時(shí)間：2022-04-13 04:41:03
導(dǎo)語(yǔ)：在數(shù)學(xué)理論論文的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
摘 要：數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)生活，數(shù)學(xué)貫穿于我們生活的方方面面。華羅庚說(shuō)過(guò)：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)。所以，提高數(shù)學(xué)老師的素養(yǎng)至關(guān)重要。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教師 數(shù)學(xué)素養(yǎng)
數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指在個(gè)人的先天素質(zhì)的基礎(chǔ)上，受后天教育與環(huán)境的影響，通過(guò)個(gè)體自身的學(xué)習(xí)、認(rèn)識(shí)和實(shí)踐活動(dòng)等所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想觀念等的一種綜合修養(yǎng)。我們也稱之為數(shù)學(xué)品質(zhì)。數(shù)學(xué)素養(yǎng)當(dāng)然也包括與數(shù)學(xué)有關(guān)的人文修養(yǎng)。
一、加強(qiáng)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的重要性和必要性
目前教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)欠缺，到底欠缺在哪里？我認(rèn)為，主要還是欠缺在數(shù)學(xué)本身，即數(shù)學(xué)的現(xiàn)代修養(yǎng)上。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)之所以能取得舉世矚目研究成果，至今仍沒(méi)有人超過(guò)他，用國(guó)外數(shù)學(xué)家和同行的話來(lái)說(shuō)，“他是移動(dòng)了群山才達(dá)到這一研究水平的”。這個(gè)群山就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眾多基礎(chǔ)知識(shí)和思想觀念。當(dāng)然，對(duì)絕大多數(shù)數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)不可能也不必要具有專職數(shù)學(xué)家那樣的數(shù)學(xué)水平和研究能力。但是從《課標(biāo)》中所列出的那些數(shù)學(xué)內(nèi)容與模塊看來(lái)，尤其是要開(kāi)設(shè)的那些選修課，有許多都涉及到了近現(xiàn)代的數(shù)學(xué)分支，如果教師本身不具備這些必要的功底，如何能適應(yīng)新的教學(xué)任務(wù)？數(shù)學(xué)的知識(shí)、能力和品質(zhì)，知識(shí)是基礎(chǔ)，沒(méi)有知識(shí)，能力何在？更何談創(chuàng)新與發(fā)明？
二、數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的構(gòu)成
數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要包括數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法的理解與掌握、數(shù)學(xué)的意識(shí)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用等四個(gè)要素。
（一）數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)
完整準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，對(duì)數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)具有十分重要的作用。事實(shí)上，如果一名教師注重?cái)?shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)，他就會(huì)自覺(jué)地把數(shù)學(xué)視為模式的科學(xué)；如果一名教師注重過(guò)程，他就會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)是直覺(jué)和邏輯的產(chǎn)物；如果一名教師注重社會(huì)價(jià)值，他又會(huì)把數(shù)學(xué)理解為是一種工具等等。新課程標(biāo)準(zhǔn)更加關(guān)注人的發(fā)展，更加注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，因此，數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)要注重由絕對(duì)主義的靜態(tài)觀向可誤主義的動(dòng)態(tài)觀轉(zhuǎn)變，這是新形勢(shì)下數(shù)學(xué)教師建構(gòu)專業(yè)理念的一個(gè)基本條件。
（二）數(shù)學(xué)的意識(shí)
數(shù)學(xué)意識(shí)指的是人們通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練形成的運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式的習(xí)慣，一般說(shuō)來(lái)，主要包括推理意識(shí)、抽象意識(shí)、整體意識(shí)與化歸意識(shí)。推理意識(shí)就是養(yǎng)成數(shù)學(xué)推理的習(xí)慣，既包括在數(shù)學(xué)理論思考中由一個(gè)或一些判斷導(dǎo)致另一判斷，也包括由經(jīng)驗(yàn)事實(shí)引出的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)判斷。抽象意識(shí)指的是在數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析和解決過(guò)程中，把適當(dāng)?shù)膯?wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行抽象概括。整體意識(shí)是指全面地、從全局上考慮問(wèn)題的習(xí)慣。化歸意識(shí)則指的是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，用聯(lián)系的、發(fā)展的、運(yùn)動(dòng)變化的眼光觀察問(wèn)題，認(rèn)識(shí)問(wèn)題，有意識(shí)的對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變?yōu)橐捉饣蛞呀獾膯?wèn)題。數(shù)學(xué)的意識(shí)，還集中表現(xiàn)在用數(shù)學(xué)去描述、理解和解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，借助于數(shù)學(xué)方法使問(wèn)題獲得解決。
（三）數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用
數(shù)學(xué)語(yǔ)言，又叫符號(hào)語(yǔ)言，它是一種改進(jìn)了的自然語(yǔ)言，通過(guò)使用字詞、符號(hào)、圖形體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，具有精煉、準(zhǔn)確、清晰等特點(diǎn)。將文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖像語(yǔ)言互相轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的最基本的要求。
數(shù)學(xué)語(yǔ)言是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中充分發(fā)揮個(gè)人的創(chuàng)造性，正確處理教學(xué)中各種矛盾，正確有效地把數(shù)學(xué)知識(shí)傳遞給學(xué)生，最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性的一種具有審美體驗(yàn)的語(yǔ)言技能活動(dòng)。是師生互動(dòng)的媒介，是師生交流思想的工具，是思維的外在表現(xiàn)形式，是教師使用最廣泛、最基本、最有效的知識(shí)信息載體。沒(méi)有準(zhǔn)確、規(guī)范、簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)語(yǔ)言作為媒介，很難想象一節(jié)數(shù)學(xué)課是優(yōu)質(zhì)的，或是成功的。因此，熟練掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言也是我們數(shù)學(xué)教師做好未來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)工作的基礎(chǔ)。
除了上述所列三類數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還有諸如對(duì)數(shù)學(xué)史的明了、數(shù)學(xué)美的悟性、數(shù)學(xué)論文寫作、數(shù)學(xué)信息檢索等方面的能力素養(yǎng)也是數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組織部分。
三、數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)
培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，重在抓內(nèi)因，沒(méi)有個(gè)人認(rèn)識(shí)上的到位，外因起不了多大作用。為此，筆者建議做好以下幾點(diǎn)：
（一）提高數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)重要性的認(rèn)識(shí)
當(dāng)今教師的專業(yè)化發(fā)展對(duì)教師的從教素質(zhì)提出了越來(lái)越高的要求，無(wú)論在教學(xué)技能、還是在專業(yè)知識(shí)上。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程目標(biāo)中明確指出：“強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念，以及應(yīng)用意識(shí)與推理等基本能力”。“從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題、理解問(wèn)題，并能綜合所學(xué)的知識(shí)和技能解決問(wèn)題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)”。這些雖是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)目標(biāo)，同時(shí)也是對(duì)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)能力的要求。作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)具有比學(xué)生數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)目標(biāo)更高的能力水平。
（二）要積極倡導(dǎo)數(shù)學(xué)課外閱讀
數(shù)學(xué)教師具有了較豐富的數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)，對(duì)一般的數(shù)學(xué)課外讀物都能嘗試加以閱讀。諸如，張景中院士的《新概念幾何》、《數(shù)學(xué)家的眼光》，李毓佩教授著《奇妙的數(shù)王國(guó)》，談祥伯教授等的《數(shù)學(xué)與文史》、《數(shù)學(xué)與建筑》、《數(shù)學(xué)與金融》等。在數(shù)學(xué)教師中廣泛倡導(dǎo)閱讀這些數(shù)學(xué)科普讀物，不但可以提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣以及閱讀理解能力，而且可以讓學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步明了數(shù)學(xué)的曲折發(fā)展歷程，從中感悟數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力。
（三）要強(qiáng)化數(shù)學(xué)教師的解題訓(xùn)練
論文摘要：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型是研究經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要工具，在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中占有重要的地位。文章從經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵、構(gòu)建經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的方法、遵循的基本原則以及所要注意的問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)要分析和論述。
數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)息息相關(guān)，可以說(shuō)每一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究、決策，都離不開(kāi)數(shù)學(xué)的應(yīng)用。特別是自從諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)創(chuàng)設(shè)以來(lái)，利用數(shù)學(xué)工具來(lái)分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題得到的理論成果層出不窮，經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用數(shù)學(xué)方法的趨勢(shì)越來(lái)越明顯。當(dāng)代西方經(jīng)濟(jì)學(xué)認(rèn)為，經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本方法是分析經(jīng)濟(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系，建立經(jīng)濟(jì)模型，從中引申出經(jīng)濟(jì)原則和理論，進(jìn)行預(yù)測(cè)、決策和監(jiān)控。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)的運(yùn)用首要的問(wèn)題是實(shí)用性和實(shí)踐性問(wèn)題，即能否用所建立的模型去概括某一經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象或說(shuō)明某一經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。因而，數(shù)學(xué)模型分析已成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的基本趨向，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型在研究許多特定的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題時(shí)具有重要的不可替代的作用，在經(jīng)濟(jì)學(xué)日益計(jì)量化、定量分析的今天，數(shù)學(xué)模型方法顯得愈來(lái)愈重要。
