時(shí)間：2022-04-18 04:04:26
導(dǎo)語(yǔ)：在數(shù)學(xué)勾股定理論文的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了一篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
摘要：數(shù)學(xué)是一種邏輯性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)的學(xué)科，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題使用常規(guī)的解題方法往往過(guò)于繁瑣，而利用一些定理進(jìn)行求解往往能夠達(dá)到事半功倍的效果。在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，勾股定理便是一個(gè)非常重要的定理，將其充分利用能夠使諸多數(shù)學(xué)問(wèn)題迎刃而解。本課題筆者結(jié)合實(shí)際教學(xué)案例從多方面對(duì)勾股定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了探究，希望以此為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的完善提供一些具有價(jià)值性的參考依據(jù)。
關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 勾股定理 應(yīng)用
1 引言
勾股定理是初中數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)定理[1]。它很好地解釋了直角三角形中三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，對(duì)于幾何學(xué)當(dāng)中有關(guān)直角三角形的計(jì)算機(jī)證明問(wèn)題，利用勾股定理往往能夠迎刃而解，使學(xué)生快速掌握解決方法。同時(shí)，在日常生活及工作當(dāng)中，勾股定理的應(yīng)用也非常廣泛。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，充分利用好勾股定理這一有效手段進(jìn)行解題顯得尤為重要。筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，利用勾股定理，對(duì)初中數(shù)學(xué)當(dāng)中的“線段求長(zhǎng)問(wèn)題”、“求角問(wèn)題”、“證明垂直問(wèn)題”及“實(shí)際問(wèn)題”進(jìn)行了分析與探究，希望以此能夠?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)教學(xué)提供有效依據(jù)。
2 勾股定理在線段問(wèn)題中的應(yīng)用
在初中數(shù)學(xué)中，一些“線段求長(zhǎng)”問(wèn)題使用常規(guī)方面解決常表現(xiàn)的較為棘手，而使用勾股定理往往能夠得以有效解決。
結(jié)語(yǔ)
通過(guò)本課題的探究，認(rèn)識(shí)到在初中數(shù)學(xué)中，對(duì)于許多問(wèn)題可以利用勾股定理進(jìn)行求解。包括“線段求長(zhǎng)問(wèn)題”、“求角問(wèn)題”、“證明垂直問(wèn)題”及“實(shí)際問(wèn)題”等。筆者認(rèn)為，勾股定理在幾何學(xué)當(dāng)中占有非常重要的地位，它不僅僅只是一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的定理那么簡(jiǎn)單，它還與我們的日常生活息息相關(guān)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)習(xí)勾股定理進(jìn)行解題，不但能夠提高學(xué)生解題的效率，而且還能夠讓學(xué)生對(duì)生活引發(fā)思考，從而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，體會(huì)到生活與數(shù)學(xué)學(xué)科的密切聯(lián)系，進(jìn)一步為數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際應(yīng)用奠定良機(jī)
[摘 要] 數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教育的意義不言而喻，它對(duì)于踐行新課改的知識(shí)與技能、過(guò)程與方法以及情感態(tài)度價(jià)值觀的三維目標(biāo)，倡導(dǎo)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的教學(xué)模式等方面具有重要作用. 本文以勾股定理教學(xué)為例，探討了上述問(wèn)題.
[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)史；勾股定理；教育價(jià)值
數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教育的價(jià)值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數(shù)學(xué)教育類雜志可以發(fā)現(xiàn)，越來(lái)越多的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師也在撰文闡述自己在教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史的一些體會(huì)和教學(xué)案例. 在課程改革不斷深入的當(dāng)下，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于踐行課改的理念，培養(yǎng)全面發(fā)展有理想、有道德的高素質(zhì)數(shù)學(xué)人才等方面確實(shí)有著積極的推進(jìn)作用. 本文將給出一個(gè)基于數(shù)學(xué)史的勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)思路，旨在拋磚引玉，期待一線教師在不斷加強(qiáng)自身數(shù)學(xué)史修養(yǎng)的同時(shí)，開發(fā)出更多基于數(shù)學(xué)史的優(yōu)秀教學(xué)案例.
提出問(wèn)題
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理，相傳，這是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其徒眾發(fā)現(xiàn)的，后人更渲染其事，說(shuō)畢達(dá)哥拉斯諸人十分重視這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，特地宰了一百頭牛向天神奉獻(xiàn)答謝，所以中世紀(jì)時(shí)這條定理被稱作“百牛定理”. 在歷史上，這條定理的名稱特別多，在不同時(shí)代、不同地區(qū)都有不同的名稱，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在公元前300年左右編寫了著名的經(jīng)典之作《幾何原本》，其中一個(gè)定理就是畢達(dá)哥拉斯定理：
“在直角三角形中，直角所對(duì)的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”
接下來(lái)的這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯定理的逆定理：
“如果在一個(gè)三角形中，一邊上的正方形等于這個(gè)三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角.”
這兩個(gè)定理合起來(lái)說(shuō)明了直角三角形a，b，c三邊的平方和關(guān)系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.
我國(guó)是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國(guó)家，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，我國(guó)數(shù)學(xué)家早在公元前1120年就對(duì)勾股定理有了明確認(rèn)識(shí). 勾股定理從發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史，在西方，它被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，但它的發(fā)現(xiàn)時(shí)間卻比中國(guó)人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.
定理的證明
在新課程人教版教材（八年級(jí)下冊(cè)）中，先是引用畢達(dá)哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長(zhǎng)的正方形，在“弦圖”內(nèi)作四個(gè)相等的勾股形，各以正方形的邊長(zhǎng)為弦. “弦圖證法”是依據(jù)“出入相補(bǔ)原理”，根據(jù)“以直角三角形斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積與四個(gè)三角形的面積之和等于外正方形的面積”來(lái)證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，正因如此，這個(gè)圖案被選為2002年北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽.
引導(dǎo)學(xué)生探索其他解法
上述是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證法，即利用“以直角三角形斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積與四個(gè)三角形的面積之和等于外正方形的面積”來(lái)證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示，即圍繞面積相等這一條，把原圖形拆成幾部分，然后根據(jù)面積相等實(shí)現(xiàn)定理的證明. 教師可以提示學(xué)生圍繞這一觀點(diǎn)，探索其他證明方法，學(xué)生提供的證法有可能和歷史上大數(shù)學(xué)家的證法一致.
歷史上的經(jīng)典證明方法展示
發(fā)現(xiàn)勾股定理迄今已有五千年，五千多年來(lái)，世界上幾個(gè)文明古國(guó)都相繼發(fā)現(xiàn)和研究過(guò)這個(gè)定理，幾千年來(lái)，人們給出了勾股定理的許多證法，有人統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)在世界上已找到四百多種證法，下面列舉其中具有數(shù)學(xué)思想的一些代表性證明方法. 如（1）歐幾里得《幾何原本》的證法；（2）比例證法；（3）另一種弦圖證法；（4）總統(tǒng)證法；（5）帕斯卡拉二世的證明；（6）畢達(dá)哥拉斯的證法；（7）旋轉(zhuǎn)證法. 限于篇幅，這些證明方法的證明過(guò)程在本文中省略不寫.
基于上述分析，不難發(fā)現(xiàn)，歷史上的勾股定理證明方法很多，據(jù)統(tǒng)計(jì)，有400多種，向?qū)W生展示不同的證明方法有很多益處，具體表現(xiàn)在：首先，給出勾股定理的多種證法，并非是比較證法之優(yōu)劣，而是為了豐富教與學(xué)的內(nèi)容知識(shí)，這也是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)重要的功能之一. 其次，通過(guò)比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學(xué)生在教與學(xué)上有所比較，以達(dá)到取長(zhǎng)補(bǔ)短. 通過(guò)分析各種證法之不同，可以發(fā)現(xiàn)他們各自對(duì)于圖形的依賴程度也不相同. 當(dāng)我們?cè)噲D理解某個(gè)版本的證法時(shí)，就好比與這位數(shù)學(xué)家進(jìn)行對(duì)話，從而產(chǎn)生自我“歷史詮釋”. 再次，歷史上的勾股定理證法還使我們認(rèn)識(shí)到該如何呈現(xiàn)定理及其證明，以便可以兼顧到各個(gè)面向. 在教學(xué)中，若以歷史文本為師，適時(shí)引入古人的原始想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯(cuò)誤，相信對(duì)于數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程能有更貼近的牟合，也能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有更全面的觀照. 最后，基于數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的目標(biāo)之一，正是讓學(xué)生在通過(guò)歷史文本解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，因此，數(shù)學(xué)歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發(fā)掘才可能使我們滿載而歸.
歷史上涉及勾股定理應(yīng)用的古算題很多，在學(xué)習(xí)勾股定理的同時(shí)，如果能盡可能多地向?qū)W生呈現(xiàn)這些古算題，會(huì)使我們的教學(xué)起到事半功倍之效. 向?qū)W生呈現(xiàn)古算題原題，學(xué)生首先會(huì)接受很多那個(gè)時(shí)代的社會(huì)、人文信息，包括古算題涉及的真實(shí)情景、古算題的出處、涉及的數(shù)學(xué)家等. 學(xué)生還要將文言文翻譯成現(xiàn)代白話文，然后去理解題意，考慮其解題方法. 接著給學(xué)生呈現(xiàn)古人解決此類問(wèn)題的“術(shù)”，又會(huì)使學(xué)生感受到他們的解法與歷史上的解法其實(shí)有異曲同工之妙. 在這個(gè)過(guò)程中，新課程所涉及的“知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀”三維目標(biāo)可以自然地達(dá)成. 誠(chéng)然，教師在這個(gè)過(guò)程中需要適時(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)和點(diǎn)撥，它要求教師具備一定的數(shù)學(xué)史知識(shí)和修養(yǎng).
