時(shí)間：2023-07-30 10:17:48
導(dǎo)語：在探索平行線的條件的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
關(guān)鍵詞：核心知識(shí)；平行線性質(zhì)；證明
平行線的判定和性質(zhì)是平面幾何的一個(gè)重要內(nèi)容，也是第五章的核心內(nèi)容.本章第一次從判定和性質(zhì)來研究幾何對(duì)象，體現(xiàn)了對(duì)幾何對(duì)象研究的兩個(gè)方面，為今后研究其他圖形的判定和性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).對(duì)平行線的判定和性質(zhì)的研究，是以直觀認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，學(xué)生在經(jīng)歷觀察、思考、探究等活動(dòng)歸納出結(jié)論之后，還要“說理”和“簡單推理”甚至證明，把推理和證明作為探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，這一過程體現(xiàn)了研究幾何問題的流程和一般方法，通過這樣的研究過程可以逐步培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考和表達(dá)，逐步提高推理能力.
基于以上分析，我確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：得到平行線的性質(zhì)的過程.
平行線的性質(zhì)是學(xué)生對(duì)圖形性質(zhì)的第一次系統(tǒng)研究，對(duì)于研究過程和研究方法都是陌生的，所以學(xué)生需要在老師的引導(dǎo)下類比研究平行線判定的過程來構(gòu)建平行線性質(zhì)的研究過程.
逐步滲透判定與性質(zhì)的互逆關(guān)系，既滲透了圖形的判定和性質(zhì)之間的互逆關(guān)系，又體現(xiàn)了知識(shí)的連貫性.平行線的三條性質(zhì)都是需要證明的.但是為了與學(xué)生的思維發(fā)展水平相適應(yīng)，性質(zhì)1是通過操作確認(rèn)的方式得出的，然后在性質(zhì)1的基礎(chǔ)上經(jīng)過進(jìn)一步推理得到性質(zhì)2和性質(zhì)3，這一過程體現(xiàn)了由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過渡，滲透了簡單推理.
作為培養(yǎng)學(xué)生推理能力的內(nèi)容，對(duì)于性質(zhì)2和性質(zhì)3的得出，學(xué)生可以做到“說理”，但把推理過程從邏輯上敘述清楚存在困難，需要老師做示范，學(xué)生進(jìn)行模仿.關(guān)于推理過程的符號(hào)化，對(duì)于剛剛接觸平面幾何的初一學(xué)生而言，具有一定的難度，為此，在推理過程符合邏輯的前提下，對(duì)于學(xué)生在證明過程中使用文字語言或符號(hào)語言來進(jìn)行表達(dá)的方式不作限制，更多關(guān)注學(xué)生對(duì)證明本身的理解.
因此，我確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：得出性質(zhì)2和性質(zhì)3的推理過程的邏輯表述.
【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】
一、梳理舊知，引出新課
在教學(xué)設(shè)計(jì)中，我在開篇采用復(fù)習(xí)引入，由平行線的判定引入對(duì)平行線性質(zhì)的研究，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系上一節(jié)課平行線的判定，從同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的角度考慮平行線的性質(zhì).反過來就是把已知和未知調(diào)換過來，也就是已知是平行，未知是角有什么關(guān)系.
二、動(dòng)手操作，歸納性質(zhì)
在探究新知的過程中，教科書上提供了通過測(cè)量探索平行線性質(zhì)的活動(dòng)，我讓他們?cè)谡n前通過預(yù)習(xí)完成，鼓勵(lì)他們利用其他方法進(jìn)行探索.我設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：剪下一組同位角中的一個(gè)，把它貼到另一個(gè)上面去，觀察兩個(gè)角是否重合.這樣設(shè)置問題“用你手中準(zhǔn)備的學(xué)具作兩條平行線被第三條直線所截，即：如圖1，已知a∥b，然后把∠1剪下來與∠2比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？還能找到其他角的關(guān)系嗎？還有什么方法？”學(xué)生不僅找到了同位角的關(guān)系，用同樣的方法，還找到了內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的關(guān)系，在后續(xù)性質(zhì)的推理證明中繼續(xù)利用手中的模具進(jìn)行分析，更好地發(fā)揮了學(xué)生的動(dòng)手能力及模具的作用，對(duì)學(xué)生幾何語言的表達(dá)與準(zhǔn)確起到了輔助作用.