一、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)涵
數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)思想精華的具體體現(xiàn)，是對(duì)客觀實(shí)際對(duì)象的數(shù)學(xué)表述，它是在一定的合理假設(shè)前提下，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化，基于數(shù)學(xué)理論和方法，用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)命題、圖形、圖表等來(lái)刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性及其內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)數(shù)學(xué)模型與經(jīng)濟(jì)問(wèn)題有機(jī)地結(jié)合在一起時(shí)，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型也就產(chǎn)生了。所謂經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型，就是把實(shí)際經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象內(nèi)部各因素之間的關(guān)系以及人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，歸結(jié)成一套反映數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式和一系列的具體算法，用來(lái)描述經(jīng)濟(jì)對(duì)象的運(yùn)行規(guī)律。所以，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型是對(duì)客觀經(jīng)濟(jì)數(shù)量關(guān)系的簡(jiǎn)化反映，是經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和經(jīng)濟(jì)過(guò)程中客觀存在的量的依從關(guān)系的數(shù)學(xué)描述，是經(jīng)濟(jì)分析中科學(xué)抽象和高度綜合的一種重要形式。
經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型是研究分析經(jīng)濟(jì)數(shù)量關(guān)系的重要工具，它是經(jīng)濟(jì)理論和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)的中間環(huán)節(jié)。它在經(jīng)濟(jì)理論的指導(dǎo)下對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)化，但在主要的本質(zhì)方面又近似地反映了經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)，所以是經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)的抽象。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型能起明確思路、加工信息、驗(yàn)證理論、計(jì)算求解、分析和解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的作用，特別是對(duì)量大面廣、相互聯(lián)系、錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析研究，更離不開(kāi)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的幫助。運(yùn)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)建模來(lái)分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)走向，提出經(jīng)濟(jì)對(duì)策已是大勢(shì)所趨。
在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中，用到的數(shù)學(xué)非常廣泛，有些還相當(dāng)精深。其中包括線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、非線性規(guī)劃、不動(dòng)點(diǎn)定理、變分發(fā)、控制理論、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、凸集理論、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過(guò)程、矩陣論、微分方程、對(duì)策論、多值函數(shù)、機(jī)智測(cè)度等等，它們應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的許多部門，特別是數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。
二、建立經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的基本步驟
1.模型準(zhǔn)備。首先要深入了解實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題以及與問(wèn)題有關(guān)的背景知識(shí)，對(duì)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象及原始背景進(jìn)行細(xì)致觀察和周密調(diào)查，以獲取大量的數(shù)據(jù)資料，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工分析、分組整理。
2.模型假設(shè)。通過(guò)假設(shè)把實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題簡(jiǎn)化，明確模型中諸多的影響因素，并從中抽象最本質(zhì)的東西。即抓住主要因素，忽略次要因素，從而得到原始問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)化了的理想化的自然模型。
3.模型建立。在假設(shè)的基礎(chǔ)上，根據(jù)已經(jīng)掌握的經(jīng)濟(jì)信息，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻畫變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，把理想化的自然模型表述成為一個(gè)數(shù)學(xué)研究的題材——經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型。
4.模型求解。使用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)和觀測(cè)數(shù)據(jù)，利用相關(guān)數(shù)學(xué)原理和方法，求出所建模型中各參數(shù)的估計(jì)值。
5.模型分析。求出模型的解后，對(duì)解的意義進(jìn)行分析、討論，即這個(gè)解說(shuō)明了什么問(wèn)題？是否達(dá)到了建模的目的？根據(jù)實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的原始背景，用理想化的自然模型的術(shù)語(yǔ)對(duì)所得到的解進(jìn)行解釋和說(shuō)明。
6.模型檢驗(yàn)。把模型的分析結(jié)果與經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的實(shí)際情況進(jìn)行比較，以考察模型是否符合問(wèn)題實(shí)際，以此來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和實(shí)用性。如果模型與問(wèn)題實(shí)際偏差較大，則須調(diào)整修改。
三、建立經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型應(yīng)遵從的主要原則
1.假設(shè)原則。假設(shè)是某一理論所適用的條件，任何理論都是有條件的、相對(duì)的。經(jīng)濟(jì)問(wèn)題向來(lái)錯(cuò)綜復(fù)雜，假設(shè)正是從復(fù)雜多變因素中尋求主要因素，把次要因素排除在外，提出接近實(shí)際情況的假設(shè)，從假設(shè)中推出初步結(jié)論，然后再逐步放寬假設(shè)條件，逐步加進(jìn)復(fù)雜因素，使高度簡(jiǎn)化的模型更接近經(jīng)濟(jì)運(yùn)行實(shí)際。作假設(shè)時(shí)，可以從以下幾方面來(lái)考慮：關(guān)于是否包含某些因素的假設(shè)；關(guān)于條件相對(duì)強(qiáng)弱及各因素影響相對(duì)大小的假設(shè)；關(guān)于變量間關(guān)系的假設(shè)；關(guān)于模型適用范圍的假設(shè)等等。
2.最優(yōu)原則。最優(yōu)原則可以從兩方面來(lái)考慮：其一是各經(jīng)濟(jì)變量和體系上達(dá)到一種相對(duì)平衡，使之運(yùn)行的效率最佳；其次是無(wú)約束條件極值存在而達(dá)到效率的最優(yōu)、資源配置的最佳、消費(fèi)效用或利潤(rùn)的最大化。由于經(jīng)濟(jì)運(yùn)行機(jī)制是為了實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的最優(yōu)可能性，我們?cè)诮⒔?jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型時(shí)必須緊緊圍繞這一目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行。
3.均衡原則。即經(jīng)濟(jì)體系中變動(dòng)的各種力量處于相對(duì)穩(wěn)定，基本上趨于某一種平衡狀態(tài)。在數(shù)學(xué)中所表述的觀點(diǎn)是幾個(gè)函數(shù)關(guān)系共同確定的變量值，它不單純是一個(gè)函數(shù)的變動(dòng)去向，而是整個(gè)模型所共有的特殊結(jié)合點(diǎn)，在該點(diǎn)上整個(gè)體系變動(dòng)是一致的，即達(dá)到一種經(jīng)濟(jì)聯(lián)系的平衡。如需求函數(shù)和供給函數(shù)形成的均衡價(jià)格和數(shù)量，使市場(chǎng)處于一種相對(duì)平衡狀態(tài)，從而達(dá)到市場(chǎng)配置的最優(yōu)。
4.數(shù)、形、式結(jié)合原則。數(shù)表示量的大小，形表示量的集合，式反映了經(jīng)濟(jì)變量的聯(lián)系及規(guī)律，三者之間形成了邏輯的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)中圖形是點(diǎn)的軌跡，點(diǎn)是函數(shù)的特殊值，因而也是函數(shù)和曲線的統(tǒng)一?？梢哉J(rèn)為經(jīng)濟(jì)問(wèn)題是復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中的一個(gè)點(diǎn)，函數(shù)則是經(jīng)濟(jì)變量之間的相互依存、相互作用關(guān)系，圖形就是經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的規(guī)律和機(jī)制。所以，數(shù)、形、式是建模的主要工具和手段，是解決客觀經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的三個(gè)要素。
5.抽象與概括的原則。抽象是思維的延伸，概括是思維的總結(jié)，抽象原則揭示了善于從紛繁復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象延伸到經(jīng)濟(jì)本質(zhì)，挖掘其本質(zhì)的反映，概括是經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的縱橫比較與分析，以便把握其本質(zhì)屬性，揭示其規(guī)律。
四、構(gòu)建和運(yùn)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型應(yīng)注意的問(wèn)題
經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型是對(duì)客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的把握，是相對(duì)的、有條件的。經(jīng)濟(jì)研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法時(shí)，必須以客觀經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的實(shí)際為基礎(chǔ)，以最初的基本假設(shè)為條件，一旦突破了最初的基本假設(shè)，就需要研究探索使用新的數(shù)學(xué)方法；一旦脫離客觀經(jīng)濟(jì)實(shí)際，數(shù)學(xué)的應(yīng)用就失去了意義。因此，在構(gòu)建和運(yùn)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型時(shí)須注意到：
1.首先對(duì)所研究的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題要有明確的了解，細(xì)致周密的調(diào)查。分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題運(yùn)行的規(guī)律，獲取相關(guān)的信息和數(shù)據(jù)，明確各經(jīng)濟(jì)變量之間的數(shù)量關(guān)系。如果條件不太明確，則要通過(guò)假設(shè)來(lái)逐漸明確，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題。
2.明確建模的目的。出于不同的目的，所建模型可能會(huì)有很大的差異。建模目的可能是為了描述或解釋某一經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象；可能是預(yù)報(bào)某一經(jīng)濟(jì)事件是否發(fā)生，或者發(fā)展趨勢(shì)如何；還可能是為了優(yōu)化管理、決策或控制等。總之，建立經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型是為了解決實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，所以建模過(guò)程中不僅要建立經(jīng)濟(jì)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式，還必須清楚這些表達(dá)式在整個(gè)模型中的地位和作用。