結(jié)語(yǔ)：數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用不言而喻，亟須一線教師開發(fā)出更多的教案和案例. 數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教育的重要指導(dǎo)和引領(lǐng)作用，正如我國(guó)老一輩數(shù)學(xué)教育家、珠算算具改革先驅(qū)的余介石先生所說(shuō)：“歷史之于數(shù)學(xué)，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學(xué)高山仰止之恩，收聞風(fēng)興起之效，更可指示基本概念之有機(jī)發(fā)展情形，與夫心理及邏輯順序，如何得以融合調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠(chéng)為教師最宜留意體會(huì)之一事也”.
在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，近階段發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生對(duì)勾股定理逆定理掌握不是太透徹.對(duì)于下面的題目不少同學(xué)給出如下錯(cuò)誤的解法.
如果說(shuō)一兩個(gè)是巧合，可我?guī)У陌嘀胁簧賹W(xué)生是這么解答的，讓我陷入困惑中，通過(guò)幾個(gè)學(xué)生的調(diào)查后，有個(gè)學(xué)生說(shuō)：“在RtΔABC中可以求得AC=5，而ACD中，5、12、13是一組勾股數(shù)，那么ACD是個(gè)直角三角形.”另一個(gè)同學(xué)說(shuō)：“我感覺(jué)ACD是一個(gè)直角三角形，不然面積就不好求了.”還有一同學(xué)說(shuō)：“我記得老師好像也是這么寫的吧.”
本來(lái)打算重新講一遍，可想想這樣效果或許不太好，何不將錯(cuò)就錯(cuò)，讓學(xué)生自己去探索求證，我把這樣的解題過(guò)程寫在黑板上讓學(xué)生自己來(lái)評(píng)價(jià)是否合理.這時(shí)不少同學(xué)笑了， 其中一中等生說(shuō)：“這過(guò)程不合理，因?yàn)樵贏CD中，如果說(shuō)由勾股定理得的話，前提已經(jīng)是直角三角形了，而題目中有沒(méi)有直接告訴我們，需要我們驗(yàn)證.”
“那我們?cè)撛趺打?yàn)證它是不是一直角三角形呢？”我及時(shí)的問(wèn)，這時(shí)班級(jí)調(diào)子不一致了，有的說(shuō)勾股定理，有的說(shuō)勾股定理逆定理.我又問(wèn)誰(shuí)能告訴我勾股定理和它的逆定理到底有什么不一樣，他們各自目的一樣嗎？這樣又有幾個(gè)同學(xué)作了回答.
我問(wèn)道：“現(xiàn)在我們?cè)谇驛C的長(zhǎng)度時(shí)，用的是勾股定理還是其逆定理？”
學(xué)生一致答道：“勾股定理.”
“而在判斷三角形ACD的形狀時(shí)，是用勾股定理還是其逆定理？”
學(xué)生又一致答道：“逆定理.”
“那我們?cè)趺从霉垂啥ɡ砟娑ɡ砼袛嗳切问欠駷橹苯侨切文?？?
這時(shí)班級(jí)安靜了一小會(huì)，一平常表現(xiàn)活躍的學(xué)生說(shuō)：“看兩邊平方和與第三邊平方是否相等？如果相等就是直角三角形，不相等就不是直角三角形.”
“任意兩邊平方和嗎？”我問(wèn)道
“這個(gè)……，好像不是吧.”
問(wèn)題好像出來(lái)了，我感覺(jué)有點(diǎn)高興.
這時(shí)一較好同學(xué)站起來(lái)說(shuō)：“應(yīng)該是兩個(gè)較小邊的平方和與第三邊平方進(jìn)行比較.”
“為什么是較小兩邊平方和呢？大家討論交流一下.”
那個(gè)表現(xiàn)活躍的學(xué)生又站起來(lái)說(shuō)：“老師我知道，如果不選擇較小兩邊平方和與第三邊平方作比較，那結(jié)果肯定是不相等的.”
“能否舉個(gè)例子？”我問(wèn)道
“例如3、4、5為三角形的三邊，我們知道它肯定一直角三角形，但如果我們不選擇
32+42與52相比較的話，就會(huì)得到不等的結(jié)果.”
“不知道其他同學(xué)有沒(méi)聽懂他的意思？”
“懂了！”其他同學(xué)大聲說(shuō)道.
“那現(xiàn)在老師就板書一下，同學(xué)說(shuō)，老師寫”
題目等腰直角三角形有上述性質(zhì)，其他的直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？圖1中，每個(gè)小方格的面積均為1，請(qǐng)分別算出圖中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面積，看看能得出什么結(jié)論.(提示：以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，等于某個(gè)正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積.)
探究勾股定理的發(fā)現(xiàn)S正方形A=22=4，S正方形B=32=9，
S正方形C=52-12×2×3×4=25-12=13，
所以S正方形A+S正方形B=S正方形C.
S正方形A′=32=9，S正方形B′=52=25，
S正方形C′=82-12×3×5×4=64-30=34，
所以S正方形A′+S正方形B′=S正方形C′.
由于正方形A，B(或A′，B′)的面積分別等于直角三角形的兩直角邊的平方，正方形C(或C′)的面積等于直角三角形的斜邊的平方，于是我們得出：
勾股定理直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
反思1為什么直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方？
探究勾股定理的證明在計(jì)算正方形C(或C′)的面積時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)：正方形C(或C′)的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)全等的直角三角形的面積，由此我們受到啟發(fā).如圖2，若設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，根據(jù)大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個(gè)直角三角形的面積，得(a+b)2=c2+12ab×4，整理，得a2+b2=c2.所以直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
說(shuō)明上述證明勾股定理的方法用到的圖形，叫做“趙爽弦圖”.運(yùn)用“趙爽弦圖”證明勾股定理，簡(jiǎn)捷巧妙.為了開闊同學(xué)們的視野，下面再介紹一種利用全等三角形和面積的證明方法.
如圖2，以RtABC的兩直角邊AC，BC向外作正方形ACGF和正方形BCLK，以RtABC的斜邊向外作正方形ABED，過(guò)點(diǎn)C作CIDE，垂足為I，CI交AB于點(diǎn)H，則四邊形ADIH和HIEB都是矩形.
由AF=AC，AB=AD，∠FAC+∠CAB=∠DAB+∠CAB，即∠FAB=∠CAD，得FAB≌CAD，所以SFAB=SCAD.
而S正方形ACGF=2SFAB，S矩形ADIH=2SCAD，
所以S正方形ACGF=S矩形ADIH.
同理S正方形BCLK=S矩形HIEB.
所以S正方形ACGF+S正方形BCLK=S矩形ADIH+S矩形HIEB，
即S正方形ACGF+S正方形BCLK=S正方形ABED.
所以直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
探究勾股定理的拓展
由探究勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，我們不難得出：
拓展1以直角三角形的兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.
反思2如果分別以直角三角形的各邊為斜邊作等腰直角三角形，那么以兩直角邊為斜邊的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積嗎？
探究設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，
那么
以a為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12a?12a=14a2，
以b為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12b?12b=14b2，
以c為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12c?12c=14c2，
因?yàn)閍2+b2=c2，所以14a2+14b2=14c2.
于是我們得出：
拓展2分別以直角三角形的各邊為斜邊作等腰直角三角形，那么以兩直角邊為斜邊的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積.
說(shuō)明如果能夠注意到等腰直角三角形正好是以它的斜邊為一邊的正方形的四分之一，運(yùn)用拓展1的結(jié)論很容易得到拓展2.
下面請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用拓展2的結(jié)論解決：
問(wèn)題1已知：以RtABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形.若斜邊AB=3，則三個(gè)等腰直角三角形的面積和為.
提示：如果對(duì)等腰直角三角形的面積公式(用等腰直角三角形的斜邊表示)不熟悉，可先將每個(gè)等腰直角三角形補(bǔ)成正方形，這樣所求的面積就等于兩個(gè)等腰RtABE的面積，而兩個(gè)等腰RtABE的面積正好等于以AB為一邊的正方形的面積的一半，從而所求部分的面積=12×32=4.5.
反思3如果分別以直角三角形的各邊為邊向外作等邊三角形，那么以兩直角邊為邊的等邊三角形的面積和等于以斜邊為邊的等邊三角形的面積嗎？
勾股定理及逆定理是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要互逆定理，它的應(yīng)用極為廣泛，我們?cè)诮忸}時(shí)若能正確的運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法，將會(huì)使你的解題思路更為開闊。希望同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意領(lǐng)悟和掌握蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想。
1、數(shù)形結(jié)合的思想。
數(shù)形結(jié)合是一支雙刃劍，利用“數(shù)形結(jié)合”可使所要研究的問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。N M
例1 右圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是
A.13 B.26 C.47 D.94
解析：由勾股定理可知所以故應(yīng)選C.
