理解也能夠從表層深人到其本質(zhì)。
實際上，1366875元在已知各個定價對應的收入中是最大的，但是不可能實現(xiàn)，因為定價為1350元，收入至少是10的倍數(shù)，這是理論與實際的差距。
建模體會與反思
用函數(shù)的方法研究實際問題能夠獲得最大利潤，能夠解決最優(yōu)化問題，盡管得到的結(jié)果可能與實際有出入，但是，它的建模和求解過程已經(jīng)告訴我們答案了：數(shù)學是有用的，數(shù)學是可靠的。傳統(tǒng)數(shù)學應用題的問題明確，條件一般都是充分的，而數(shù)學建模的問題一般來自實際，問題中的條件往往是不充分的、開放的或多余的，有時甚至要求學生自己動手去收集數(shù)據(jù)、處理信息。在建模的過程中作一定的假設是必須的，而傳統(tǒng)數(shù)學應用題一般不需要假設。數(shù)學建模的討論與驗證比傳統(tǒng)數(shù)學應用題的檢驗要復雜得多，不僅要驗證所得到的模型解是否符合，而且要考察它們與假設是否矛盾，與實際是否吻合等等。
通過小組成員之間的合作與探討從而加深對“數(shù)學建?！焙x的理解。
（2）辨析質(zhì)疑
正如亞里士多德所說：“思維從疑問和驚奇開始.”反思、質(zhì)疑是數(shù)學學習深化的重要途徑.在質(zhì)疑的過程中，學生往往能夠在細小的“漏洞”中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，窺見具有一般性的數(shù)學規(guī)律.因此，教師在概念的應用過程中要鼓勵學生敢于質(zhì)疑、敢于發(fā)問，以培養(yǎng)他們的思辨能力和質(zhì)疑精神。
如在學習“函數(shù)”的概念之后，不少學生雖然對“定義域”印象深刻，但在實際做題目的運用中往往拋之腦后，忽略了定義域優(yōu)先的原則.可以通過下面例題進一步加深對定義域優(yōu)先的理解。