3.在經(jīng)濟(jì)實(shí)際中只能對(duì)可量化的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，對(duì)不可量化的事物只能建造模型概念，而模型概念是不能進(jìn)行數(shù)量分析的。盡管經(jīng)濟(jì)模型是反映事物的數(shù)量關(guān)系的，但必須從定性開(kāi)始，離開(kāi)具體理論所界定的概念，就無(wú)從對(duì)事物的數(shù)量進(jìn)行分析和討論。
4.不同數(shù)學(xué)模型的求解一般涉及不同的數(shù)學(xué)分支的專門知識(shí)，所以建模時(shí)應(yīng)盡可能利用自己熟悉的數(shù)學(xué)分支知識(shí)。同時(shí)，也應(yīng)征對(duì)問(wèn)題學(xué)習(xí)了解一些新的知識(shí)，特別是計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展為建模提供了強(qiáng)有力的輔助工具，熟練掌握一些數(shù)學(xué)或經(jīng)濟(jì)軟件如Matlab、Mathematic、Lindo也是必不可少的。
5.根據(jù)調(diào)查或搜集的數(shù)據(jù)建立的模型，只能算作一個(gè)“經(jīng)驗(yàn)公式”，只能對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象做出粗略大致的描述，據(jù)此公式計(jì)算出來(lái)的數(shù)據(jù)只能是個(gè)估計(jì)值。同時(shí)，模型相對(duì)于客觀實(shí)際不可避免的產(chǎn)生一定誤差，一方面要根據(jù)模型的目的確定誤差允許的范圍；另一方面，要分析誤差來(lái)源，若誤差過(guò)大，須尋找補(bǔ)救方案。
6.用所建經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型去說(shuō)明或解釋處于動(dòng)態(tài)中的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象時(shí)，必須注意時(shí)空條件的變化，必須考慮不可量化因素的影響作用以及在一定條件下次要因素轉(zhuǎn)變?yōu)橹饕蛩氐目赡苄浴?/p>
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文化結(jié)構(gòu)由物質(zhì)文化和精神文化組成。由于一定的社會(huì)制度是一定的物質(zhì)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，要受到一定的精神文化制約，因而可將文化結(jié)構(gòu)分成三個(gè)層面：“這就是物質(zhì)文化，制度文化和精神文化”①。數(shù)學(xué)在建立發(fā)展過(guò)程中，受到了物質(zhì)文化、制度文化、精神文化的影響及制約。
東方中國(guó)的古代文化的經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)基本上是農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)。這種情況決定古代中國(guó)的物質(zhì)文化是農(nóng)業(yè)文化。中國(guó)古代數(shù)學(xué)也與農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)有著密切的關(guān)系。《九章算術(shù)》是中國(guó)最古老的經(jīng)典著作，書(shū)有九章，包含246個(gè)問(wèn)題。都和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)有關(guān)，九章分別是方田（土地測(cè)量）、粟米（百分法和比例）、衰分（比例分配）、少?gòu)V（減少寬度）、商功（工程審議）、均輸（征稅）、盈不足（過(guò)剩與不足）、方程（列表計(jì)算的方法）、勾股（直角三角形）。這些問(wèn)題都是用來(lái)解決農(nóng)田的測(cè)量、粟米的稱量，農(nóng)業(yè)水利工程的測(cè)算等?！段宀芩憬?jīng)》是一部為地方行政人員所寫的應(yīng)用算術(shù)，全書(shū)五卷，有田曹、兵曹、集曹、倉(cāng)曹、金曹五個(gè)部分。田曹卷的主題是田地面積的量法；兵曹算術(shù)大都是軍隊(duì)的給養(yǎng)問(wèn)題；集曹問(wèn)題和《九章算術(shù)》粟米章問(wèn)題相仿；倉(cāng)曹解決糧食的征收、運(yùn)輸和儲(chǔ)藏問(wèn)題；金曹問(wèn)題以絲絹、錢幣等物資為對(duì)象，是簡(jiǎn)單的比例問(wèn)題。我國(guó)古代大數(shù)學(xué)家劉徽到祖沖之、祖沖之研究圓周率和圓面積的輝煌成就中，都深深地打著農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)的印記。農(nóng)業(yè)的交通工具主要是車，車輪是否圓，不僅和車輛行駛中的平穩(wěn)狀況有關(guān)，而且還和省力有關(guān)，因而農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)的需要使得我國(guó)圓周率的研究在世界數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)?shù)牡匚弧＿^(guò)去，農(nóng)業(yè)的顯著特點(diǎn)是靠天吃飯，天文、節(jié)氣的測(cè)算是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的需要，在中國(guó)，古代天文測(cè)算的成果是相當(dāng)輝煌的，“東漢末年天文學(xué)家劉洪造乾象歷法（公元206年），創(chuàng)立了推算定朔、定望時(shí)刻的公式”?！八宄煳膶W(xué)家劉焯在他的杰作《皇極歷》（公元600年）中創(chuàng)立了一個(gè)推算日、月、五星行度的比以前更加精密的公式”②。天文學(xué)的發(fā)展推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。解一次同余式就是由天文測(cè)算開(kāi)始的。天文數(shù)學(xué)的發(fā)展除了物質(zhì)文化的需要，還受到制度文化的要求，中國(guó)數(shù)學(xué)的重要性在于它與歷法有關(guān)，“在《疇人傳》中很難找到一個(gè)數(shù)學(xué)家不受詔參與或幫助他那個(gè)時(shí)代的歷法革新工作?！雹鄢酥袊?guó)，古代埃及數(shù)學(xué)的建立基礎(chǔ)也是農(nóng)業(yè)的需要。埃及幾何學(xué)的起源被史學(xué)家們歸因于泥羅河泛濫后土地的重新測(cè)量；巴比倫的數(shù)學(xué)起源也是如此，尤其是巴比倫數(shù)學(xué)的60進(jìn)位制來(lái)自于天文學(xué)；印度數(shù)學(xué)和占星術(shù)有關(guān)，而占星術(shù)又和農(nóng)業(yè)及宗教有關(guān)。
東方數(shù)學(xué)的建立比西方要早，但東方的數(shù)學(xué)在理論化的道路上行動(dòng)遲緩。原因何在呢？自給自足的自然經(jīng)濟(jì)的生產(chǎn)力狀況決定的生產(chǎn)力關(guān)系是以家族為中心、以血緣關(guān)系為紐帶的宗法等級(jí)關(guān)系，社會(huì)制度是宗法等級(jí)制度。自給自足的自然經(jīng)濟(jì)中分散的家族和農(nóng)民需要有高高在上、君臨一切的中央集權(quán)的君主專制制度的統(tǒng)治。在這種社會(huì)制度的影響和作用下，形成中國(guó)古代穩(wěn)定的上下尊卑等級(jí)秩序的文化心理。主要特點(diǎn)是靜態(tài)的、和解的、自然的、消極的心理特點(diǎn)。造成安于現(xiàn)狀的生活方式、工作方式、管理方式。思想僵化、調(diào)和持中，這種文化心理使得數(shù)學(xué)只停留在實(shí)用上。沒(méi)有就數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)自身的規(guī)律沒(méi)有得到完善?！霸诠糯鷸|方的全部數(shù)學(xué)中甚至找不到一個(gè)我們今天稱之為‘證明’的例子，代替論證的只有程序的描述，所講授的內(nèi)容只是‘如此這般地做’，而且也不是以一般規(guī)則的形式提出來(lái)，只不過(guò)是在一系列特殊情況下的應(yīng)用方法?！雹苓@段話雖有失偏頗，但也道出中國(guó)古代數(shù)學(xué)的特征。在中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展史上曾出現(xiàn)了劉徽、墨子、惠施等天才的數(shù)學(xué)家，但他們的數(shù)學(xué)研究和成就不能和西方的阿基米得、歐幾里德相比較。這主要是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的理論研究不受重視所致。漢王朝建立以后的“重農(nóng)抑商”政策使數(shù)學(xué)研究受不到貿(mào)易的誘惑。農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)的財(cái)富有限和填飽肚子的生活狀況，不允許人們的思想向?qū)嵱靡酝獾牡胤窖由?；隋朝開(kāi)始的科舉制度也扼殺了大批在數(shù)學(xué)研究上具有不凡才華的人。在科舉制度中數(shù)學(xué)不是要考的課程，為“學(xué)而優(yōu)則仕”而奮斗的人們，自然不會(huì)將數(shù)學(xué)當(dāng)作主修課程來(lái)學(xué)習(xí)。另外，農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)的貧困使得沒(méi)有多少人來(lái)學(xué)文化，學(xué)數(shù)學(xué)的人自然更少。在這種情況下，中國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多成就只處在應(yīng)用和描述過(guò)程階段，沒(méi)有提高到抽象的、系統(tǒng)的理論階段，從而使數(shù)學(xué)的發(fā)展和升華受到限制，象“勾股定理”、“圓周率”這些值得中國(guó)人驕傲的數(shù)學(xué)成就，沒(méi)有造成相應(yīng)的數(shù)學(xué)的轟動(dòng)效應(yīng)?！肮垂啥ɡ怼痹谖覈?guó)商高的時(shí)代就應(yīng)用比西方的畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)早600年，但由于我們沒(méi)有給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這個(gè)定理在現(xiàn)在還認(rèn)為是畢氏的成果，稱為“畢氏定理”。墨子的極限理論也沒(méi)有引起足夠的重視，后來(lái)西方數(shù)學(xué)傳入我國(guó)時(shí)才知西方極限思想和黑子的思想是一致的?！爸剞r(nóng)抑商”的文化傳統(tǒng)的價(jià)值觀具有明顯的倫理性。小農(nóng)經(jīng)濟(jì)的自給自足的環(huán)境不需進(jìn)行商品交換（至少不需要太多的貨幣介入）。生產(chǎn)中占支配地位的是使用價(jià)值，人們關(guān)心的是使用價(jià)值而不是價(jià)值，以不言利為榮，“重義輕利”的思想滲透到人們的思想深處。數(shù)學(xué)的應(yīng)用只局限于分配環(huán)節(jié)中。而在復(fù)雜的流通和交換領(lǐng)域中數(shù)學(xué)沒(méi)有機(jī)會(huì)“施展才華”。多農(nóng)少商沒(méi)有足夠的財(cái)富供人們享受，財(cái)產(chǎn)的有限性限制了人們的探險(xiǎn)精神和“想入非非”，從而限制了數(shù)學(xué)向理性的發(fā)展。
在西方，小亞西亞海岸新興的商業(yè)城市、希臘本土、西西里島和意大利海濱，由于海上貿(mào)易和戰(zhàn)爭(zhēng)的刺激使得人們的思想活躍，商品貿(mào)易發(fā)達(dá)，對(duì)計(jì)算要求的提高，財(cái)富的增加使人們有更多的時(shí)間從事“非實(shí)用”的理論研究。古代東方靜態(tài)的觀點(diǎn)和西方動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)不一樣，表現(xiàn)在數(shù)學(xué)上唯理論的氣氛濃厚起來(lái)。人們不但要知其“然”，而且要知其“所以然”。不但要問(wèn)“什么”，而且要問(wèn)“為什么”，要解決“所以然”和“為什么”。古代東方的以實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)為根據(jù)的方法就顯得“無(wú)能為力”和“后勁不足”。為了知道“所以然”和“為什么”，就得在數(shù)學(xué)的證明方法上作一定的努力，在這樣的文化氛圍中現(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了。東方的幾何學(xué)只為測(cè)量提供方法，而證明的幾何學(xué)是由公元6世紀(jì)前半期米利都的泰勒斯開(kāi)創(chuàng)的。泰勒斯不是農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)中的“耕夫”，而是一個(gè)商人，他在經(jīng)商過(guò)程中積累了足夠的財(cái)富后，在后半生從事研究和旅行。他在幾何學(xué)中的主要成果有“圓被任一直徑二等分”，“等腰三角形的兩底角相等”、“兩條直線相交對(duì)頂角相等”，“兩個(gè)三角形，有兩個(gè)角和一條邊對(duì)應(yīng)相等，則全等”、“內(nèi)接與半圓的角必為直角”等⑤。這些成果的意義不在于斷言的本身，而是提供了一些邏輯推理（象他的第五個(gè)問(wèn)題巴比倫比他早知道近1400年，但沒(méi)有形成嚴(yán)格的證明）。使得數(shù)學(xué)被推向抽象、系統(tǒng)化軌道的還有畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖以及他們的繼承者形成的畢氏學(xué)派和柏氏學(xué)派。由于商業(yè)的發(fā)達(dá)、財(cái)富的增長(zhǎng)，使得人們旅行的欲望越來(lái)越高，而旅行和游動(dòng)的生活方式給數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了機(jī)遇。前面提到的泰勒斯的后半生就是在旅行和數(shù)學(xué)研究中渡過(guò)的，“他有一段時(shí)間住在埃及”⑥。畢達(dá)哥拉斯也有旅行和流動(dòng)生活的經(jīng)歷?！八诎＜熬幼×?2年，從埃及神廟的祭司那里了解了古埃及有關(guān)數(shù)學(xué)、天文方面的知識(shí)……回國(guó)后，又前往希臘的移民地阿佩寧半島的克羅托納城定居”⑦。從這兩位數(shù)學(xué)大師的經(jīng)歷看，不能不說(shuō)旅游這種文化活動(dòng)給數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了條件。商業(yè)貿(mào)易的發(fā)展，可誘導(dǎo)戰(zhàn)爭(zhēng)的爆發(fā)，戰(zhàn)爭(zhēng)不僅給侵略者掠奪來(lái)物質(zhì)財(cái)富，而且也帶來(lái)了許多精神財(cái)富，其中就有數(shù)學(xué)成就。