2、方程思想。
方程是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為方程來(lái)求解，勾股定理的靈活運(yùn)用為用方程解決某些圖形中線段的長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題構(gòu)筑了一個(gè)極好的平臺(tái)。
例2在一棵樹的10 m高處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹走到離樹20 m的池塘A處，另一只爬到樹頂后直接躍向池塘的A處，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程相等，試問(wèn)這棵樹有多高？
解析：如圖所示，一只猴子經(jīng)過(guò)的路徑BCA，共走了10+20=30（m），另一只猴子經(jīng)過(guò)的路徑是BDA，也走了30 m，且樹垂直于地面，于是此問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用勾股定理解決.
3、轉(zhuǎn)化思想。
轉(zhuǎn)化是求解問(wèn)題的一種辦法，往往會(huì)收到“山叢水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村?！钡男Ч?
例3有一根13dm長(zhǎng)的木棒，要放在長(zhǎng)、寬、高分別是4dm，3dm，12dm的木箱中，能放進(jìn)去嗎？
解析：木箱即為長(zhǎng)方體，因此若能求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，再與13dm長(zhǎng)的木棒比較即得答案. 由勾股定理，得這個(gè)木箱對(duì)角線長(zhǎng)的平方=32+42+122=169=132，而木棒長(zhǎng)的平方為132，即木箱對(duì)角線長(zhǎng)的平方=木棒長(zhǎng)的平方，所以13dm長(zhǎng)的木棒剛好能放在長(zhǎng)、寬、高分別是4dm，3dm，12dm的木箱中。
說(shuō)明 本題的求解過(guò)程中，利用勾股定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較兩條線段的大小.另外，在運(yùn)用勾股定理求解問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到不是直角三角形，這時(shí)，我們必須通過(guò)作高線的方法，將此轉(zhuǎn)化成直角三角形，這樣就便于解決問(wèn)題.
4、分類討論思想。
“分類討論”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，同時(shí)又是一種重要的解題策略，它能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，使所學(xué)知識(shí)條理化。
例4 己知直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為6和8，試求以第三邊的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積.
解析： 由于本題的已知條件中并沒(méi)有明確6和8是否是直角邊，所以不能想當(dāng)然地就斷定6和8是直角邊，而要進(jìn)行分情況討論來(lái)解決問(wèn)題，下面分兩種情況：
（1）當(dāng)6和8都是直角邊時(shí)，那么第三邊的平方為62+82=100，所以以第三邊的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積100.
（2）當(dāng)8是斜邊時(shí)，第三邊的平方為82-62=28，所以以第三邊的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積28.
5、數(shù)學(xué)建模思想。
數(shù)學(xué)建模思想方法不僅是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種經(jīng)典方法，又是處理各種實(shí)際問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法，它滲透到現(xiàn)實(shí)世界的各個(gè)領(lǐng)域，廣泛應(yīng)用于工程施工、投資經(jīng)營(yíng)、航海運(yùn)輸和規(guī)劃設(shè)計(jì)等實(shí)際問(wèn)題的解決。
例5 在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時(shí)8海里速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某方向以每小時(shí)15海里速度前進(jìn)，2小時(shí)后甲船到M島，乙船到P島相距34海里，你能知道乙船沿哪個(gè)方向航行嗎？
B北東 MP 60°
解析：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，可以看出，由于甲船的航向已知，如果能求出兩漁船的航向所成的夾角，那么就可以知道乙船的航向了.
解：在圖中，BM=8×2=16，BP=15×2=30，MP=34.
因?yàn)?62+302=342，即BM2+BP2=MP2，所以∠MBP=90°.
又由甲船沿北偏東60°方向航行可知，∠PBC=30°，即乙船沿南偏東30°方向航行。
摘 要：勾股定理是中國(guó)幾何的根源。中華數(shù)學(xué)的精髓，諸如開方術(shù)、方程術(shù)等技藝的誕生與發(fā)展，尋根探源，都與勾股定理有著密切關(guān)系。通過(guò)“勾股定理”的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就以及它在生活中的重要運(yùn)用，從而激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。
關(guān)鍵詞： 勾股定理 教學(xué)方法 實(shí)際運(yùn)用
中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作――《周髀算經(jīng)》的第一章，就有這條定理的相關(guān)內(nèi)容：周公問(wèn)：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問(wèn)古者包犧立周天歷度。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？”商高答：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤。得成三、四、五，兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也?！本褪钦f(shuō)，矩形以其對(duì)角相折所稱的直角三角形，如果勾（短直角邊）為3，股（長(zhǎng)直角邊）為4，那么弦（斜邊）必定是5。從上面所引的這段對(duì)話中，我們可以清楚地看到，我國(guó)古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要的數(shù)學(xué)原理了。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。在教學(xué)中反思如下：
一、通過(guò)教學(xué)“勾股定理”的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣
在教學(xué)中我是這樣引入新課的：教師用多媒體課件演示FLASH小動(dòng)畫片：“某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來(lái)救火，了解到每層樓高3米，消防隊(duì)員取來(lái)6.5米長(zhǎng)的云梯，如果梯子的底部離墻基的距離是2.5米，請(qǐng)問(wèn)消防隊(duì)員能否進(jìn)入三樓滅火？”這樣的問(wèn)題設(shè)計(jì)有了一定的挑戰(zhàn)性，其目的是為了激發(fā)學(xué)生的探究欲望，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，也就是“已知一直角三角形的兩邊，求第三邊？”的問(wèn)題。學(xué)生會(huì)感到一些困難，從而老師指出學(xué)習(xí)了這節(jié)課的內(nèi)容后，同學(xué)們就會(huì)有辦法解決了。這種以實(shí)際問(wèn)題作為切入點(diǎn)導(dǎo)入新課，不僅自然，而且也反映了“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”，把生活與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)緊密結(jié)合起來(lái)，從而提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
新課標(biāo)要求老師一定要改變角色，變主角為配角，把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生提出問(wèn)題，動(dòng)手操作，小組討論，合作交流，把學(xué)生想到的，想說(shuō)的想法和認(rèn)識(shí)都讓他們盡情地表達(dá)，然后教師再進(jìn)行點(diǎn)評(píng)與引導(dǎo)，這樣做會(huì)有許多意外的收獲，而且能充分發(fā)揮挖掘每個(gè)學(xué)生的潛能，久而久之，學(xué)生的綜合能力就會(huì)與日劇增。
二、教學(xué)過(guò)程中，轉(zhuǎn)變師生角色，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)
學(xué)生學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)知識(shí)，卻不會(huì)解決與之有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，造成了知識(shí)學(xué)習(xí)和知識(shí)應(yīng)用的脫節(jié)，感受不到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，這是當(dāng)今課堂教學(xué)存在的普遍問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生實(shí)踐能力的培養(yǎng)非常不利的?！敖處熃?，學(xué)生聽，教師問(wèn)，學(xué)生答，教室出題，學(xué)生做”的傳統(tǒng)教學(xué)摸模式，已嚴(yán)重阻阻礙了現(xiàn)代教育的發(fā)展。這種教育模式，不但無(wú)法培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，而且會(huì)造成機(jī)械的學(xué)習(xí)知識(shí)，形成懶惰、空洞的學(xué)習(xí)態(tài)度，形成數(shù)學(xué)的呆子，就像有的大學(xué)畢業(yè)生都不知道1平方米到底有多大？因此，新課標(biāo)要求老師一定要改變角色，變主角為配角，把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生提出問(wèn)題，動(dòng)手操作，小組討論，合作交流，把學(xué)生想到的，想說(shuō)的想法和認(rèn)識(shí)都讓他們盡情地表達(dá)，然后教師再進(jìn)行點(diǎn)評(píng)與引導(dǎo)，這樣做會(huì)有許多意外的收獲，而且能充分發(fā)揮挖掘每個(gè)學(xué)生的潛能，久而久之，學(xué)生的綜合能力就會(huì)與日劇增。
三、學(xué)習(xí)“勾股定理”，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想
教學(xué)中教師關(guān)注學(xué)生是否積極參加探索勾股定理的活動(dòng)，關(guān)注學(xué)生能否在活動(dòng)中積思考，能夠探索出解決問(wèn)題的方法，能否進(jìn)行積極的聯(lián)想（數(shù)形結(jié)合）以及學(xué)生能否有條理的表達(dá)活動(dòng)過(guò)程和所獲得的結(jié)論等； 同時(shí)關(guān)注學(xué)生的拼圖過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合自己所拼得的正方形驗(yàn)證勾股定理. 注意引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。勾股定理描述的是直角三角形的三邊關(guān)系，應(yīng)用勾股定理的前提是這個(gè)三角形必須是直角三角形。應(yīng)強(qiáng)調(diào)通過(guò)圖形找出直角三角形三邊之間的關(guān)系，要從代數(shù)表示聯(lián)想到有關(guān)的幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)的代數(shù)表示。
四、學(xué)與用結(jié)合，體會(huì)到“勾股定理”在生活中的實(shí)際運(yùn)用