三、應(yīng)用轉(zhuǎn)化，推出性質(zhì)
對(duì)于平行線的性質(zhì)的研究，我是類比研究平行線判定的思路，首先來研究兩條直線平行時(shí)，同位角的數(shù)量關(guān)系.即關(guān)于同位角的性質(zhì)通過實(shí)驗(yàn)探究得出，關(guān)于內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的性質(zhì)通過推理證明得出，向?qū)W生滲透類比的研究問題的思想.在進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，設(shè)置問題“我們能否使用平行線的性質(zhì)1說出性質(zhì)2、性質(zhì)3成立的道理呢？”采用上一節(jié)利用平行線的判定1來推出判定2的過程，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生思考，使學(xué)生逐步養(yǎng)成言之有據(jù)的習(xí)慣，從而能逐步進(jìn)行簡單的推理.這一塊學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)生與上節(jié)課判定的學(xué)習(xí)進(jìn)行對(duì)比，利用手中的模具，完成得非常好，我在黑板上示范性質(zhì)2的推理過程，讓學(xué)生上成性質(zhì)3的推理證明.學(xué)生完成推理后，我及時(shí)總結(jié)，通過我們的推理論證，之前的三個(gè)猜想就是平行線的三個(gè)性質(zhì)，完成由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過渡，滲透簡單的推理，培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的良好思維品質(zhì).再與學(xué)生一起總結(jié)性質(zhì)的符號(hào)語言.
四、鞏固性質(zhì)，強(qiáng)化理解
我設(shè)計(jì)了一組練習(xí)及時(shí)鞏固新知.（如圖2）
1.AD∥BC（已知）∠B=∠1（ ）
2.AB∥CD（已知）D=∠1（ ）
3.AD∥BC（已知）∠C+=180°（ ）
再趁熱打鐵，利用我給他們制作的模具讓學(xué)生來講解書上的例題：如圖3，是一塊梯形鐵片的殘余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外兩個(gè)角分別是多少度？形象直觀，易于表達(dá)，既能鍛煉學(xué)生語言的準(zhǔn)確性，又能讓例題生動(dòng)起來.
五、分析比較，深化理解
在性質(zhì)與判定的對(duì)比中設(shè)置問題“平行線的性質(zhì)已知是什么？得到的結(jié)論是什么？它和我們前面學(xué)習(xí)的平行線的判定有什么區(qū)別與聯(lián)系？”讓學(xué)生找一找它們分別是什么，得出了什么，要注意已知條件，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁冉腔ゲ故瞧叫邢嚀賾械.在區(qū)別與聯(lián)系中向?qū)W生滲透判斷與性質(zhì)的互逆關(guān)系，利用判定研究性質(zhì)，是今后幾何研究中常用的方法.總結(jié)出：已知角的關(guān)系得平行的關(guān)系.證平行，用判定.已知平行的關(guān)系得角的關(guān)系.知平行，用性質(zhì).
然后給出一道反復(fù)用平行線的性質(zhì)和判定的例題使學(xué)生深化理解如何使用判定和性質(zhì).
已知：如圖4，∠1=∠2，∠C=∠D.
求證：∠A=∠F.
證明：∠1=∠2（ ） ∠2=∠3（ ）
∠1=∠__（ ） BD∥CE（ ）
∠C=∠4（ ）
∠C=∠D（ ） ∠D=∠4（ ）
DF∥AC（ ） ∠A=∠F（ ）
這道題采取四人一小組討論，理清思路，讓學(xué)得好的給學(xué)得差的學(xué)生先講解，發(fā)揮集體智慧，再讓學(xué)生到黑板上說思路，鼓勵(lì)學(xué)生多角度想問題，還有其他方法嗎？與其他同學(xué)的方法不同在哪里？然后，老師以這道題為模型給學(xué)生講解證明方法之一的逆推法，初步灌輸幾何證明的兩種方法逆推法和綜合法.最后，讓學(xué)生在講義上獨(dú)立完成，老師給學(xué)生提供了填空式的解題思路，再拉一把基礎(chǔ)較差的學(xué)生，給他們機(jī)會(huì)學(xué)習(xí)，獲得學(xué)習(xí)自信.