公元前334年，馬其頓國(guó)王亞歷山大領(lǐng)兵進(jìn)入埃及，不久揮師東進(jìn)，橫掃了波斯帝國(guó)的軍隊(duì)，到了印度河西岸，建立起龐大的亞歷山大帝國(guó)和亞歷山大城，這個(gè)城市的建設(shè)主要著眼于文化科學(xué)設(shè)施的建設(shè)，吸引了大量的人才，不久就成為當(dāng)時(shí)世界科學(xué)文化的名城，歐幾里德就是在這個(gè)環(huán)境中熏陶和成熟起來(lái)的偉大的數(shù)學(xué)家。他對(duì)數(shù)學(xué)寶庫(kù)的貢獻(xiàn)是《幾何原本》。他的幾何和東方幾何的不同之處是，不僅從應(yīng)用的角度來(lái)談，而是就幾何而幾何的角度加以研究，運(yùn)用邏輯推理來(lái)證明命題的真?zhèn)?。而且用幾何的方法?lái)解決代數(shù)方程。他的著作中的許多公理、定理和定義除了適應(yīng)當(dāng)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)外，還具有普遍的意義。阿基米得也是當(dāng)時(shí)偉大的數(shù)學(xué)家，他采用窮竭法來(lái)求圓的周長(zhǎng)和直徑的比值，其指導(dǎo)思想和我國(guó)劉徽的計(jì)算圓周率的思想是一致的，但不同之點(diǎn)是“劉徽是從圓內(nèi)接正多邊形著手，而阿基米得不僅從圓內(nèi)接正多邊形著手、還從外切正多邊形這個(gè)角度進(jìn)行計(jì)算”⑧。這就體現(xiàn)出西方數(shù)學(xué)家多方位的思維方式。另外，阿基米得在研究圓的同時(shí)，還研究了球和圓柱的問(wèn)題，他在《論錐形體和球形體》中使用了近似于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的方法。他的工作不僅涉及到具有很大應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且提出了許多明確的數(shù)學(xué)概念，在這一點(diǎn)上要比東方數(shù)學(xué)先進(jìn)。商業(yè)貿(mào)易具有一定的風(fēng)險(xiǎn)性、尤其是遠(yuǎn)航貿(mào)易。這種背景下產(chǎn)生了保除業(yè)。而保險(xiǎn)的興起又促使了概率論的產(chǎn)生和發(fā)展。雖然刺激概率論的是賭博，但起源是商業(yè)文化。即使是賭博也是產(chǎn)生于發(fā)達(dá)的商業(yè)文化城?？梢?jiàn)，東西方傳統(tǒng)文化不僅影響到不同的數(shù)學(xué)分支和范圍，而且在同一數(shù)學(xué)問(wèn)題上所體現(xiàn)的解決問(wèn)題的方法也不同，表述的形式、研究的動(dòng)機(jī)也存在差異。再來(lái)看一個(gè)事實(shí)，《周易》及先天圖二分法與菜布尼茲的二進(jìn)制，兩者一個(gè)講對(duì)分，一個(gè)講進(jìn)位。但都“用兩個(gè)符號(hào)表示無(wú)限的事物或數(shù)學(xué)其客觀存在的排列法則，決定了先天圖與二進(jìn)制算術(shù)的一致”⑧。二進(jìn)制和先天圖沒(méi)有關(guān)系，這是不同時(shí)代的東西方數(shù)學(xué)家，在完全不同的社會(huì)背景下的產(chǎn)物，其一致性是令人吃驚的，但思想方法卻完全不同。二進(jìn)制是在西方傳統(tǒng)文化中歐洲科學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，是有意識(shí)地運(yùn)用十進(jìn)制知識(shí)而創(chuàng)造的一種計(jì)數(shù)方法。二分圖是《周易》眾多象數(shù)體系中的一個(gè)，其中有合理的因素。但其動(dòng)機(jī)不免有些封建意識(shí)的糟粕，因?yàn)樗皇且揽靠茖W(xué)的依據(jù)推出來(lái)的。
總之，東西方傳統(tǒng)文化的不同，造成了東西方數(shù)學(xué)上的差異。東方是數(shù)學(xué)原始的發(fā)祥地，但其發(fā)展和科學(xué)化、理性化的功勞基本上歸于西方。
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③（英）李約瑟《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》，科學(xué)出版社。
④⑤⑥（美）H·伊夫斯《數(shù)學(xué)史概論》，山西人民出版社。
由于學(xué)生的智力差異，每道例題教學(xué)后，總有部分學(xué)生對(duì)例題所講的思考方法、解題思路掌握得不牢固，因此，在例題教學(xué)后回顧和總結(jié)解題思路則顯得十分必要。在反思中，學(xué)生對(duì)例題進(jìn)行再認(rèn)識(shí)、再理解、再提高，既加深了學(xué)生對(duì)題中數(shù)量關(guān)系的理解，又訓(xùn)練了學(xué)生思維的深刻性。
例如：一個(gè)服裝廠計(jì)劃做660套衣服，已經(jīng)做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，平均每天要做多少套？
教完例題后，首先引導(dǎo)學(xué)生回顧例1的解題思路。根據(jù)“已經(jīng)做了5天”和“平均每天做75套”這兩個(gè)條件可以求出已經(jīng)做了的套數(shù)；已知計(jì)劃做660套衣服，又求出了已經(jīng)做了的套數(shù)，就能求出剩下的套數(shù)；知道剩下的套數(shù)和要求完成的天數(shù)，就能求出后3天平均每天要做的套數(shù)（即由因?qū)ЧC合法）。再讓學(xué)生說(shuō)出解題步驟：第一步求“已經(jīng)做了多少套”，第二步求“還剩下多少套”，第三步求“后三天平均每天要做多少套才能完成任務(wù)”。最后，教師再根據(jù)綜合算式提問(wèn)：①“75×5”表示什么？②“660－75×5”表示什么？③“（660－75×5）÷3”又表示什么？通過(guò)這樣的反思，進(jìn)一步幫助學(xué)生理順和掌握該應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)和解題思路，加深學(xué)生思維的深度。
二、反思解題方法，訓(xùn)練思維的靈活性
教完每道例題，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生反思本題是否還有其它解法，比較哪種解法較為簡(jiǎn)捷，進(jìn)一步拓寬學(xué)生解題思路，培養(yǎng)思維的靈活性。例如，在第十一冊(cè)54頁(yè)的例4教學(xué)之后，教師可問(wèn)學(xué)生：這道題還可以怎樣解答？在教師的啟發(fā)下得出如下幾種解法：
解法一
以九月份生產(chǎn)玻璃的箱數(shù)作單位“1”，得解法：20000÷（1＋1/3）。
解法二
以十月份生產(chǎn)玻璃的箱數(shù)作單位“1”，解法為：20000×（1－1/4）。
解法三
用歸一法解：20000÷（3＋1）×3解法四用方程解：設(shè)九月份生產(chǎn)玻璃x箱。得方程（20000－x）÷x＝13。
這樣引導(dǎo)學(xué)生從同一例題中探求不同的解法，有利于克服思維定勢(shì)，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。
三、反思題目變式，訓(xùn)練思維的廣闊性
某些例題在教學(xué)后，還可引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方位地改變題中的條件與問(wèn)題，進(jìn)行變式教學(xué)。這樣，不僅加深學(xué)生對(duì)某類應(yīng)用題結(jié)構(gòu)和特征的理解，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生理解問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
例如，第十一冊(cè)49頁(yè)的例2，在教學(xué)后可進(jìn)行如下變式訓(xùn)練
1.變換條件。將題中“六月份比五月份多捕了1/4”變換為：
（1）六月份比五月份少捕了1/4；
（2）六月份捕魚(yú)是五月份的(1+1/4)倍；
（3）相當(dāng)于六月份捕魚(yú)噸數(shù)的4/5；
（4）六月份比五月份的4/5多100噸。
2.變換問(wèn)題。將題中“六月份捕魚(yú)多少噸”變換為：
（1）五月份和六月份一共捕魚(yú)多少噸？
（2）六月份比五月份多捕魚(yú)多少噸？
（3）五月份捕魚(yú)噸數(shù)是六月份的幾分之幾？這樣，通過(guò)一題多變和一題多問(wèn)，增大了題目的知識(shí)容量，訓(xùn)練了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，收到了事半功倍的效果。
四、反思引申推廣，訓(xùn)練思維的變通性
有些應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系、解題方法很相似，如在教學(xué)中不失時(shí)機(jī)地將某些例題作適當(dāng)?shù)囊?，不僅有助于學(xué)生進(jìn)一步理解題目的數(shù)量關(guān)系，掌握解題規(guī)律，而且有利于訓(xùn)練學(xué)生思維的變通性。
例如，在教學(xué)第十一冊(cè)58頁(yè)的例5這道工程應(yīng)用題之后，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)工程應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)特征及解題規(guī)律進(jìn)行反思，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)工程、相遇、注水等問(wèn)題有著相似的數(shù)量關(guān)系及解法。
如相遇問(wèn)題：“客車從甲地開(kāi)往乙地需20分鐘，貨車從乙地開(kāi)往甲地需30分鐘?，F(xiàn)兩車同時(shí)分別從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出，幾分鐘相遇？”算式是：1÷（1/20＋1/30）＝12（分）。
做衣問(wèn)題：“一匹布，全部用來(lái)做上衣可以做20件，全部用來(lái)做褲子可以做30件。如要求做套裝，這匹布可以做多少套衣服？”算式是：1÷（1/20＋1/30）＝12（套）。
一、對(duì)聯(lián)是從漢語(yǔ)文的特性中生長(zhǎng)出來(lái)的
關(guān)于對(duì)聯(lián)的起源，我國(guó)古代有許多傳說(shuō)。據(jù)《山海經(jīng)》、《風(fēng)俗通》等古書(shū)記載，上古時(shí)期，東海渡朔山上有一株巨大的桃樹(shù)，枝葉覆蓋三千里，在桃樹(shù)的東北方向，枝椏短矮，形成一個(gè)大缺口，像個(gè)門戶，于是百鬼就從這里出入，名曰：“鬼門”。門戶兩邊，站著兩個(gè)武士，一個(gè)名叫“神荼”（讀升書(shū)），一個(gè)名叫“郁壘”（讀玉立），是專門站崗放哨，捉拿惡鬼的，以保護(hù)老百姓過(guò)平安生活。這兩位武士，就是人們心目中最早的“門神”。當(dāng)時(shí)人們?yōu)榱似桨策^(guò)好春節(jié)，就用桃樹(shù)枝條，仿照神荼、郁壘的形象，扎飾桃人，立于門旁。后來(lái)為了簡(jiǎn)便，人們改用兩塊桃木板，在上面分別畫上神荼、郁壘的圖像，再后來(lái)，人們直接在兩塊桃木板上分別寫上“神荼、郁壘”的名字，掛在門旁，用以鎮(zhèn)邪。這兩塊桃木板叫做“桃符”，每年農(nóng)歷除夕到春節(jié)期間，更換一次。桃符傳至五代時(shí)期，有些文人不再在桃木板上書(shū)寫門神的名字，而是寫上兩句對(duì)偶聯(lián)句。據(jù)《宋史•蜀世家》記載：五代時(shí)后蜀皇帝孟昶，每逢春節(jié)都命令翰林學(xué)士作詞，書(shū)寫在“桃符”上。后蜀歸宋的前一年（964年）除夕，孟昶叫翰林學(xué)士辛寅遜題書(shū)“桃符板”。辛寅遜寫的他不滿意，便親自在“桃符”板上題寫一聯(lián)：“新年納余慶，嘉節(jié)號(hào)長(zhǎng)春?！边@便是我國(guó)歷史上較早見(jiàn)之于文獻(xiàn)記載的春聯(lián)，迄今已有一千多年的歷史。(1)在此之前是否有更早的對(duì)聯(lián)，許多學(xué)者作過(guò)考證。有人認(rèn)為應(yīng)該把發(fā)現(xiàn)四聲作為出現(xiàn)最早對(duì)聯(lián)的上限。因?yàn)?，如果承認(rèn)對(duì)聯(lián)是格律文學(xué)，是講究平仄對(duì)仗的，就不可能出現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)四聲之前。這應(yīng)該是很有道理的。但在嚴(yán)格的對(duì)聯(lián)出現(xiàn)之前，應(yīng)該存在較寬泛的對(duì)聯(lián)，即不講平仄的對(duì)聯(lián)，而這些寬泛的對(duì)聯(lián)肯定是嚴(yán)格意義上的對(duì)聯(lián)的前身，后者正是在前者的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。這些寬泛的對(duì)聯(lián)一直可以追溯到很遠(yuǎn)年代的詩(shī)中出現(xiàn)的對(duì)偶句，例如：《周易•乾傳》中的“同聲相應(yīng)，同氣相求”、《詩(shī)經(jīng)•采薇》中的“昔我往矣，楊柳依依；今我來(lái)思，雨雪霏霏”、老子《道德經(jīng)》中的“道可道，非常道；名可名，非常名”等等。
其實(shí)，對(duì)聯(lián)的起源，還應(yīng)該追溯到漢語(yǔ)文的出現(xiàn)和漢語(yǔ)文特點(diǎn)的形成。漢語(yǔ)的語(yǔ)素以單音節(jié)為主，這些語(yǔ)素是非常自由的，組合能力很強(qiáng)，每一個(gè)這樣的語(yǔ)素都可以單獨(dú)構(gòu)成一個(gè)詞，或與別的詞結(jié)合構(gòu)成另一個(gè)詞，這為整齊句式的出現(xiàn)準(zhǔn)備了條件。漢語(yǔ)是聲調(diào)語(yǔ)言，每個(gè)音節(jié)的主要元音都有一個(gè)聲調(diào)，也就是說(shuō)，一個(gè)單音節(jié)語(yǔ)素都有一個(gè)聲調(diào)，這就為四聲出現(xiàn)、平仄押韻奠定了基礎(chǔ)。漢語(yǔ)還是一種非形態(tài)語(yǔ)言，它不靠詞的形態(tài)變化表示語(yǔ)法關(guān)系，不靠形態(tài)變化作為將詞組合成更大的語(yǔ)言片斷的手段，而是靠語(yǔ)序和輔助詞，這就使不同的
句式通過(guò)變換語(yǔ)序添加輔助詞而變得對(duì)稱整齊?；谶@樣的特點(diǎn)，漢語(yǔ)文非常容易形成一連串整齊的（即音節(jié)數(shù)相等）結(jié)構(gòu)，也非常容易押韻，對(duì)聯(lián)的基本特點(diǎn)如上下聯(lián)字?jǐn)?shù)相等、句法相似、詞性相同、詞意相關(guān)、平仄相對(duì)、一一對(duì)稱等的內(nèi)在生成必須依賴于漢語(yǔ)文的這些獨(dú)特的本性。而世界上其他民族的拼音連寫文字，就無(wú)法構(gòu)成對(duì)聯(lián)。因此，我們可以說(shuō)，對(duì)聯(lián)是從漢語(yǔ)文的特性中生長(zhǎng)出來(lái)的。對(duì)聯(lián)與漢語(yǔ)文的特性具有如此密不可分的關(guān)系，我們的先人很早就發(fā)現(xiàn)了漢語(yǔ)文的這一的優(yōu)點(diǎn)，并在語(yǔ)言表達(dá)實(shí)踐中逐漸地發(fā)展與提煉，于是就使對(duì)聯(lián)得到了廣泛的運(yùn)用，在社會(huì)各階層、各行業(yè)直至千家萬(wàn)戶的各種活動(dòng)中人們要表達(dá)思想傳遞情感，首先想到的就是對(duì)聯(lián)，因此對(duì)聯(lián)之風(fēng)在中華大地長(zhǎng)盛不衰。