作為學(xué)生，除了考試，勾股定理很少用到.，但是工程技術(shù)人員用的比較多，比如修建房屋、修井、造車等等，就可以用勾股定理來(lái)計(jì)算，設(shè)計(jì)工程圖紙也要用到勾股定理，也經(jīng)常用到“勾股定理”。在教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”，把生活與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)緊密結(jié)合起來(lái)的思想。例如：
總之，勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來(lái)，理論上占有重要的地位它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過(guò)重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和應(yīng)用蘊(yùn)含著豐富的文化價(jià)值。是幾何中重要定理，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。
一、分類討論思想
例1 已知直角三角形的兩邊的邊長(zhǎng)分別為3和5，求該三角形的第三邊的邊長(zhǎng)。
分析 已知直角三角形的兩邊，未指明是直角邊還是斜邊，因此邊5可能是直角邊，也有可能是斜邊，所以要進(jìn)行分類討論求解。
解 根據(jù)三角形的邊角大小關(guān)系可知，3一定是直角邊，而5可能是直角邊，也可能是斜邊，故可分類求解。
（1）當(dāng)邊5為直角邊時(shí)，三角形的第三邊為斜邊，長(zhǎng)度為==。
（2）當(dāng)邊5為斜邊時(shí)，三角形的第三邊為直角邊，長(zhǎng)度為===4。
所以這個(gè)三角形的第三邊的邊長(zhǎng)為或4。
點(diǎn)評(píng) 直角三角形的第三邊分為兩類：直角邊和斜邊。當(dāng)已知兩邊求第三邊時(shí)，要分析其邊是直角邊還是斜邊，若題目未指明，則要進(jìn)行分類討論求解。
二、方程思想
例2 如圖1所示，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8 cm，BC=10 cm，求EF的長(zhǎng)。
分析 折疊就是軸對(duì)稱，因?yàn)锳DE與AFE關(guān)于AE對(duì)稱，知AD=AF=10 cm，DE=EF。在RtABF中，根據(jù)勾股定理得BF=6 cm，所求EF在
RtECF和在RtAEF中，但都只知道一邊，不能求解。而在RtECF中，F(xiàn)C=4 cm，EF+EC=8 cm，利用勾股定理建立方程即可求得EF。
解 因?yàn)锳DE與AFE關(guān)于AE對(duì)稱，所以AD=AF，DE=EF。
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，在RtABF中， AF=AD=BC=10 cm，AB=8 cm，
所以BF===6 cm。
所以FC=BC-BF=10-6=4 cm。
設(shè)EC=x cm，則EF=DE=（8-x）cm。
在RtECF中，EC 2+FC 2=EF 2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3。
則EF的長(zhǎng)為5 cm。
點(diǎn)評(píng) 勾股定理只能用于已知直角三角形的兩邊求第三邊。當(dāng)在直角三角形中，只知一邊，又知另兩邊的相應(yīng)關(guān)系時(shí)，可用勾股定理建立方程（組），通過(guò)解方程（組），即可求得該三角形的邊長(zhǎng)。
三、化歸思想
例3 如圖2，已知：在ABC中，∠B=60°，AC=70，AB=30。求BC的長(zhǎng)。
分析 題中的三角形未確定是直角三角形，不能用勾股定理，由條件∠B=60°，想到構(gòu)造含30°角的直角三角形，為此作ADBC于D（如圖3所示），則有∠BAD=30°，BD=AB=15，再由勾股定理計(jì)算出AD、DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)。
解 作ADBC于D，因?yàn)椤螧=60°，所以∠BAD=90°-60°=30°，所以BD=AB=15。
根據(jù)勾股定理，在RtABD中，AD===15。
根據(jù)勾股定理，在RtACD中，CD===65。
所以BC=BD+DC=65+15=80。
點(diǎn)評(píng) 利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)，是勾股定理的一個(gè)重要應(yīng)用。當(dāng)題目中沒(méi)有垂直條件時(shí)，經(jīng)常作垂線構(gòu)造直角三角形以便應(yīng)用勾股定理。
四、轉(zhuǎn)化思想
例4 如圖4所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DEDF，若BE=12，CF=5。求線段EF的長(zhǎng)。
分析 已知BE、CF，要求EF，但這3條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征以及三角形中線的特殊性質(zhì)，不妨先連接AD。
解 連接AD。
因?yàn)椤螧AC=90°，AB=AC。又因?yàn)锳D為ABC的中線，
所以AD=DC=DB，ADBC，且∠BAD=∠C=45°。
因?yàn)椤螮DA+∠ADF=90°。又因?yàn)椤螩DF+∠ADF=90°。
所以∠EDA=∠CDF。所以AED≌CFD（ASA）。
所以AE=FC=5。同理，AF=BE=12。
在RtAEF中，根據(jù)勾股定理得，
EF2=AE2+AF 2=52+122=132，所以EF=13。
點(diǎn)評(píng) 此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)。通過(guò)對(duì)本題的解答，我們可以知道：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時(shí)，應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解。
數(shù)學(xué)思想方法是以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法.它能使人領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的真諦，并對(duì)人們學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的思維活動(dòng)起著指導(dǎo)和調(diào)控的作用.日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏認(rèn)為，學(xué)生在進(jìn)入社會(huì)以后，如果沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)，那么作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在出校門后不到一兩年就會(huì)忘掉，然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻在人腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，會(huì)長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用.靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題，往往可以化難為易、化腐朽為神奇，事半功倍.下面以勾股定理中滲透的數(shù)學(xué)思想為例說(shuō)明.
一、分類思想
例1.（2013年貴州黔西南州）一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為（ ）
點(diǎn)評(píng)：本題的易錯(cuò)點(diǎn)是受“勾三股四弦五”的影響，直接把邊長(zhǎng)為4的邊當(dāng)作直角邊，從而誤選A，犯了考慮問(wèn)題不全面的錯(cuò)誤.
二、方程思想
例2.（2013年山東濟(jì)南）如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）為（）
A.12mB.13mC.16mD.17m
分析：觀察圖形，當(dāng)繩子末端拉到距離旗桿8m處，可過(guò)繩子末端向旗桿作垂線，這樣可以得到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)旗桿的高度為未知數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用勾股定理列方程求解.
解：如圖2，設(shè)旗桿的高度為x，則AC=AD=x，AB=x-2，BC=8.
在RtABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2.
解得x=17m，即旗桿的高度為17m，答案選D.
三、整體思想
例3.（2013年江蘇揚(yáng)州）矩形的兩鄰邊長(zhǎng)的差為2，對(duì)角線長(zhǎng)為4，則矩形的面積為____________.
分析：設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為a、b（a>b），則依據(jù)題意有a-b=2，a2+b2=16.而矩形的面積等于ab，關(guān)鍵要設(shè)法將兩個(gè)等式轉(zhuǎn)化為含有ab的式子.
解：設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為a、b （a>b），則a-b=2.
五、數(shù)形結(jié)合思想
例5.（2013年湖南張家界）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（10，0）、（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng).當(dāng)ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.
分析：易知OD=5，要使ODP為腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，可以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓；也可以點(diǎn)D為圓心，OD為半徑作圓.
解：由C（10，0）可知OD=5.
（1）以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓交邊
六、構(gòu)造思想例6.同例3
分析：根據(jù)已知條件，聯(lián)想到證明勾股定理的弦圖，本例便有如下巧妙解法.
【摘要】 在數(shù)學(xué)課堂發(fā)現(xiàn)學(xué)生的興趣點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，利用多樣的手段去促進(jìn)學(xué)生提高學(xué)習(xí)成績(jī)，是老師的主要任務(wù). 因此，我們必須把握自主、探究、合作的學(xué)習(xí)模式. 本文以三角形勾股定理的證明為例，簡(jiǎn)要地談?wù)剮椭鷮W(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)的幾點(diǎn)看法.
【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué)；三角形；勾股定理
《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出，“在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)必須面向全體學(xué)生，必須注重基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性”.學(xué)生邏輯思維能力和抽象思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，因此調(diào)動(dòng)各方面的課程資源，才能最大限度地發(fā)掘?qū)W生的學(xué)習(xí)能力.
一、歐幾里得的證明方法
如圖1，這是早在兩千多年前的數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中提出的關(guān)于勾股定理的證明，通過(guò)邊長(zhǎng)為a，b，c的三個(gè)正方形搭建一個(gè)直角三角形，并作輔助線CD，CL，F(xiàn)B，其中CL垂直于DE并與AB交于M點(diǎn)，還需要確保HB垂直于FH.
因?yàn)锳F = AC，AB = AD，∠FAB = ∠CAD，所以 FAB ≌ CAD，因?yàn)镕AB的面積等于 a2，CAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，所以 矩形ADLM的面積為a2. 同理可證，矩形MLEB的面積為b2.
因?yàn)檎叫蜛DEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積，所以可以得出結(jié)論：c2 = a2 + b2，即a2 + b2 = c2.
這一證明方法，給學(xué)生提供了通過(guò)圖形的面積去分析邊長(zhǎng)關(guān)系的重要方法. 首先，就是在于∠BCA必須是直角，這樣才能維持點(diǎn)H，B，C在同一條直線上，從而建立一個(gè)直角三角形ABC；其次，必須給學(xué)生指出給交點(diǎn)命名一個(gè)字母符號(hào)，才不會(huì)遺忘一些關(guān)鍵信息；最后，確定直角三角形ABC三邊之間的關(guān)系.