對(duì)聯(lián)的形成，為古代語(yǔ)文教育尋求最佳言語(yǔ)形式提供了豐厚的土壤。人們?cè)谌粘Ｉ钪衅毡榈厥褂脤?duì)聯(lián)，就促使人們?nèi)W(xué)對(duì)聯(lián)、教對(duì)聯(lián)，這樣，對(duì)聯(lián)教學(xué)就自然走進(jìn)了語(yǔ)文教育的視野，一種以學(xué)對(duì)聯(lián)為教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)課程——屬對(duì)教學(xué)就應(yīng)運(yùn)而生。這里需要說(shuō)明的是，屬對(duì)教學(xué)的出現(xiàn)，一方面是由于學(xué)對(duì)聯(lián)的需要，另一方面也是由于學(xué)詩(shī)歌的需要，我國(guó)古代詩(shī)歌之風(fēng)也很盛行，詩(shī)歌發(fā)展到格律的近體詩(shī)，特別是律詩(shī)，四聯(lián)的中間兩聯(lián)必須用對(duì)仗的形式，而對(duì)仗與對(duì)聯(lián)是一母所生，律詩(shī)的中間兩聯(lián)實(shí)際上就是兩副對(duì)聯(lián)。所以學(xué)對(duì)聯(lián)也好，學(xué)對(duì)仗也好，二者名稱不同，其實(shí)質(zhì)卻是一樣的，都是要求學(xué)習(xí)上下聯(lián)（句）如何做到兩兩相對(duì)，二者共同催生了漢語(yǔ)文教育中的屬對(duì)教學(xué)。
二、對(duì)對(duì)子教學(xué)的本質(zhì)是言語(yǔ)實(shí)踐
對(duì)對(duì)子訓(xùn)練是為寫對(duì)聯(lián)、駢文和近體詩(shī)做準(zhǔn)備的。我國(guó)古代對(duì)聯(lián)、駢文和近體詩(shī)非常發(fā)達(dá)，古人在長(zhǎng)期的語(yǔ)言運(yùn)用過(guò)程中逐漸形成了寫駢文、寫韻文的風(fēng)氣，社會(huì)各界以“吟詩(shī)作對(duì)”相提倡。為了寫好駢文、韻文，就得加以訓(xùn)練，使初學(xué)者能通過(guò)訓(xùn)練逐步掌握其寫作技巧，寫出符合規(guī)范的能夠表情達(dá)意的駢文和韻文。而這些駢文、韻文寫作的最基本的技巧就是對(duì)對(duì)子。正如有的學(xué)者所指出的：“在中國(guó)文學(xué)各種有韻之文的體裁中，如駢文、詩(shī)詞、銘賦，都要以對(duì)聯(lián)為基礎(chǔ)。所以過(guò)去的讀書(shū)人，無(wú)不以對(duì)對(duì)子為基本功。這門基本功練好了，才能進(jìn)入各種體裁的領(lǐng)域中?！保?）于是對(duì)對(duì)子（屬對(duì)）訓(xùn)練就自然成為了古代語(yǔ)文教學(xué)最基礎(chǔ)的內(nèi)容，成為了中小學(xué)生的必修課。
古人的對(duì)對(duì)子教學(xué)一開(kāi)始就不是很注重知識(shí)的灌輸和語(yǔ)法分析，走的是注重知識(shí)的運(yùn)用和言語(yǔ)實(shí)踐這一路。通俗地講，就是“在對(duì)對(duì)子中學(xué)習(xí)對(duì)對(duì)子，通過(guò)對(duì)對(duì)子學(xué)會(huì)對(duì)對(duì)子”。它不講語(yǔ)法理論，但實(shí)際上卻有相當(dāng)完備的語(yǔ)法訓(xùn)練；它不講名詞術(shù)語(yǔ)，卻能讓學(xué)生寫出符合名詞術(shù)語(yǔ)內(nèi)涵的規(guī)范語(yǔ)句；它不過(guò)多地分析拆解寫作技巧，卻能讓學(xué)生對(duì)出的對(duì)子里蘊(yùn)涵了高妙的訣竅。它注重的是言語(yǔ)操作和言語(yǔ)實(shí)踐，通過(guò)提供具體的情境和語(yǔ)境，讓學(xué)生在這些情境之中自主地運(yùn)用語(yǔ)言組織語(yǔ)言，在“運(yùn)用”和“組織”的過(guò)程中把握對(duì)對(duì)子的技法，建構(gòu)言語(yǔ)能力，體悟漢語(yǔ)文的精妙?？梢哉f(shuō)，對(duì)對(duì)子教學(xué)體現(xiàn)的是一種言語(yǔ)實(shí)踐觀，其核心是體悟與實(shí)踐，其靈魂是學(xué)生的主體性。我們只要翻開(kāi)古代的屬對(duì)教材，就可以清楚地看到這一點(diǎn)。古代流行較廣的屬對(duì)教材有《詩(shī)腋》、《詞林典腋》、《笠翁對(duì)韻》、《聲律啟蒙》、《對(duì)語(yǔ)四種》等，這些教材都沒(méi)有屬對(duì)方法和屬對(duì)技巧的論述，通篇只是一對(duì)一對(duì)的對(duì)語(yǔ)，這些對(duì)語(yǔ)主要是供學(xué)生查考、背誦和揣摩的。我們仔細(xì)研究一下這些教材中的對(duì)語(yǔ)，可以發(fā)現(xiàn)其中很有講究。這些對(duì)語(yǔ)都是規(guī)范工穩(wěn)的對(duì)子，從一字對(duì)到十字對(duì)，各種形式俱備；從天文地理到為人處世，內(nèi)容樣樣齊全。它們以成品的形式展現(xiàn)在學(xué)生面前，給學(xué)生提供了模仿的樣本。同時(shí)這些對(duì)語(yǔ)中隱含著對(duì)對(duì)子的規(guī)范和技巧，它們整體上都是按韻部排列，每一副對(duì)子都體現(xiàn)出對(duì)對(duì)子所要求做到的詞性、平仄、押韻。如《笠翁對(duì)韻》是這樣編排的：“天對(duì)地，雨對(duì)風(fēng)，大陸對(duì)長(zhǎng)空，山花對(duì)海樹(shù)，赤日對(duì)蒼穹……”，《聲律啟蒙》是這樣開(kāi)頭的：“云對(duì)雨，雪對(duì)風(fēng)，晚照對(duì)晴空，來(lái)鴻對(duì)去雁，宿鳥(niǎo)對(duì)鳴蟲(chóng)……”。在這里，“天”與“地”，名詞對(duì)名詞，平對(duì)仄，既是詞性相對(duì)，平仄也相對(duì)；“大陸”與“長(zhǎng)空”，偏正詞組對(duì)偏正詞組，仄仄對(duì)平平。所有這些要領(lǐng)，教材都沒(méi)有作繁瑣的分析與闡述，所有的技法都濃縮在一個(gè)動(dòng)詞“對(duì)”上。通過(guò)一個(gè)“對(duì)”字，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)去揣摩、主動(dòng)去模仿、主動(dòng)去實(shí)踐。在這里，我們不能不佩服教材編寫者的高明，也不能不佩服古人在屬對(duì)教學(xué)中形成的言語(yǔ)實(shí)踐觀。
三、對(duì)對(duì)子的教學(xué)價(jià)值在于可以有效提高學(xué)生的實(shí)際言語(yǔ)能力
對(duì)對(duì)子教學(xué)的最初目標(biāo)是訓(xùn)練學(xué)生的言語(yǔ)組合能力，以寫出工整的對(duì)聯(lián)、駢文和韻文。在后來(lái)的教學(xué)實(shí)踐中，人們逐漸認(rèn)識(shí)到對(duì)對(duì)子的訓(xùn)練價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了當(dāng)初的設(shè)想，人們發(fā)現(xiàn)對(duì)對(duì)子的訓(xùn)練，不僅能讓學(xué)生寫出工巧的對(duì)子，而且使學(xué)生駕馭和組合語(yǔ)言的能力得到了提高。也就是說(shuō)，人們通過(guò)對(duì)對(duì)子這一言語(yǔ)實(shí)踐，不僅實(shí)現(xiàn)了對(duì)對(duì)子自身的功能，而且發(fā)掘出了粘附在對(duì)對(duì)子上面的更廣泛的言語(yǔ)訓(xùn)練功能。于是古代對(duì)對(duì)子教學(xué)的目標(biāo)也在教學(xué)實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)型，由最初注重寫出單純具體的對(duì)聯(lián)、駢文和韻文為目標(biāo)，轉(zhuǎn)到了以訓(xùn)練學(xué)生識(shí)字、組詞、造句、為文等言語(yǔ)能力為主的目標(biāo)上來(lái)。元人程端禮在《讀書(shū)分年日程》中有一段話：
但令習(xí)字演文之日，將已說(shuō)《小學(xué)》書(shū)作口義，以學(xué)演文，每句先逐字訓(xùn)
之，然后通解一句之意，又通解一章之意，相接續(xù)作去。明理，演文，一舉兩
得。更令記《對(duì)類》單字，使知虛實(shí)死活字，更記類首“天、長(zhǎng)、永、日”字，
但臨放學(xué)時(shí)，面屬一對(duì)即行，使略知輕重虛實(shí)足矣。(3)
程端禮這段話已明顯地把屬對(duì)訓(xùn)練當(dāng)作了識(shí)字、用詞、演文訓(xùn)練的一個(gè)基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，他已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了粘附在對(duì)對(duì)子訓(xùn)練上面的言語(yǔ)訓(xùn)練價(jià)值，他不再是為對(duì)對(duì)子而對(duì)對(duì)子，他已將對(duì)對(duì)子教學(xué)提升到了言語(yǔ)訓(xùn)練的層面，把對(duì)對(duì)子教學(xué)作為了言語(yǔ)基礎(chǔ)訓(xùn)練的一種手段。這是對(duì)古代對(duì)對(duì)子教學(xué)功能的實(shí)踐拓展和理性審視，為后代對(duì)對(duì)子訓(xùn)練指明了方向。
今人張志公先生曾對(duì)粘附在對(duì)對(duì)子上面的言語(yǔ)訓(xùn)練功能作過(guò)系統(tǒng)而深入的研究，他認(rèn)為屬對(duì)是一種實(shí)際的語(yǔ)音、語(yǔ)匯的訓(xùn)練和語(yǔ)法訓(xùn)練，同時(shí)包含修辭訓(xùn)練和邏輯訓(xùn)練的因素。學(xué)屬對(duì)首先要正音，同時(shí)學(xué)會(huì)陰陽(yáng)上去（或平上去入）四聲，這是基本的語(yǔ)言訓(xùn)練；特別值得重視的是屬對(duì)的語(yǔ)法訓(xùn)練的作用，用實(shí)字、虛字兩個(gè)兩個(gè)地組織起來(lái)，可以組成好幾種結(jié)構(gòu)，如：風(fēng)吹、云騰……名詞＋動(dòng)詞，主謂結(jié)構(gòu)；微云，細(xì)雨……形容詞＋名詞，偏正結(jié)構(gòu)；鑿井，耕田……動(dòng)詞＋名詞，動(dòng)賓結(jié)構(gòu)。要學(xué)生練字對(duì)，也就是訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用主謂、動(dòng)賓、偏正、聯(lián)合這幾種基本的造句格式。經(jīng)過(guò)反復(fù)練習(xí)，能夠敏捷地對(duì)上二字對(duì)，那就意味著已經(jīng)熟練地掌握了基本的句法規(guī)律。進(jìn)一步作“三字對(duì)”和“四字對(duì)”，這時(shí)就可以把助字加進(jìn)去。三字和四字的結(jié)構(gòu)，在文言里，已經(jīng)可以表現(xiàn)絕大部分造句格式，包括復(fù)句在內(nèi)。如：推窗邀月，出戶乘風(fēng)……“邀月”是“推窗”的目的，“乘風(fēng)”是“出戶”的目的，這是一種復(fù)雜單句的格式；月缺月圓，花開(kāi)花落……“月缺”“月圓”，“花開(kāi)”“花落”，都是兩個(gè)主謂結(jié)構(gòu)并列，這是一種聯(lián)合復(fù)句的格式。除了語(yǔ)言訓(xùn)練、語(yǔ)匯訓(xùn)練、語(yǔ)法訓(xùn)練的作用之外，屬對(duì)還有修辭訓(xùn)練和邏輯訓(xùn)練的作用。“星光燦燦”對(duì)“水勢(shì)滔滔”，“如煙”對(duì)“似火”，“一川楊柳如絲裊”對(duì)“十里荷花似錦鋪”，這些顯然都能訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用形容、比喻等修辭方法?？偲饋?lái)看，屬對(duì)練習(xí)是一種不講語(yǔ)法理論而實(shí)際上相當(dāng)嚴(yán)密的語(yǔ)法訓(xùn)練，經(jīng)過(guò)多次的練習(xí)之后，學(xué)生可以純熟地掌握了詞類和造句的規(guī)律，并且用之于說(shuō)話和寫作。我們往往以為學(xué)對(duì)對(duì)子只是為了學(xué)作詩(shī)，這種看法應(yīng)當(dāng)改變。屬對(duì)練習(xí)能夠通過(guò)實(shí)踐靈活地把語(yǔ)法、修辭、邏輯幾種訓(xùn)練綜合在一起，并且跟作文密切結(jié)合起來(lái)，這一點(diǎn)很值得作進(jìn)一步的研究。(4)
張志公先生的深入剖析使我們更清楚地看到了對(duì)對(duì)子訓(xùn)練所蘊(yùn)含的言語(yǔ)訓(xùn)練功能，也正是因?yàn)閷?duì)對(duì)子訓(xùn)練可以有效提高學(xué)生的基本言語(yǔ)能力，古人才把它列為語(yǔ)文教學(xué)的基礎(chǔ)課，成為所有學(xué)生的必修課。清代教育家崔學(xué)古認(rèn)為“自一字可增至數(shù)字”的對(duì)對(duì)子訓(xùn)練是“通文理捷徑”。(5)近代教育家說(shuō)“對(duì)課與現(xiàn)在的造句法相近，大約由一字到四字，先生出上聯(lián)，學(xué)生想出下聯(lián)來(lái)?！@一種功課，不僅是作文的開(kāi)始，也是作詩(shī)的基礎(chǔ)?！?6)這都是充分認(rèn)識(shí)到了對(duì)對(duì)子真正的言語(yǔ)訓(xùn)練價(jià)值。
四、對(duì)對(duì)子教學(xué)中內(nèi)含的認(rèn)知心理學(xué)原理
人們常?？吹焦湃藬M寫的絕妙好對(duì)或古人脫口成句對(duì)對(duì)子的故事，以為對(duì)對(duì)子主要靠天才的思維和敏捷的文思。其實(shí)這是一種片面的理解，只看到了冰山一角，未觸到冰山隱在水下的主體部分。古人流傳下來(lái)的絕妙好對(duì)和出口成對(duì)的故事自然是對(duì)對(duì)子的最高境界，我們可以把它看作了冰山的峰頂部分，它代表了對(duì)對(duì)子教學(xué)的最高成就。但人們同時(shí)也要看到，這只是對(duì)對(duì)子教學(xué)成就的一部分，對(duì)對(duì)子教學(xué)成就的更大部分（主體部分）則未被常人發(fā)現(xiàn)，它就如巨大的冰山主體隱在了水下。我們只要翻開(kāi)各類古籍看一看，先看看古人所寫的絕妙好文、絕妙好詩(shī)和絕妙好詞，再看看史書(shū)的文詞及史書(shū)所記載的古人的一言一行，就會(huì)發(fā)現(xiàn)在字里行間隱藏的冰山主體，讀一讀這些文字，我們不能不驚嘆古人語(yǔ)句之工，我們不能不驚嘆古人對(duì)語(yǔ)之巧。從這些文字的字里行間我們可以隱隱尋出對(duì)對(duì)子訓(xùn)練的蛛絲馬跡，這些都是對(duì)對(duì)子自身及其粘附的言語(yǔ)功能所創(chuàng)造的成就。
由此，我們也可以看到，對(duì)對(duì)子教學(xué)不僅訓(xùn)練出了“絕妙好對(duì)”，而且訓(xùn)練出了人人具備的良好的言語(yǔ)表達(dá)能力。這些言語(yǔ)表達(dá)能力的形成當(dāng)然不是一蹴而就的，它經(jīng)歷了一個(gè)艱苦的訓(xùn)練過(guò)程，經(jīng)歷了一個(gè)由一字對(duì)、二字對(duì)逐漸加到多字對(duì)的實(shí)踐過(guò)程。如前文所述，對(duì)對(duì)子的訓(xùn)練過(guò)程主要是一個(gè)言語(yǔ)實(shí)踐過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的辨音、識(shí)字、組詞、造句、修辭和邏輯思維能力得到綜合訓(xùn)練，得以逐步增強(qiáng)。對(duì)對(duì)子教學(xué)走的是言語(yǔ)實(shí)踐之路，而不是語(yǔ)言分析和術(shù)語(yǔ)灌輸之路。在這里，我們還想對(duì)其中的一個(gè)問(wèn)題作進(jìn)一步的闡述，那就是對(duì)對(duì)子教學(xué)實(shí)踐中知識(shí)是如何呈現(xiàn)、如何教學(xué)的，對(duì)對(duì)子能力及其粘附的言語(yǔ)能力的形成顯然離不開(kāi)知識(shí)，因?yàn)槟芰σ恐R(shí)來(lái)建構(gòu)的，離開(kāi)了知識(shí)，能力就成了無(wú)源之水，無(wú)本之木。那么，對(duì)對(duì)子訓(xùn)練中到底是如何處理知識(shí)與能力的關(guān)系呢？光用一句話“對(duì)對(duì)子的知識(shí)是在對(duì)對(duì)子的實(shí)踐中學(xué)習(xí)的，對(duì)對(duì)子能力是在知識(shí)的運(yùn)用中形成的”來(lái)概括，的確抓住了二者關(guān)系的實(shí)質(zhì)，但無(wú)法對(duì)知識(shí)轉(zhuǎn)化成能力的過(guò)程作出深刻的揭示。下面我們?cè)囍谜J(rèn)知心理學(xué)的廣義知識(shí)觀來(lái)作更深入的闡釋。自古以來(lái)人們對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)一般可以分為廣義與狹義兩種知識(shí)觀，按狹義的知識(shí)觀，知識(shí)僅包括它的貯存和提??；按廣義的知識(shí)觀，知識(shí)不僅包括它的貯存與提取，而且包括它的應(yīng)用，即人們常說(shuō)的“真知”。廣義的知識(shí)觀不僅納入了知識(shí)（狹窄的），而且還將技能、策略納入了知識(shí)范疇，將知識(shí)（狹義的）、技能與策略融為一體了。它將知識(shí)分為三大類：陳述性知識(shí)（直接靠記憶陳述的知識(shí)，相當(dāng)于狹義的知識(shí)）、程序性知識(shí)（對(duì)外辦事的操作技能）、策略性知識(shí)（對(duì)自身行為的內(nèi)在調(diào)控的技能）。三類知識(shí)在學(xué)習(xí)過(guò)程中是這樣一種關(guān)系，陳述性知識(shí)的學(xué)習(xí)是形成程序性知識(shí)的基礎(chǔ)，程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)可以實(shí)現(xiàn)陳述性知識(shí)的運(yùn)用與轉(zhuǎn)化，陳述性知識(shí)與程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)需要策略性知識(shí)進(jìn)行內(nèi)在調(diào)控。三類知識(shí)的協(xié)同作用，才能使學(xué)習(xí)者獲得“真知”（即習(xí)得知識(shí)的貯存、提取與應(yīng)用），獲得能力（7）。在這里，陳述性知識(shí)是基礎(chǔ)，程序性知識(shí)是關(guān)鍵，策略性知識(shí)是靈魂。程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)之所以是關(guān)鍵，是因?yàn)樗婕暗街R(shí)向能力轉(zhuǎn)化的內(nèi)在機(jī)制，程序性知識(shí)學(xué)習(xí)可分為兩個(gè)階段，第一階段是程序性知識(shí)的陳述性學(xué)習(xí)，在這一階段，程序性知識(shí)是以陳述性知識(shí)出現(xiàn)的，也就是說(shuō)他們必須以命令的形式編入命題網(wǎng)絡(luò)，然后才能轉(zhuǎn)化為以產(chǎn)生式表征的程序性知識(shí)；第二階段是通過(guò)一套程序規(guī)則的操作，使陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)，習(xí)得運(yùn)用知識(shí)的能力。例如，學(xué)習(xí)對(duì)對(duì)子的過(guò)程中，教師出上聯(lián)“半溪流水綠”，要求學(xué)生對(duì)出下聯(lián)。這個(gè)程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)分為兩個(gè)階段，第一階段是陳述性學(xué)習(xí)階段，學(xué)生需要提取認(rèn)知結(jié)構(gòu)的命題網(wǎng)絡(luò)中的陳述性知識(shí)，知道“半溪”、“流水”、“綠”的含義及結(jié)構(gòu)方式，然后提取出這個(gè)上聯(lián)的平仄結(jié)構(gòu)；這些知識(shí)如果學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒(méi)有，則無(wú)法繼續(xù)學(xué)習(xí)；如果認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有了這些知識(shí)則可以繼續(xù)進(jìn)入轉(zhuǎn)化階段；第二階段是陳述性學(xué)習(xí)向程序性學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化，學(xué)生開(kāi)始運(yùn)用對(duì)聯(lián)的規(guī)則（詞性相同、結(jié)構(gòu)相同、平仄相對(duì)），在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中努力搜尋與“半溪”“流水”“綠”的詞性、結(jié)構(gòu)、平仄相對(duì)的詞或詞組，這是第一次轉(zhuǎn)化；接著是程序性規(guī)則的進(jìn)一步運(yùn)用，古人在屬對(duì)教材中提供了相應(yīng)的下聯(lián)“千樹(shù)落花紅”作為范例，詞性、結(jié)構(gòu)與平仄都對(duì)得非常工整，這是要求學(xué)生記憶的陳述性知識(shí)，學(xué)生已經(jīng)通過(guò)背誦貯存在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，此時(shí)只需提取出來(lái)，反復(fù)比照這樣配對(duì)的妙處：
半溪流水綠
千樹(shù)落花紅
通過(guò)比較，學(xué)生開(kāi)始尋找與“千樹(shù)落花紅”相仿的句子，在不斷的監(jiān)控與調(diào)整中對(duì)出最符合屬對(duì)規(guī)則要求的下聯(lián)。比如，可以對(duì)“千里浮云白”，也可以對(duì)“一地落花紅”，只要從詞性、結(jié)構(gòu)、顏色、平仄這幾方面對(duì)上了，就可以認(rèn)定學(xué)生已經(jīng)掌握并能運(yùn)用屬對(duì)規(guī)則來(lái)對(duì)對(duì)子，實(shí)現(xiàn)了陳述性知識(shí)向程序性知識(shí)的第二次轉(zhuǎn)化，學(xué)生的屬對(duì)能力得以形成。
從上面的分析，我們可以清楚看到，古代的屬對(duì)教學(xué)顯然符合學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律，與現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的發(fā)展理論暗合，它將知識(shí)與能力合理地融合在同一個(gè)對(duì)對(duì)子教學(xué)實(shí)踐中，“知”與“行”合一，使學(xué)生通過(guò)屬對(duì)知識(shí)與規(guī)則的學(xué)習(xí)，運(yùn)用知識(shí)逐步建構(gòu)起屬對(duì)能力，并獲得粘附在對(duì)對(duì)子能力上的言語(yǔ)表達(dá)能力。這也正是對(duì)對(duì)子教學(xué)取得成功并盛行幾千年的內(nèi)在原因。而我們現(xiàn)在的語(yǔ)文教學(xué)，知識(shí)學(xué)習(xí)與能力實(shí)際上是相互脫離，知識(shí)是單純的學(xué)習(xí)，能力是單純的訓(xùn)練，能力訓(xùn)練缺乏有效的知識(shí)支撐，只剩下一些被抽干了知識(shí)內(nèi)涵的標(biāo)簽式的術(shù)語(yǔ)，這也就是導(dǎo)致說(shuō)不清知識(shí)怎樣轉(zhuǎn)化為能力的重要原因。連知識(shí)如何轉(zhuǎn)化為能力的原因都解釋不清，那么通過(guò)有效的知識(shí)來(lái)建構(gòu)語(yǔ)文能力的教學(xué)就更是無(wú)從談起。因此，我們今天的語(yǔ)文教學(xué)改革需要的是扎扎實(shí)實(shí)的分析與總結(jié)，現(xiàn)在的語(yǔ)文不是訓(xùn)練太多了，而是形式主義的訓(xùn)練太多了，真正與知識(shí)緊密結(jié)合的有效率的訓(xùn)練太少了；不是知識(shí)教學(xué)太多了，而是稀奇古怪的知識(shí)、形式化標(biāo)簽化的知識(shí)太多了，真正有效的符合能力訓(xùn)練的陳述性知識(shí)太少了。我們迫切需要加強(qiáng)對(duì)語(yǔ)文知識(shí)與語(yǔ)文能力之間的關(guān)系研究，迫切需要加強(qiáng)對(duì)語(yǔ)文能力的內(nèi)在構(gòu)成因素以及訓(xùn)練內(nèi)容與形式的研究。這就是筆者大力提倡傳統(tǒng)對(duì)對(duì)子教學(xué)的真正意圖。
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注釋：
(1)孫保龍編《古今對(duì)聯(lián)叢談》，江蘇古籍出版社，1984年3月第一版，第2—4頁(yè)。
(2)轉(zhuǎn)引自毛力群《對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)屬對(duì)教學(xué)的認(rèn)識(shí)》，《課程•教材•教法》2004年第3期。
(3)《歷代教育論著選評(píng)（上）》第1117—1118頁(yè)，湖北教育出版社1994年7月第一版。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)案例教學(xué)方法的應(yīng)用中，案例的正確選擇非常重要，選擇合適的案例可以讓學(xué)生能更好的進(jìn)入數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中，身臨其境的體會(huì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)帶來(lái)的學(xué)習(xí)樂(lè)趣，使課堂氣氛變得活躍，從而提高教學(xué)質(zhì)量，同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。例如：選擇概率和彩票的案例進(jìn)行教學(xué)，教師可以適當(dāng)對(duì)彩票的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行拓展；然后將概率和彩票的中獎(jiǎng)率聯(lián)系起來(lái)，提出概率的運(yùn)算思路，在其中添加統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生大膽的提出問(wèn)題；最后，對(duì)概率和統(tǒng)計(jì)進(jìn)行歸納，對(duì)概率和彩票中獎(jiǎng)率的關(guān)系進(jìn)行解答，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力，從而達(dá)到案例教學(xué)的目的，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的不斷提高。因此，正確選擇案例，活躍課堂氣氛，在教師的帶動(dòng)作用下，數(shù)學(xué)教學(xué)可以變得很輕松愉悅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)質(zhì)量可以得到快速提高，從而促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)能力的全面發(fā)展。
二、開(kāi)放學(xué)生思維，明確教學(xué)目的
在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生是是教學(xué)的主體，每個(gè)人都有自己的思維能力，所以教師必須明確教學(xué)目的，使學(xué)生的思維得到盡可能的開(kāi)放，促進(jìn)學(xué)生探索創(chuàng)新能力的不斷提高。因此，教師在選擇案例時(shí)，要綜合評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，對(duì)概率的概念、公式進(jìn)行仔細(xì)講解，將統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)貫穿到整個(gè)課堂教學(xué)，使案例突出教學(xué)重點(diǎn)，達(dá)到知識(shí)點(diǎn)融匯教學(xué)的教學(xué)目的。開(kāi)放課堂教學(xué)，不僅可以使學(xué)生掌熟練握更多的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)，更能拉近學(xué)生與作者、學(xué)生與自己的師生距離，使師生之間的感情更加融洽，從而大大提高教學(xué)質(zhì)量的目的。
三、有效組織教學(xué)，提高綜合能力
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是整個(gè)過(guò)程中，打好基礎(chǔ)是非重要的，因此，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中運(yùn)用案例教學(xué)，教師要有效組織教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提高。針對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的難點(diǎn)和易點(diǎn)，循序漸進(jìn)的提升難度，讓學(xué)生熟練掌握每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生敏捷的數(shù)學(xué)思維能力，不斷開(kāi)闊學(xué)生的視野，使學(xué)生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析能力變得更強(qiáng)，從而達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。例如：針對(duì)籃球投籃問(wèn)題，根據(jù)球隊(duì)人數(shù)的變化來(lái)計(jì)算投籃的概率，從最簡(jiǎn)單的計(jì)算開(kāi)始，隨著人數(shù)的變化，計(jì)算復(fù)雜程度也變得越來(lái)越高。這就是一個(gè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)逐漸加深的案例，通過(guò)這個(gè)案例教學(xué)，學(xué)生的思維能力可以不斷增強(qiáng)，綜合能力也會(huì)得到不斷提高。
四、課后教學(xué)總結(jié)，不斷改革創(chuàng)新
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中，案例教學(xué)方法應(yīng)用的課后總結(jié)，是教師對(duì)課堂教學(xué)不足的完善，可以有效保證案例教學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，不斷創(chuàng)新教學(xué)方法和模式，同時(shí)促進(jìn)教師自我的不斷提升。課后總結(jié)，分為學(xué)生的總結(jié)和教師的總結(jié)，學(xué)生通過(guò)總結(jié)，可以對(duì)案例教學(xué)進(jìn)行仔細(xì)的分析，培養(yǎng)學(xué)生處理問(wèn)題和解決問(wèn)題的思路，提升學(xué)生實(shí)踐動(dòng)手能力；教師總結(jié)時(shí)，對(duì)重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行再度印象加深，促進(jìn)學(xué)生不斷探索和創(chuàng)新，從而促進(jìn)教師教學(xué)的不斷創(chuàng)新。