數(shù)學(xué)的教學(xué)不僅需要圍繞“知識(shí)與能力”展開，更重要的是需要讓學(xué)生產(chǎn)生“情感態(tài)度和價(jià)值觀”上的共鳴. 歐幾里得在《幾何原本》中，以這個(gè)定理為中心，開啟了自己的數(shù)學(xué)框架體系，也為后人在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的提供了寶貴的財(cái)富. 這些情感也需要教師在談及圖形引導(dǎo)時(shí)進(jìn)行潛移默化的教育.
二、美國(guó)總統(tǒng)的證明方法
時(shí)間倒回到1876年，當(dāng)時(shí)正值黃昏，在公園里，有兩個(gè)孩子嘈雜的吵鬧聲驚動(dòng)了周圍許多人，其中也包括未來(lái)的美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德. 兩個(gè)孩子正在為直角三角形的邊長(zhǎng)討論著，這激發(fā)了他仔細(xì)研究“勾股定理”的興趣. 不久之后，他公開發(fā)表了自己的證明方法. 加菲爾德身為總統(tǒng)卻為孩子的數(shù)學(xué)問(wèn)題苦思冥想，這對(duì)于總是抱怨成績(jī)不好卻不愿意努力學(xué)習(xí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，應(yīng)該說(shuō)是非常好的教育案例.
如圖2，圖形ABCD是一個(gè)直角梯形，以∠DAE為直角的三角形和以∠CBE為直角的三角形是全等三角形，兩個(gè)三角形的三條邊a，b，c完全相等，圖形的基本關(guān)系確定之后，下面便可以開始證明.
第一步，尋找等式關(guān)系，根據(jù)已知條件，DAE和CBE是全等三角形，所以它們對(duì)應(yīng)的每一條邊和每一條角都相等，∠AEB為平角180°，加上∠DAE和∠EBC都為直角，證明∠DEC為直角便不是什么難事了. 緊接著依據(jù)邊EC和DE為長(zhǎng)度相等的邊，判定DEC為等腰直角三角形也就順理成章了. 證明如下：因?yàn)镽tEAD ≌ RtCBE， 所以∠ADE = ∠BEC. 同時(shí)∠AED + ∠ADE = 90°，所以 ∠AED + ∠BEC = 90°，還能得出∠DEC = 180° - 90° = 90°，最終可以確定DEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于 c2.
第二步，建立破題的等式關(guān)系，根據(jù)邊長(zhǎng)的關(guān)系算出DEC的面積的根本目的還是在于建立另外一個(gè)等式關(guān)系， 那就是直角梯形ABCD的面積等于三個(gè)直角三角形面積之和，即直角梯形ABCD的面積 = DAE的面積 + EBC的面積 + DEC的面積. 因?yàn)椤螪AE = 90°， ∠EBC = 90°，所以AD∥BC，并可以證明ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于 （a + b）2，即 （a + b）2 = 2 × ab + c2 . 最終可以得出結(jié)論a2 + b2 = c2.
通過(guò)這兩個(gè)等式，我們便很容易地證明出了“勾股定理”，這個(gè)方法十分簡(jiǎn)便地描述出了三角形各個(gè)邊長(zhǎng)的關(guān)系，還確定了各個(gè)面積之間的關(guān)系.
三、課堂通常的證明方法
雖然說(shuō)相對(duì)于歐幾里得在《幾何原本》當(dāng)中記錄的方法，總統(tǒng)證明法已經(jīng)要簡(jiǎn)單許多，但是從初中生的知識(shí)基礎(chǔ)而言，課堂通常使用的方法要更加簡(jiǎn)便易懂. 這是為學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)準(zhǔn)備的，也是為學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的同學(xué)打好基礎(chǔ)的重要手段.
如圖3，將四個(gè)全等三角形進(jìn)行組合，拼湊出一個(gè)邊長(zhǎng)為a + b的正方形，這樣便形成了一個(gè)明顯的面積相等的等式，再根據(jù)邊角關(guān)系可以確定中間的圖形為邊長(zhǎng)為c的正方形
四、小 結(jié)
初中數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程，教師應(yīng)該盡可能多地為學(xué)生提供學(xué)習(xí)資源和平臺(tái). 從“勾股定理”的證明來(lái)看，教師提供多種證明的方法和思路，對(duì)于開拓學(xué)生的圖形思維能力有很大的幫助. 結(jié)合知名數(shù)學(xué)人物在學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的積極與進(jìn)取的精神進(jìn)行教學(xué)，對(duì)于激勵(lì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)情感態(tài)度的升華有重要作用.
摘要：創(chuàng)造性地使用教材主要表現(xiàn)在對(duì)教材的靈活運(yùn)用和對(duì)課程資源的綜合、合理、有效利用。它需要教師具有較強(qiáng)的課程意識(shí)，準(zhǔn)確把握教材編寫意圖和教學(xué)目的，避免形式化、極端化傾向。在創(chuàng)造性地使用教材的過(guò)程中教師的專業(yè)化水平將得到飛速提高。
關(guān)鍵詞：教師；教材使用；創(chuàng)造性；勾股定理
本次課程改革無(wú)論是在課程設(shè)置上還是在課程內(nèi)容及教材編排方式的更新上都給教師提供了廣闊的創(chuàng)造空間。它帶來(lái)教學(xué)觀念、方式的一大改變，就是要求打破原有的教學(xué)觀、教材觀，創(chuàng)造性地使用數(shù)學(xué)教材。這就要求教師在充分了解和把握課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科特點(diǎn)、教學(xué)目標(biāo)、教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，以教材為載體，靈活有效地組織教學(xué)，拓展課堂教學(xué)空間。創(chuàng)造性地使用教材是教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方式綜合優(yōu)化的過(guò)程；是課程標(biāo)準(zhǔn)、教材內(nèi)容與學(xué)生生活實(shí)際相聯(lián)系的結(jié)晶；是教師智慧與學(xué)生創(chuàng)造力的有效融合。
一、創(chuàng)造性的使用教材的內(nèi)涵
創(chuàng)造性地使用教材主要表現(xiàn)在對(duì)教材的靈活運(yùn)用和對(duì)課程資源的綜合、合理、有效利用。它需要教師具有較強(qiáng)的課程意識(shí)，準(zhǔn)確把握教材編寫意圖和教學(xué)目的，避免形式化、極端化傾向。在創(chuàng)造性地使用教材的過(guò)程中教師的專業(yè)化水平將得到飛速提高。
那究竟如何來(lái)創(chuàng)造性地使用教材呢？筆者擬通過(guò)人教版八年級(jí)下冊(cè)《勾股定理》一課來(lái)具體闡述。在人教版的教學(xué)建議中，明確指出：《勾股定理》一課的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生了解勾股定理的歷史背景，體會(huì)勾股定理的探索過(guò)程，掌握直角三角形的三邊關(guān)系。為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，不同的教師創(chuàng)設(shè)任務(wù)的方式也有所不同。
二、課堂再現(xiàn)
課例1
1.提出問(wèn)題。T：相傳兩千五百多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯去朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情地歡樂(lè)。只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚發(fā)呆，原來(lái)朋友家的地面是用直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間美觀大方。主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪就過(guò)去詢問(wèn)，誰(shuí)知畢達(dá)哥拉斯突然站起來(lái)，大笑著跑回家了，他發(fā)現(xiàn)了直角三角形的某一些性質(zhì)。同學(xué)們，你知道畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了什么性質(zhì)？你能發(fā)現(xiàn)什么？S1：我發(fā)現(xiàn)圖中有直角三角形，而且是等腰直角三角形。S2：我發(fā)現(xiàn)以直角邊為邊做出的正方形的兩個(gè)面積之和等于斜邊為邊做出的正方形面積。T：我們發(fā)現(xiàn)A+B=C，由于這個(gè)三角形為特殊的直角等腰三角形。我們?cè)賮?lái)看幾個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形，它們的面積是否依然存在這樣關(guān)系？
2.解決問(wèn)題。T：接下來(lái)我們一起來(lái)做個(gè)實(shí)驗(yàn)，大家看下圖。A、B、C面積之間有什么關(guān)系？邊長(zhǎng)a、b、c之間存在什么樣的關(guān)系？
老師發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)不會(huì)算C的面積，于是請(qǐng)會(huì)算的同學(xué)說(shuō)說(shuō)計(jì)算思路。
S：我用的方法是補(bǔ)的，就是把這樣以c為邊的斜的正方形補(bǔ)成一個(gè)正放的大正方形。
先算出大正方形的面積，減去4塊直角三角形的面積就得出C的面積了。
T：非常好，有沒(méi)有不同的方法？
S：我用的是分割的方法。我把這個(gè)大的正方形割成4個(gè)直角三角形和1個(gè)小的正方形。我們可用三角形的面積加上中間小正方形就是大的正方形的面積。
T：非常好。接下來(lái)，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)想一下，直角三角形三邊可能存在哪些數(shù)量關(guān)系？
S：a2+b2=c2