五、結(jié)束語(yǔ)
一、要確立素質(zhì)教育的觀念
數(shù)學(xué)教學(xué)要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。要使學(xué)生有清晰的數(shù)學(xué)觀念，有全面的、牢固的，結(jié)成網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，有運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。教學(xué)必須面對(duì)全體學(xué)生，必須嚴(yán)格按規(guī)定授完全部教材內(nèi)容（不管是否考這些內(nèi)容）。而且教學(xué)時(shí)概念必須交待準(zhǔn)確，數(shù)理必須交待清楚，做到每個(gè)判斷都有依據(jù)，每個(gè)推理都有道理。要在此基礎(chǔ)上談算法。
例如，不能說(shuō)“一塊厚紙板是一個(gè)長(zhǎng)方形”，應(yīng)該說(shuō)這塊厚紙板的正面是一個(gè)長(zhǎng)方形。學(xué)到長(zhǎng)方體之后還應(yīng)該說(shuō)這塊厚紙板是一個(gè)長(zhǎng)方體，它的正面，反面都是長(zhǎng)方形，還有4個(gè)長(zhǎng)方形的面仔細(xì)看才看得到。教學(xué)“3.5米等于多少厘米”要使學(xué)生知道：1米是100厘米，3.5米是3.5個(gè)100厘米，即100×3.5厘米。按乘法的意義，列式時(shí)進(jìn)率100要寫在乘號(hào)的前面。教應(yīng)用題就要教學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，制定解答方案，然后計(jì)算結(jié)果。要讓學(xué)生獨(dú)立思考，獨(dú)立解答。
教學(xué)要緊緊依據(jù)教材，注意不要增加名詞述語(yǔ)及提出不科學(xué)的提法如說(shuō)“最小的數(shù)是0”、“被減數(shù)一定大于減數(shù)”等。要依據(jù)運(yùn)算意義確定算法，不要提死辦法，如“飛走是減”、“一共是加”、“照這樣計(jì)算就是要求單一量”……。
二、要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行初步的邏輯思維
小學(xué)生的思維方式正處在從具體形象思維向抽象邏輯思維的過(guò)渡階段。他們的思維一般要借助實(shí)物、圖形或者頭腦中的表象來(lái)進(jìn)行。應(yīng)當(dāng)肯定，形象思維是一種很好的思維方法，可以終生受用。但是，僅有具體形象思維是不夠的，還必須掌握抽象邏輯思維的方法，以提高思維能力。教學(xué)中可以滲透一些抽象邏輯思維的因素。
如教一位數(shù)加法，就不必每題都擺弄教具，可指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行算理的推敲（其實(shí)很多教師都做了）。例如教8+7，可以指導(dǎo)學(xué)生這樣算，8只需補(bǔ)上2就得10，從7里面拿出2與8相加之后余下5，所以8+7
（附圖{圖}）
象地演示教具：①擺8和7；②將8放入鐵筒；③問(wèn)還要放幾個(gè)就夠10個(gè)；④把7分成2和5，把2放入鐵筒；⑤問(wèn)筒里有幾個(gè)，筒外有幾；⑥確定8+7=15。
又如解答兩次歸一問(wèn)題“4匹馬5天飼料100千克。照這樣計(jì)算，6匹馬7天飼料多少千克？”如果畫圖表示題意尋求解題方法就很難，而且畫出的圖太繁反而失直觀作用?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生冷靜而深入地思考：要求“6匹馬7天吃多少千克”需要知道“1匹馬1天吃多少千克”。從“4匹馬5天吃100千克”可以求出“1匹馬1天吃多少千克”。題目說(shuō)明“照這樣計(jì)算”表明這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不改變，可以用來(lái)求“6匹馬7天吃多少千克”。思考到這里可以肯定分兩大步解答：①求4匹馬1天吃多少，再求1匹馬1天吃多少；②求1匹馬7天吃多少，再求6匹馬7天吃多少。本題的解法是：100÷5÷4×7×6=210（千克）或者100÷4÷5×6×7＝210……
再如解盈虧問(wèn)題（作為提高題來(lái)研究）“一組小朋友分一籃李果。每人3個(gè)余下4個(gè)，每人5個(gè)不足8個(gè)。這組小朋友有多少人？這籃李果有多少個(gè)？”可以這樣想：從每人多分一些李果造成總需求量增加，由此可以算出人數(shù)，進(jìn)而求出李果數(shù)。具體來(lái)說(shuō)，由于每人多分5-3=2（個(gè)），結(jié)果由余4個(gè)變成不足8個(gè)，需要李果的總數(shù)就多了4+8=12（個(gè)），這12個(gè)是每人多分2個(gè)造成的，可知人數(shù)是12÷2=6（人）；李果數(shù)是3×6+4=22（個(gè)），驗(yàn)算：5×6-8=22（個(gè)）。
三、適當(dāng)作一些論證
小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)只要求教師通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出結(jié)果就可以作出結(jié)論，至于結(jié)論成立與否并不作論證。久而久之，學(xué)生就會(huì)認(rèn)為實(shí)驗(yàn)就是證明，這種觀念對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)非常不利。教師可以在適宜的問(wèn)題抓住時(shí)機(jī)作一些論證，使學(xué)生確信所得結(jié)論的必然性，更重要的是使學(xué)生知道數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。
例如，教學(xué)時(shí)可以使用不完全歸納法。如15×20=300,20×15=300，所以15×20=20×15;18×125=2250,125×18=2250，所以18×125=125×18，……經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)都得到交換因數(shù)位置積不變的結(jié)果，從而歸納出乘法交換律，切忌一例立論。
有些地方可以作相當(dāng)正式的證明。如找圖中相
（附圖{圖}）
∠2＝∠4，還可以測(cè)量證實(shí)。但是，只經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)就作結(jié)論不夠嚴(yán)謹(jǐn)，可以作如下證明：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠2＝180°，∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2，所以∠1＝∠3。簡(jiǎn)單的證明可使學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。
四、適時(shí)培養(yǎng)初步的空間想象力
數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生初步的空間觀念，使學(xué)生對(duì)物體的形狀、大小、位置、方向、距離等有明確的認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)過(guò)的形體以及接觸過(guò)的物體、場(chǎng)地、河山等能夠在頭腦中形成表象。教師要引導(dǎo)學(xué)生借助表象進(jìn)行思考，并以此為起點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生初步的空間想象力。
如解答籃球場(chǎng)鋪混凝土多少立方米的應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生想象出這些混凝土鋪在球場(chǎng)上將形成一個(gè)長(zhǎng)方體，混凝土的厚度就是這個(gè)長(zhǎng)方體的高。又如解答長(zhǎng)方體形狀的糞池四壁和池底涂抹水泥問(wèn)題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生想象出這個(gè)池?zé)o蓋，涂抹面只有5個(gè)。
解答復(fù)合應(yīng)用題也應(yīng)幫助學(xué)生想象出應(yīng)用題的情境以至數(shù)量關(guān)系。如解答相遇問(wèn)題應(yīng)幫助學(xué)生想象出：一條路的兩頭各有一輛車，它們同時(shí)相向行駛，越來(lái)越靠近，單位時(shí)間靠近一段路程，全路程包括多少個(gè)這段路程就在多少個(gè)單位時(shí)間后相遇。
五、教好簡(jiǎn)易方程和幾何初步知識(shí)
教好小學(xué)教材中的簡(jiǎn)易方程，不要人為拔高，不要引進(jìn)中學(xué)的定理、方法。例如，列方程解應(yīng)用題不急于計(jì)算結(jié)果，首先把各數(shù)的位置擺好，然后找出數(shù)量之間的相等關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系建立方程，用等式表達(dá)未知數(shù)和已知數(shù)之間的關(guān)系，然后解方程求答數(shù)。列方程解應(yīng)用題能解答復(fù)雜疑難的問(wèn)題，是中學(xué)的主要解題方法，小學(xué)應(yīng)該認(rèn)真做好孕伏。
小學(xué)要教好幾何初步知識(shí)，為中學(xué)作準(zhǔn)備。教學(xué)中應(yīng)認(rèn)真進(jìn)行操作性練習(xí)。如①過(guò)直線外的一點(diǎn)作直線的垂線和斜線，量該點(diǎn)到直線之間的各條線段，找出其中最短的。②過(guò)角內(nèi)的一點(diǎn)作兩邊的垂線和平行線，看哪種畫法得到平行四邊形。③過(guò)線段兩端各作一條垂線；過(guò)線段的一端作一個(gè)直角，另一端同側(cè)作一個(gè)45°的角；過(guò)線段的一端作30°的角，另一端同側(cè)作60°的角；過(guò)線段兩端同側(cè)各作一個(gè)75°的角；過(guò)線段兩端同側(cè)分別作30°和45°的角，看哪種作法得到三角形，得到怎樣的三角形。
六、認(rèn)真滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想
教材里隱含有函數(shù)、對(duì)應(yīng)、集合等內(nèi)容，教學(xué)時(shí)應(yīng)挖掘出來(lái)進(jìn)行滲透，但不給概念，不出名詞。
函數(shù)的例子隨處可見(jiàn)。如“桃樹(shù)棵數(shù)比李樹(shù)的2倍多5棵”，用關(guān)系式表示是：
桃樹(shù)棵數(shù)＝李樹(shù)棵數(shù)×2+5其中“李樹(shù)棵數(shù)”是自變量，“桃樹(shù)棵數(shù)”是自變量的函數(shù)?！袄顦?shù)棵數(shù)”變化，“桃樹(shù)棵數(shù)”也隨之變化。
對(duì)應(yīng)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材里隨處可見(jiàn)，把求相差轉(zhuǎn)化為求剩余就是其中一例。如：有紅花6朵，黃花
（附圖{圖}）
通過(guò)一一對(duì)應(yīng)發(fā)現(xiàn)紅花里有4朵和黃花一樣多，另外還剩下2朵，即紅花比黃花多2朵。
集合在數(shù)的整除里有過(guò)廣泛的運(yùn)用，有些思考題也應(yīng)用集合來(lái)解答。
現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想融匯在教材之中，要注意挖掘，進(jìn)行滲透，使學(xué)生及早接觸并初步領(lǐng)略它。
七、加強(qiáng)思維品質(zhì)的培養(yǎng)
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。
思維要有方向，有根據(jù)，不能胡思亂想。如用分析法分析數(shù)量關(guān)系，尋找解題方案，是從問(wèn)題出發(fā)進(jìn)行分析推理，形成解題思路，方向很明確。研究其他問(wèn)題也可以這樣進(jìn)行。
思維應(yīng)有靈活性。要提倡學(xué)生從多角度去考慮同一問(wèn)題，用多種方法去解決，不應(yīng)強(qiáng)求統(tǒng)一，但要注意鼓勵(lì)學(xué)生采用最佳的方法。
有思維的靈活性才會(huì)有思維的創(chuàng)造性。思維靈活的學(xué)生能找出老師未講過(guò)的、一般人想不到、有時(shí)似乎異想的解決問(wèn)題的方法。如表達(dá)“鹽的重量占海水的3%”，可能想出多種方法：
①鹽的重量＝海水重量×3%
②鹽的重量＝海水重量÷100×3
鹽的重量
③────＝3%
海水重量
（附圖{圖}）
思維的創(chuàng)造性還有賴于思維的深刻性。能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)深入鉆研才能解決較難的問(wèn)題。如要發(fā)現(xiàn)圖中陰影的兩個(gè)部分面積相等，就要深入鉆研。通過(guò)鉆研就能發(fā)現(xiàn)圖中有兩個(gè)同底等高的三角形，它們各自減去同一個(gè)三角形，得出的兩個(gè)差相等。
思維的敏捷性反映思維的效率，提高思維的敏捷性需要講究思維方法，還要加強(qiáng)訓(xùn)練。
總之，良好的思維品質(zhì)不能給予，但可以培養(yǎng)，要給學(xué)生鍛煉的機(jī)會(huì)，并堅(jiān)持不懈。
八、加強(qiáng)學(xué)習(xí)品質(zhì)的培養(yǎng)
學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)要教師去培養(yǎng)，教師要讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)有興趣和愛(ài)好，有責(zé)任心和主動(dòng)性，有鉆研精神和毅力，有合理的學(xué)習(xí)方法和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。這里有幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：
1.僅靠興趣支持學(xué)習(xí)還不行。要教育學(xué)生產(chǎn)生理想和期望，讓他們用理想來(lái)支持學(xué)習(xí)，這樣，責(zé)任心和鉆研精神才能保持長(zhǎng)久。
關(guān)鍵詞：信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)情境
數(shù)學(xué)是一門與生活聯(lián)系比較緊密的學(xué)科，它具有較高的抽象性，要使學(xué)生理解性地接受、消化，僅憑目前課堂上教師的傳授是不可能的。這就迫使教師改變教學(xué)觀念，探索教學(xué)技巧。我們運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)從以下幾方面創(chuàng)設(shè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)情境，供同仁們參考。
一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與好奇心