3.揭示本質(zhì)。T：我們剛才進(jìn)一步驗(yàn)證我們的猜想a2+b2=c2是成立的。那對(duì)于一般的直角三角形，兩直角邊為a、b斜邊為c，是否都有a2+b2=c2？不要忘記，剛才我們?cè)谇蟠笳叫蔚拿娣e是如何求的？它給我們什么啟示？其實(shí)歷史對(duì)證明勾股定理有許多種，而我們中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的證明思想是“以盈補(bǔ)虛，出入相補(bǔ)”。
T：2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)放在北京舉行，大會(huì)的會(huì)徽正是三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽關(guān)于勾股定理證明的草圖。同學(xué)們，請(qǐng)拿出紙筆證明一下。
S：我用大的正方形的面積等于四個(gè)直角三角形加上小正方形的面積。
T：運(yùn)用面積不變，用割補(bǔ)的方法我們可以得到a2+b2=c2。
4.描述定義。T：下面我們給出勾股定理的表述。
命題：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
數(shù)學(xué)語(yǔ)言：ABC為直角三角形，∠C=90°AC2+BC2=AB2
5.教學(xué)總結(jié)。T：同學(xué)們，今天這節(jié)課我們學(xué)了勾股定理，那你學(xué)到了什么？S：用割補(bǔ)法進(jìn)行勾股定理的證明。T：對(duì)，我們講了中國(guó)古代以盈補(bǔ)虛的數(shù)學(xué)思想，那這種以面積來(lái)證明勾股定理的方法同時(shí)也體現(xiàn)了我們的數(shù)學(xué)上的數(shù)形結(jié)合的思想。這節(jié)課你還學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法？S：從特殊到一般。T：我們從特殊的等腰直角三角形入手再探究有整數(shù)邊的直角三角形，最后到一般直角三角形的證明。
分析：張老師本節(jié)課的重點(diǎn)放在定理的證明上，讓學(xué)生充分體驗(yàn)邏輯推理的魅力。讓學(xué)生自主探索、小組合作交流，直觀理解勾股定理規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，重視學(xué)生獨(dú)立思考和探索能力的培養(yǎng)，在與同學(xué)交流學(xué)習(xí)中，通過(guò)取長(zhǎng)補(bǔ)短，吸收同學(xué)意見，修正、完善自己的想法，探討出利用割補(bǔ)法求面積的方法，就本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容而言，掌握方法（割補(bǔ)法）和滲透學(xué)科思想（轉(zhuǎn)化的思想）與知道結(jié)果同樣重要。
課例2
1.引入課題（第一次活動(dòng)）。T：請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳袭嬅娣e最小的格點(diǎn)RtABC，教師用實(shí)物投影展示一位學(xué)生作品即如圖ABC，并隨即提問(wèn)：RtABC中，BC=1，AC=1，你能否用計(jì)算面積法求AB的長(zhǎng)？
S：可以把四個(gè)三角形拼成一個(gè)大正方形，得到正方形的面積為2，那正方形的邊長(zhǎng)也就是AB的長(zhǎng)為■。
T：對(duì)于一個(gè)特殊的Rt確實(shí)有a2+b2=c2，但對(duì)于一般直角三角形能成立嗎？
2.深入探究（第二次活動(dòng)）。T：請(qǐng)各組利用手中的四個(gè)全等Rt紙板，拼出一個(gè)邊長(zhǎng)為C的正方形。（設(shè)定兩直角邊、斜邊分別是a，b，c）學(xué)生合作后擺出了如下的兩種圖案：
T：對(duì)于擺法1，大正方形面積可有幾種表示法？S：兩種，一種是c2，另一種為4個(gè)直角三角形和與一個(gè)小正方形的面積。
T：小正方形邊長(zhǎng)為多少？S：b-a，把兩種表示法等同起來(lái)（b-a）2+2ab=c2，化簡(jiǎn)整理得a2+b2=c2。
S：對(duì)于擺法2，也可得出a2+b2=c2。
3.強(qiáng)調(diào)定義。如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
4.總結(jié)拓展。T：關(guān)于勾股定理的證明方法有五百余種，在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。下面我們來(lái)看幾組勾股定理證明的簡(jiǎn)單介紹（介紹劉徽?qǐng)D、加菲爾德圖），希望同學(xué)們課下也去思考一種證明勾股定理的方法。
分析：課例2中的兩次活動(dòng)都運(yùn)用了動(dòng)手操作的形式，非常符合中學(xué)生好奇性強(qiáng)的心理特點(diǎn)，幾乎所有的學(xué)生都興趣盎然地參與了整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，并在教師的提問(wèn)下進(jìn)行積極的思考與探索。新課程下的學(xué)生不希望老師經(jīng)常給他們一些輕而易舉就能解決的問(wèn)題，有時(shí)他們渴望做一個(gè)探索者、研究者、論證家。而上面的兩個(gè)活動(dòng)正是為學(xué)生提供了這樣的氛圍與平臺(tái)，使學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中體會(huì)了從特殊到一般的論證思想，整個(gè)設(shè)計(jì)提倡多樣化問(wèn)題解決的思維方式，在活動(dòng)中完成了思維的不斷發(fā)展。最后老師展示了一些較為典型的證明方法激發(fā)學(xué)生思考，也為學(xué)生課下學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。
三、創(chuàng)造性地使用教材
上述兩位老師都在課堂中創(chuàng)造性地使用教材，那創(chuàng)造性地使用教材究竟有哪些可取之處呢？筆者認(rèn)為有三點(diǎn)：首先，它要求教師要進(jìn)一步樹立課程意識(shí)，以新的課程觀（學(xué)生觀、教材觀、課程資源觀）來(lái)重新審視、規(guī)劃教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容和方法——以更高、更寬的眼光來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)、看待孩子，而不僅僅局限在教材和一時(shí)的教學(xué)效果。其次，教師在創(chuàng)造性使用教材中應(yīng)充分認(rèn)識(shí)明確教學(xué)目的的重要性。每節(jié)課、每次活動(dòng)都應(yīng)有明確的教學(xué)目的，而不是為了創(chuàng)造性地使用教材而輕率、刻意地去更改教材內(nèi)容等等。教學(xué)手段與教學(xué)目的和諧一致的原則是創(chuàng)造性教材使用的基本著眼點(diǎn)與歸宿。最后，希望教師們?cè)趧?chuàng)造性地使用教材的過(guò)程中獲得專業(yè)成長(zhǎng)。一是廣泛吸收各種教材的精華與長(zhǎng)處，進(jìn)行合理整合，逐步形成自己的東西；二是結(jié)合個(gè)人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、研究成果和本地實(shí)際，嘗試編制富有時(shí)代氣息和地方特色的校本教材，從而進(jìn)一步豐富和完善現(xiàn)行的教材體系。當(dāng)教師在自己的教學(xué)活動(dòng)中有了明顯的課程意識(shí)和研究、探索意識(shí)，教師就不再是普通的“教書匠”，而是已經(jīng)步入到學(xué)者型、專家型的實(shí)踐研究者行列，其專業(yè)化教學(xué)水平必然得到全面發(fā)展與提高。
【摘 要】勾股定理是數(shù)學(xué)歷史上最為古老的定理，也是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的定理，其相關(guān)歷史在《數(shù)學(xué)》書中以引入、例題、作業(yè)題、閱讀材料等多種形式體現(xiàn)，為數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)奠定了基礎(chǔ)，使教學(xué)方式和處理方法更加靈活多樣.鑒于此，本文以“勾股定理”的教學(xué)為例，結(jié)合自己教學(xué)實(shí)踐和學(xué)習(xí)思考，闡述數(shù)學(xué)教學(xué)中勾股定理歷史的融入.
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史；勾股定理歷史；融入；教學(xué)策略
1.勾股定理歷史融入教學(xué)的意義
1.1 有利于激發(fā)興趣，培養(yǎng)探索精神
勾股定理的證明是一個(gè)難點(diǎn).在數(shù)學(xué)教學(xué)中適時(shí)引入數(shù)學(xué)史中引人入勝和富有啟發(fā)意義的歷史話題或趣聞?shì)W事，消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼感，可使學(xué)生明白數(shù)學(xué)并不是一門枯燥無(wú)味的學(xué)科，而是一門不斷發(fā)展的生動(dòng)有趣的學(xué)科，從而激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
1.2 有利于培養(yǎng)人文精神，加強(qiáng)歷史熏陶
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育.浙教版新教材對(duì)我國(guó)勾股定理數(shù)學(xué)史提得很少，其實(shí)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)于勾股定理發(fā)現(xiàn)和證明在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)形結(jié)合思想更具有重大意義。
2.勾股定理歷史融入教學(xué)的策略
在勾股定理教學(xué)的過(guò)程中，要求我們?cè)诮虒W(xué)活動(dòng)中，注意結(jié)合教學(xué)實(shí)際和學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，依據(jù)一定的目的，對(duì)勾股定理歷史資源進(jìn)行有效的選擇、組合、改造與創(chuàng)造性的加工，使學(xué)生容易接受、樂(lè)于接受，并能從中得到啟發(fā).在實(shí)踐過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)以下幾種途徑與方法是頗為適宜的.
2.1在情景創(chuàng)設(shè)中融入勾股定理歷史
建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)情景創(chuàng)設(shè)要盡可能的真實(shí)，數(shù)學(xué)史總歸是真實(shí)的.情景創(chuàng)設(shè)可以充分考慮數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景和發(fā)展歷史，以數(shù)學(xué)史作為素材創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，不僅有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，也是對(duì)學(xué)生的一種文化熏陶.
案例1：
師：同學(xué)們知道勾股定理嗎？
生：勾股定理？地球人都知道?。ū娦Γ?
師：要我說(shuō)，如果有外星人，也許外星人也知道.大家知道世界上許多科學(xué)家都在探尋其他星球上的生命，為此向宇宙發(fā)射了許多信號(hào)：如語(yǔ)言、聲音、各種圖形等.我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)建議向宇宙發(fā)射勾股定理的圖形，并說(shuō)：如果宇宙人是文明人，他們一定會(huì)認(rèn)識(shí)這種“語(yǔ)言”的.（投影顯示勾股圖）
可以說(shuō)，禹是世界上有文字記載的第一位與勾股定理有關(guān)的人.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載有商高這樣的話：……我們做成一個(gè)直角三角形，這形亦稱曰[勾股形].它的距邊名叫[勾]，長(zhǎng)度為三；另一邊名叫[股]，長(zhǎng)度為四；斜邊名叫[弦]，長(zhǎng)度為五.勾股弦三邊，若各自乘，我們就可由其中任何兩邊以求出第三邊的長(zhǎng)……
《周髀算經(jīng)》卷上還記載西周開國(guó)時(shí)期周公與商高討論勾股測(cè)量的對(duì)話，商高答周公問(wèn)時(shí)提到“勾廣三，股修四，經(jīng)偶五”，這是勾股定理的特例.卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀(jì)）的對(duì)話中，則包含了勾股定理的一般形式：“以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并兒開方除之，得邪至日.”
由此看來(lái)，《周髀算經(jīng)》中已經(jīng)利用了勾股定理來(lái)量地測(cè)天.勾股定理又叫做“商高定理”.畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年.希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)定理稱為"畢達(dá)哥拉斯定理"，以后就流傳開了.
2.2在定理證明中融入勾股定理歷史
數(shù)學(xué)史不僅給出了確定的知識(shí)，還可以給出知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程，對(duì)這種過(guò)程的再現(xiàn)，不僅能使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程，還可以形成探索與研究的課堂氣氛，使得課堂教學(xué)不再是單純地傳授知識(shí)的過(guò)程.
案例2.：
劉徽（公元263年左右）的證明：
劉徽用了巧妙的“出入相補(bǔ)”原理證明了勾股定理，“出入相補(bǔ)”見于劉徽為《九章算術(shù)》勾股數(shù)──“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”所作的注：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不動(dòng)也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也.”如何將勾方與股方出入相補(bǔ)成弦方，劉徽未具體提示，學(xué)界比較常見的推測(cè)是如下圖.
③剪拼法（學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證）
證明方法之特征：數(shù)形結(jié)合證法，建立在一種不證自明、形象直觀的原理上，主要是用拼圖的方法證明，使數(shù)學(xué)問(wèn)題趣味化.
翻開古今的數(shù)學(xué)史，不僅勾股定理的歷史深厚幽遠(yuǎn)，所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都蘊(yùn)涵著曲折的道路、閃光的思想、成功的喜悅和失敗的教訓(xùn).將數(shù)學(xué)史的知識(shí)融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)揮數(shù)學(xué)史料的功能，是數(shù)學(xué)教育改革的一項(xiàng)有力的措施.正象法國(guó)數(shù)學(xué)家包羅·朗之萬(wàn)所說(shuō)：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加入歷史具有百利而無(wú)一弊.”
摘要：對(duì)人教版和北師大版數(shù)學(xué)教材中“勾股定理”一章數(shù)學(xué)史編排模式的比較發(fā)現(xiàn)：兩版本教材在數(shù)學(xué)史的設(shè)計(jì)上各具特色，都力求以多種方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史，北師大版比人教版更加注重學(xué)生的實(shí)踐操作能力和交流能力的培養(yǎng)，人教版更關(guān)注學(xué)生的情感；反思發(fā)現(xiàn)兩版本教材在數(shù)學(xué)史融入教學(xué)中的弱點(diǎn)：數(shù)學(xué)史的運(yùn)用過(guò)于淺顯、缺乏與信息技術(shù)的整合。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；勾股定理；教材比較
一、引言
數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課程的整合已成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教育界的一個(gè)熱點(diǎn)話題。張奠宙先生指出：在數(shù)學(xué)教育中，特別是中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)史知識(shí)是進(jìn)行素質(zhì)教育的重要方面?！度罩屏x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確提出，“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中，教材可以適時(shí)地介紹有關(guān)背景知識(shí)，包括數(shù)學(xué)在自然與社會(huì)中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料”。數(shù)學(xué)是積累的科學(xué)，“它的發(fā)展并不合邏輯，數(shù)學(xué)發(fā)展的實(shí)際情況與我們學(xué)校里的教科書很不一致”。根據(jù)歷史發(fā)生原理，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解與數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有很大的相似性。一套好的教材若要返璞歸真地反映知識(shí)的來(lái)龍去脈、思想方法的深刻、內(nèi)涵以及科學(xué)文化的進(jìn)步，就必須融入一些簡(jiǎn)略的數(shù)學(xué)史以啟發(fā)思維、開闊視野、激發(fā)興趣。這就使得在教材的編寫與修訂過(guò)程中，合理設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)史內(nèi)容及其編排方式顯得尤為重要。基于以上認(rèn)識(shí)，本文僅對(duì)人民教育出版社和北京師范大學(xué)出版社初中數(shù)學(xué)教材（以下簡(jiǎn)稱“人教版”、“北師大版”）中勾股定理一章的數(shù)學(xué)史進(jìn)行比較分析。
二、調(diào)查與分析
首先對(duì)人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?搖數(shù)學(xué)（八年級(jí)下冊(cè)）》和北師大版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?搖數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）》勾股定理一章中的數(shù)學(xué)史進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，具體見下表1。
從表1可以看出，在勾股定理這一章中兩版本教材都呈現(xiàn)了大量史料，但在數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)方式和選材上，又各有側(cè)重點(diǎn)。據(jù)表1，兩版本教材在本章各出現(xiàn)數(shù)學(xué)史11處、13處，主要分布在正文、習(xí)題、專題和閱讀材料中。（人教版以“閱讀與思考”呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史料，北師大版以“讀一讀”這一欄目呈現(xiàn)史料，為統(tǒng)一起見，統(tǒng)稱閱讀材料；這里的“專題”多是指在相關(guān)知識(shí)旁邊以框架的形式對(duì)某些內(nèi)容作簡(jiǎn)要介紹。）此外，北師大版第一節(jié)（探索勾股定理）和第三節(jié)（螞蟻這樣走最近）的引入是在歷史名題“折竹抵地”和“蜘蛛與蒼蠅”問(wèn)題的基礎(chǔ)上改編的，雖然表面文字上看不出歷史的影子，但是我們?cè)诮y(tǒng)計(jì)時(shí)仍把這兩處歸為數(shù)學(xué)史料。
三、章前內(nèi)容和數(shù)學(xué)家的設(shè)計(jì)
人教版在章前圖文并茂，不僅呈現(xiàn)了2002年北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)“趙爽弦圖”，還簡(jiǎn)要解釋了勾、股、弦所表示的含義，并在此基礎(chǔ)上提出了兩個(gè)問(wèn)題，進(jìn)而交待了這一章所要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。這樣的設(shè)計(jì)不僅激起了學(xué)生的求知欲、好奇心，還能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前對(duì)本章要干啥有一個(gè)大概的了解，同時(shí)也便于學(xué)生在學(xué)習(xí)完這章后的自我評(píng)估。比起北師大版在章前簡(jiǎn)單列出各文明古國(guó)關(guān)于勾股定理說(shuō)法的設(shè)計(jì)更為人性化。
兩版本教材在介紹數(shù)學(xué)家時(shí)，都是簡(jiǎn)要的說(shuō)明數(shù)學(xué)家的生平（如國(guó)籍、年代、出生地等）及做出的貢獻(xiàn)，并沒(méi)有體現(xiàn)數(shù)學(xué)家遭遇的困惑、挫折、失敗的經(jīng)歷。使學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)家所想到的定理是理所當(dāng)然的，未能體現(xiàn)數(shù)學(xué)家在創(chuàng)作過(guò)程中斗爭(zhēng)、挫折以及數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱難漫長(zhǎng)的道路。相比北師大版，人教版在此有一個(gè)特色，也是人教版整套教材的特色，即在介紹數(shù)學(xué)家時(shí)附有數(shù)學(xué)家的頭像（本章附有畢達(dá)哥拉斯圖像），這樣能喚起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)史的親近、肅穆之感。而北師大版在這方面就稍顯遜色，根據(jù)劉超的統(tǒng)計(jì)，在初中六本教材中人教版有五處附有數(shù)學(xué)家圖像，而北師大版僅有一處（并不是此章）。
四、對(duì)兩版本教材的思考