創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，就是在教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生求知心理之間設(shè)障立疑，將學(xué)生引入一種與問(wèn)題有關(guān)的情境。而信息技術(shù)正好是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境的最有效工具，教師利用多媒體技術(shù)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)為核心的現(xiàn)代教育技術(shù)盡可能創(chuàng)設(shè)生動(dòng)、有趣的問(wèn)題情境,引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方位地對(duì)情境內(nèi)容進(jìn)行分析、比較、綜合，學(xué)生不斷地完成“同化”和“順應(yīng)”，建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
例如:在教學(xué)“乘法分配率”時(shí)，一位教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了這樣一個(gè)良好的問(wèn)題情境，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，讓問(wèn)題去激發(fā)思維的火花。例：一群猴子在山上玩，無(wú)意發(fā)現(xiàn)了一棵大樹(shù)上掛著一個(gè)奇特的仙桃，令他們垂簾欲滴，搶著上樹(shù)摘。正好猴王走過(guò)來(lái)，看見(jiàn)他們，就一聲令下：“不準(zhǔn)摘！誰(shuí)想摘，必須先過(guò)我猴王關(guān)！”猴王便出了兩道計(jì)算題26×25+25×14=？25×（26+14）=？考他們。結(jié)果，有個(gè)伶俐的小猴子搶先答出兩道題的答案都是1000，猴王聽(tīng)后，很高興，親自摘下桃子給猴子。其他猴子都很奇怪：“這兩題的算式不同，結(jié)果怎會(huì)一樣呢？”此時(shí)學(xué)生躍躍欲試，欲言而不能，教師趁勢(shì)而入，因勢(shì)利導(dǎo)、展示課題。這樣就達(dá)到了“一石激起千層浪”的效果，將學(xué)生帶入了情境之中。喚起了學(xué)生的求知欲望，點(diǎn)燃了學(xué)生思維的火花，在這生動(dòng)有趣的情境吸引下學(xué)生們都積極的投入到學(xué)習(xí)中。
這種從創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境入手激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的做法，不僅能使學(xué)生產(chǎn)生心理效應(yīng)，而且可以較好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。另外，創(chuàng)設(shè)一定的問(wèn)題情境可以開(kāi)拓學(xué)生的思維，給學(xué)生發(fā)展的空間。
二、創(chuàng)設(shè)“親歷”情境，化解知識(shí)難點(diǎn)
新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：要大力開(kāi)發(fā)并向?qū)W生提供更為豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具。而網(wǎng)絡(luò)技術(shù)以其資源的豐富性、交互性等優(yōu)勢(shì)給數(shù)學(xué)教學(xué)注入了新的活力。在教學(xué)中，如果教師在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)一種使兒童仿佛“身臨其境”的活動(dòng)，讓他們?cè)诨顒?dòng)中掌握知識(shí)的要點(diǎn)，化解知識(shí)難點(diǎn)，能使教學(xué)收到事半功倍的效果。
網(wǎng)絡(luò)進(jìn)入課堂，能將多姿多彩的生活情景帶入課堂，創(chuàng)設(shè)虛擬的真實(shí)情境，體現(xiàn)生活數(shù)學(xué)的教學(xué)理念。如，一位教師開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)“節(jié)約用水”的過(guò)程中，學(xué)生們不僅學(xué)會(huì)了測(cè)量、繪制等知識(shí)，還從網(wǎng)上了解到了有關(guān)我國(guó)水資源的概況等，真正體會(huì)到一滴水的價(jià)值，受到了良好的養(yǎng)成習(xí)慣教育和國(guó)情教育，可謂受益匪淺。
又如：在教學(xué)《直角的初步認(rèn)識(shí)》時(shí)，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)了直角，學(xué)會(huì)了畫直角后，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)拓展題：經(jīng)過(guò)個(gè)屏幕上一點(diǎn)引出兩條射線（射線可以在屏幕上任意旋轉(zhuǎn)），要求學(xué)生用鼠標(biāo)拖動(dòng)、旋轉(zhuǎn)兩條射線，利用電子直角三角板工具，能畫出多少個(gè)直角（無(wú)數(shù)個(gè)）？學(xué)生可以在電腦上直接操作，也可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)控制平臺(tái)與教師直接交流，教師也可以在網(wǎng)上監(jiān)看每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度，同時(shí)與學(xué)生進(jìn)行個(gè)別交流，這樣，每一個(gè)學(xué)生都能夠得到老師的輔導(dǎo)，因材施教也就落到了實(shí)處，有力地促進(jìn)了學(xué)生創(chuàng)新精神的發(fā)展。
有了網(wǎng)絡(luò)技術(shù)學(xué)生可以選擇自己喜歡的小課題進(jìn)行探索：自己上網(wǎng)查資料，上網(wǎng)求解、討論等，從而多方面、多角度地理解問(wèn)題，增強(qiáng)了學(xué)生主動(dòng)探索知識(shí)、主動(dòng)實(shí)踐的意識(shí)和能力，促進(jìn)了可持續(xù)發(fā)展。
三、創(chuàng)設(shè)激勵(lì)情境，促進(jìn)學(xué)生敏捷思維
實(shí)踐證明：學(xué)生在緊張、激烈的比賽中，他們個(gè)個(gè)、躍躍欲試，挖空心思去爭(zhēng)取勝利。在教學(xué)中，教師利用信息技術(shù)具有運(yùn)載信息量大、反應(yīng)速度快、綜合表現(xiàn)力強(qiáng)和容易控制的特點(diǎn)，恰到好處的創(chuàng)設(shè)一些激勵(lì)情境，有利于學(xué)生敏捷性思維的發(fā)展。
例如：學(xué)生學(xué)習(xí)20以內(nèi)口算加減法時(shí)，傳統(tǒng)的方法是教師出示口算卡片，學(xué)生看算式回答。這樣，教師很難以照顧到每一學(xué)生，大多數(shù)學(xué)生都是在教師的直接刺激下做出一定的反應(yīng)。而教師利用多媒體網(wǎng)絡(luò)教室，設(shè)計(jì)一個(gè)交互游戲型CAI課件，讓學(xué)生在游戲的情境中學(xué)習(xí)。當(dāng)學(xué)生提前或在規(guī)定的時(shí)間里正確的完成任務(wù)，把關(guān)的“將”才會(huì)讓其進(jìn)入下一關(guān)學(xué)習(xí)，否則仍然返回這一關(guān)，而且每一關(guān)都有不同的難度，越到最后，難度就越高，要求學(xué)生的反應(yīng)速度更快。學(xué)生在這種人機(jī)挑戰(zhàn)、激烈競(jìng)爭(zhēng)的氛圍中漸漸養(yǎng)成不服輸，敢于向困難挑戰(zhàn)的好習(xí)慣，促使學(xué)生積極主動(dòng)學(xué)習(xí)，學(xué)生思維得到了很好的鍛煉，同時(shí)體現(xiàn)了教師是組織者、引導(dǎo)者和幫助者的地位，克服了傳統(tǒng)教學(xué)中整齊劃一的缺陷，照顧到了不同學(xué)生之間的水平差異，每一個(gè)學(xué)生都能有成功的體驗(yàn)。而且，有利于培養(yǎng)學(xué)生競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和學(xué)習(xí)毅力。
四、創(chuàng)設(shè)“對(duì)比”情境，培養(yǎng)學(xué)生辯異能力
形近而實(shí)異的數(shù)學(xué)知識(shí)，常常困繞著小學(xué)生的思維，使他們不能用正確的方法去解決那些看似相同，實(shí)際屬于兩個(gè)不同的概念的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在教學(xué)中，教師抓住學(xué)生理解上的迷茫處，通過(guò)有針對(duì)性的觀察、對(duì)比辨析，能使學(xué)生的思維沿著正確的方向發(fā)展。
如：在教學(xué)“面積和周長(zhǎng)的對(duì)比”時(shí)，我利用課件創(chuàng)設(shè)了一個(gè)貼近學(xué)生生活的故事情境：（電腦動(dòng)畫出示后教師敘述）在一個(gè)小山村里，橋西住著李伯伯一家，橋東住著王伯伯一家。這一年李伯伯家養(yǎng)了5只養(yǎng)，王伯伯家在自家門前開(kāi)墾了一塊長(zhǎng)20米，寬6米的長(zhǎng)方形麥地，（動(dòng)畫顯示麥地）望著綠油油的麥田王伯伯非常高興。（動(dòng)畫顯示羊要吃麥田的樣子）為了保障麥子豐收，請(qǐng)大家給麥田想個(gè)辦法？
生1：把羊牽走就行。
師：可是羊還是會(huì)跑過(guò)來(lái)的。
生2：給麥田的四周圍上籬笆。
師：這是一個(gè)好辦法。（動(dòng)畫顯示紅色的籬笆）
師：請(qǐng)同學(xué)觀察這幅圖你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？
生1：王伯伯需要筑多長(zhǎng)的籬笆？
生2：王伯伯種了多大面積的麥子？……（搶著提出問(wèn)題）。
師：同學(xué)們太棒了，提出了這么多問(wèn)題，那我們就幫王伯伯算算好嗎？
教學(xué)中教師先幫助學(xué)生明確面積和周長(zhǎng)的本質(zhì)屬性：面積是指物體平面的大小，周長(zhǎng)是指物體四周的長(zhǎng)度。并讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)、指一指黑板的面積和周長(zhǎng)的具體含義。
在教學(xué)中，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)特征后進(jìn)行比較異同點(diǎn)，有利于學(xué)生對(duì)概念的深刻認(rèn)識(shí)和準(zhǔn)確理解，同時(shí)能提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力。
五、創(chuàng)設(shè)應(yīng)用情境培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維
數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。創(chuàng)設(shè)與學(xué)生緊密聯(lián)系的生活情境，讓學(xué)生親自體驗(yàn)情境中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣有利于學(xué)生理解情境中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有利于使學(xué)生體驗(yàn)生活中數(shù)學(xué)無(wú)處不在，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力．創(chuàng)造能力和初步解決實(shí)際問(wèn)題的能力，而多媒體計(jì)算機(jī)卻有模擬性強(qiáng)的功能，能很好的創(chuàng)設(shè)一個(gè)虛擬應(yīng)用情境。
教學(xué)是師生的雙邊活動(dòng)，教師的責(zé)任不僅在于自己把課講好，還要組織學(xué)生學(xué)好。上課伊始，環(huán)顧全班，示意學(xué)生坐正。目光向老師和黑板聚集，作好聽(tīng)課準(zhǔn)備。這樣，雖然講課慢了幾秒鐘，但營(yíng)造了全班良好的學(xué)習(xí)氣氛。學(xué)生們集中的注意、與老師合拍的思維，其收益絕非搶先幾秒鐘講課可得。相反，如果上課鈴聲剛停，老師就急乎乎講新課，置學(xué)生的松散狀況于不顧。教學(xué)效果可想而知。所以，上課開(kāi)始的幾秒鐘的安排是值得認(rèn)真考慮的。汽車駕駛員把“寧停三分，不爭(zhēng)一秒”作為座右銘。我們數(shù)學(xué)教師也可借鑒。
二、新知引入，要慢些。
一般地說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)是環(huán)環(huán)緊扣、節(jié)節(jié)相聯(lián)的，新知識(shí)是舊知識(shí)的延續(xù)和發(fā)展，新知識(shí)又是后續(xù)知識(shí)的基矗因此，新知的引人要慢些。引入新知時(shí)應(yīng)留出時(shí)間讓學(xué)生找到新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，并運(yùn)用己有的知識(shí)嘗試構(gòu)建新的知識(shí)結(jié)構(gòu)。這樣可以使學(xué)生積極主動(dòng)地獲取知識(shí)。
三、語(yǔ)言節(jié)奏，要慢些。
小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的抽象性。運(yùn)用生動(dòng)、形象的語(yǔ)言，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為具體的、為學(xué)生易于理解接受的知識(shí)，是堤高課堂教學(xué)效率的一個(gè)重要方面。為了使課本知識(shí)變得淺顯通俗，使學(xué)生易懂易學(xué)，數(shù)學(xué)教師講課時(shí)語(yǔ)言要慢些。發(fā)問(wèn)要慢，敘述概念要咬文嚼字，講授難點(diǎn)要注意停頓。同時(shí)，還要講究語(yǔ)調(diào)、節(jié)奏和情感。應(yīng)根據(jù)不同需要賦予數(shù)學(xué)語(yǔ)言以不同的情感色彩。
四、課堂提問(wèn)，要慢些。
在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，特別是在公開(kāi)課教學(xué)中，有的教師剛提問(wèn)就讓學(xué)生舉手發(fā)言，或同時(shí)連續(xù)提好幾個(gè)問(wèn)題，以致學(xué)生無(wú)言對(duì)答，或回答不到點(diǎn)子上，顛三倒四。究其原因，癥結(jié)是提問(wèn)后，學(xué)生缺少分析、思考的時(shí)間。如果教師的提問(wèn)慢些，提問(wèn)后，有意識(shí)地圖出時(shí)間給學(xué)生思考，就能取得較理想的教學(xué)效果。例如：有位教師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：“給的分子加上4后，要使分?jǐn)?shù)的大小不變，分母應(yīng)加上幾？”問(wèn)題提出后，有的學(xué)生立刻舉手，這位熟師沒(méi)有急于讓學(xué)生回答，而是勸他們?cè)僬J(rèn)真思考。當(dāng)時(shí)，教室里寂靜無(wú)聲，但學(xué)生都在積極思索，等大部分學(xué)生舉手后，這位教師才讓他們回答。結(jié)果學(xué)生都能說(shuō)出正確答案。試想，如果提問(wèn)后不留出充裕的時(shí)間，而讓學(xué)生匆匆發(fā)言，多數(shù)學(xué)生一時(shí)能回答出來(lái)嗎？