人教版在勾股定理及其逆定理的開始分別以數(shù)學(xué)家的故事和古埃及人得到直角的方法引入數(shù)學(xué)知識(shí)，而北師大版在第一、三節(jié)都是以實(shí)際問(wèn)題情境引入數(shù)學(xué)內(nèi)容的，但這兩處的情境都來(lái)源于數(shù)學(xué)歷史名題。兩版本在此對(duì)數(shù)學(xué)史用的都比較淺顯，沒(méi)有深挖史料背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)史只是作為一個(gè)情景用來(lái)引出相關(guān)內(nèi)容的。這只是數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的初級(jí)階段，但我們并不能說(shuō)這種融入方式是低級(jí)的或是不好的。一方面，初級(jí)階段是數(shù)學(xué)史融入教學(xué)，進(jìn)入高級(jí)階段不可逾越的階段，具有重要意義，比如激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)積極性；另一方面，教材的這種設(shè)計(jì)也體現(xiàn)了教材的靈活性和多樣性，便于教師對(duì)內(nèi)容的重新加工。因此，對(duì)這兩種引入方式我們不可妄加斷言其好壞，唯獨(dú)希望各相關(guān)領(lǐng)域人員對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法做認(rèn)真的思考，對(duì)數(shù)學(xué)史料進(jìn)行加工和創(chuàng)造，深挖史料背后隱含的價(jià)值，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的作用和價(jià)值。
現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展使得計(jì)算機(jī)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化之間的橋梁。兩版本教材除了讓學(xué)生自己上網(wǎng)搜索相關(guān)內(nèi)容外，并沒(méi)有涉及與信息技術(shù)有關(guān)的內(nèi)容?！肮垂啥ɡ怼弊鳛閹缀跏侨澜缰袑W(xué)都要介紹的定理，其證明方法就有400多種，這些證法反映了東西方不同的文化。這應(yīng)引起兩版本教材編寫者的重視，以便在教材修訂時(shí)注重相關(guān)數(shù)學(xué)史與信息技術(shù)的整合。
摘 要：勾股定理是一個(gè)最基本、最重要的定理，它揭示了直角三角形的三邊關(guān)系． 勾股定理這部分內(nèi)容蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想，若能結(jié)合運(yùn)用一些數(shù)學(xué)思想方法，轉(zhuǎn)換思維角度，便可使思路開闊，從而使數(shù)學(xué)更容易理解和記憶，更好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果． 本文以勾股定理的教學(xué)為例，從五個(gè)方面淺談其教學(xué)中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想．
關(guān)鍵詞：化歸思想；數(shù)形結(jié)合思想；方程思想；分類討論思想；整體思想
隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的逐步實(shí)行與推廣，數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，更加注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力． 本文以勾股定理的教學(xué)為例，探討在新課程教學(xué)中結(jié)合運(yùn)用一些數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)轉(zhuǎn)換思維角度，達(dá)到滲透數(shù)學(xué)思想、訓(xùn)練學(xué)生思維的目標(biāo)．
化歸思想
所謂化歸思想，就是把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，把一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這種化歸思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”，它具有不可逆轉(zhuǎn)的單向性．
例1 已知ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AB=4，求BC的值．
圖1
評(píng)析：ABC為斜三角形，利用化歸思想可化斜三角形為直角三角形，轉(zhuǎn)化為用勾股定理解決的問(wèn)題． 過(guò)A點(diǎn)作BC邊上的高AE，將ABC分成兩個(gè)特殊的直角三角形ABE與ACE，根據(jù)勾股定理，由AB=4，∠B=60°，先分別求出BE=2，AE=2，再由∠C=45°，得AE=CE，求出CE=2，從而得到BC的值為2+2．
例2 小剛同學(xué)代表學(xué)校在北京參加航模比賽，這天小剛與老師興沖沖地來(lái)到機(jī)場(chǎng)，卻遇到了一個(gè)大問(wèn)題：機(jī)場(chǎng)規(guī)定旅客隨機(jī)攜帶的物品的長(zhǎng)、寬、高不得超過(guò)一米，而小剛的飛機(jī)模型卻有1.6米長(zhǎng)，飛機(jī)模型不能折斷、拆卸，托運(yùn)又來(lái)不及，怎么辦呢？正當(dāng)他們發(fā)愁的時(shí)候，小剛靈機(jī)一動(dòng)，利用課堂上學(xué)到的知識(shí)將飛機(jī)模型完整地帶上了飛機(jī)． 同樣聰明的你，想到什么辦法嗎？并請(qǐng)你講出其中的道理．
圖2
評(píng)析：這是一個(gè)生活實(shí)際問(wèn)題，我們可以將它轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題．先在底面ABCD的RtABD中利用勾股定理由AB=AD=1，求出對(duì)角線BD=；再在對(duì)角平面D′DBB′的RtDBD′中，由DD′=1，BD=，求出BD′=，又因?yàn)椤?.7＞1.6，因而便可判斷能將飛機(jī)模型完整地帶上飛機(jī)．
例3 如圖3所示是一個(gè)三塊臺(tái)階，它的每一塊的長(zhǎng)、寬、高分別為20 dm、3 dm、2 dm，點(diǎn)A和點(diǎn)B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是________dm．
評(píng)析：求幾何體表面的最短路程時(shí)，通常可以將幾何體表面展開，把立體圖形轉(zhuǎn)換成平面圖形（如圖4），在RtACB中，AC=20 dm，BC=15 dm，由勾股定理易求出AB=25 dm，即螞蟻沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是25 dm．
數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形有機(jī)結(jié)合來(lái)思考，是抽象思維與形象思維的結(jié)合． 通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的．
例4 A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320 km的B處，以每小時(shí)40 km速度向北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200 km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．
（1）A城是否受到此次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？
（2）若A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？
評(píng)析：本題的情景與人們的日常生活密切相關(guān)，其思維深度具有一定的挑戰(zhàn)性，如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（數(shù)形結(jié)合），是解決本題的關(guān)鍵．
如圖5所示構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，作APBF，在RtABP中∠ABP=30°，AB=320 km，所以AP=160 km＜200 km，即A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響．
設(shè)AD=AC=200 km，在RtADP中，應(yīng)用勾股定理，得DP= ==120 km，所以A城遭受風(fēng)暴影響的時(shí)間為=6（小時(shí)）．
方程思想
方程思想就是根據(jù)問(wèn)題的條件或結(jié)論，列出方程或方程組，通過(guò)解方程或方程組，從而使問(wèn)題得到解決．
例5 折疊長(zhǎng)方形的一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，AE為折痕． 已知AB=8 cm，BC=10 cm，試求EC的長(zhǎng)．
評(píng)析：由折疊重合可知ADE≌AFE，從而AD=AF=10 cm，DE=EF． 在RtABF中，AB=8 cm，由勾股定理容易求出BF==6 cm． 又因?yàn)锽C=10 cm，易求CF=4 cm，再在RtCEF中，若設(shè)CE=x，則EF=DE=8-x，由勾股定理得CE2+CF2=EF2，可構(gòu)造方程x2+16=（8-x）2． 只要求出方程的解，問(wèn)題便水到渠成．
分類討論思想
分類討論可以使解答更為嚴(yán)密完整，避免漏解的情況發(fā)生，分類時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生按一定的標(biāo)準(zhǔn)，將問(wèn)題分成既不重復(fù)又不遺漏的類別．
例6 已知在ABC中，AB=20，AC=15，高AD=12，求：（1）BC的長(zhǎng)；（2）求ABC的面積．
評(píng)析：由于三角形的高線的位置隨其形狀的不同而改變，本題中若ABC為銳角三角形，則其高線在三角形的內(nèi)部；若ABC為鈍角三角形，則其高線在三角形的外部；若ABC為直角三角形，則其高線在三角形邊上且與AC重合，而AC≠AD，所以ABC不為直角三角形．故本題只須分兩種情況討論（如圖7）．
整體思想
整體思想就是把考慮的對(duì)象作為一個(gè)整體看待，進(jìn)而解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想． 應(yīng)用整體思想解題，往往能化難為易，化繁為簡(jiǎn)，起到事半功倍的效果．
例7 已知直角三角形的周長(zhǎng)為18，斜邊長(zhǎng)為8，求直角三角形的面積．
評(píng)析：若設(shè)兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，因?yàn)閍+b=10， 則b=10-a，由勾股定理得a2+b2=64，所以要直接求出a，b的值，只要用一元二次方程a2+（10-a）2=64可解．
但解這個(gè)方程較繁，而由S=ab聯(lián)想到可運(yùn)用整體思想：將ab視為一個(gè)整體，因?yàn)椋╝+b）2= a2+b2+2ab，所以2ab=（a+b）2-（a2+b2）=100-64=36，所以ab=18，所以S=ab=9，問(wèn)題便順利獲解．
例8 在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖8所示），已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=________．
評(píng)析：此題不可能分別求出S1，S2，S3，S4，但我們可以分別求出S1+S2，S3+S4． 例如S3+S4可用以下方法求得：易知RtABC≌RtCDE，所以AB=CD，BC=DE． 又CD2+DE2=CE2，而CD2=AB2=S3，DE2=S4，CE2=3，所以S3+S4=3，同理S1+S2=1，所以S1+S2+S3+S4=1+3=4．
以上是僅在勾股定理中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，只要我們平時(shí)多加留意，引導(dǎo)得當(dāng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力就會(huì)提高．