六、放飛思想，分層作業(yè)
關(guān)鍵詞：平方四邊形課案；分析；設(shè)計(jì)；
中圖分類號(hào)：G633 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-3520（2014）-04-00128-01
教學(xué)內(nèi)容：平行線的性質(zhì)
教材分析：本節(jié)內(nèi)容是人教版九年義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書七年級(jí)下冊(cè)第五章第三節(jié)平行線的性質(zhì)，它是今后學(xué)習(xí)平移、圖形與空間等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，是中學(xué)生必不可少的學(xué)習(xí)內(nèi)容。
教學(xué)目標(biāo)：（1）使學(xué)生掌握平行線的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)解決所涉問題。（2）使學(xué)生在平行線的性質(zhì)的探究過程中，通過觀察、比較、分析，最后學(xué)會(huì)歸納和概括，從而得出新知過程。（3）在探究活動(dòng)中讓學(xué)生親自參與研究過程的體驗(yàn)，從而增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。
教學(xué)重點(diǎn)：平行線的性質(zhì)
教學(xué)難點(diǎn)：“性質(zhì)一”的探究過程
教學(xué)方法：“引導(dǎo)探索法”、“觀察發(fā)現(xiàn)法”
課前準(zhǔn)備：
（1）教具：多媒體課件、大屏幕、實(shí)物投影；（2）學(xué)具：三角版、量角器。
教學(xué)過程：
（一）、創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)疑引導(dǎo)
（1）播放幻燈片：畫面一：高速行駛的火車。對(duì)應(yīng)圖片①：兩條軌道線；畫面二：水立方里面的游泳池。對(duì)應(yīng)圖片②：幾條泳道線；③一張橫格的信箋紙。
（2）教師引領(lǐng)：
①說一說平行線的概念
②上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行線的“平行公理”和“判定方法”，大家能說出直線平行的條件嗎？
（3）學(xué)生活動(dòng)（思考回答）：（平行公理兩條，判定方法三條）
（4）教師：首先肯定學(xué)生的回答，然后提出問題：如果兩直線平行，那么同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角各有什么關(guān)系呢？
引出問題――平行線的性質(zhì)。
（二）、畫圖實(shí)驗(yàn)，列表觀察，歸納論證
畫出兩條平行線a∥b，畫一條截線c與這兩條平行線相交成八個(gè)角（如圖一）
問題一：指出圖中的同位角，并度量這些角，把結(jié)果填入下表學(xué)生活動(dòng)：用量角器度量課本19頁5.3-1各角的度數(shù)，根據(jù)上表的結(jié)論，大膽提出猜想：兩直線平行，同位角相等。
問題二：在（圖一）中畫出一條截線d，檢驗(yàn)?zāi)愕牟孪?，結(jié)論是否仍然成立？
學(xué)生：探究、討論，最后得出結(jié)論：仍然成立。
（教師此時(shí)用《幾何畫板》課件驗(yàn)證猜想）
性質(zhì)1 兩條直線被第三條直線所截，同位角相等。（兩直線平行，同位角相等）
（三）繼續(xù)引導(dǎo)，培養(yǎng)創(chuàng)新
問題三：如圖（2），直線a∥b，請(qǐng)判斷內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角各有什么關(guān)系？
學(xué)生活動(dòng)：先獨(dú)立探究，后小組討論，再提出結(jié)論。
教師活動(dòng)：評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生用推理的方式導(dǎo)出性質(zhì)2
因?yàn)閍∥b，所以∠1=∠2
又∠1=∠3，所以∠2=∠3
語言敘述結(jié)論
性質(zhì)2 兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
教師活動(dòng)：鼓勵(lì)學(xué)生又快又好地推導(dǎo)出性質(zhì)3
因?yàn)閍∥b，所以∠1=∠2
又∠1+∠4=180°，所以∠2+∠4=180°
性質(zhì)3 兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
（四）、現(xiàn)蒸熱賣，快速搶答
（1）如圖3（教材第22頁第3題的變換形式），平行線AB、CD被直線AE所截
①若∠1=100°，則∠2= °。理由： 。
②若∠1=100°，則∠3= °。理由： 。
③若∠1=100°，則∠4= °。理由： 。
（五）、例題變換（填空并說明理由）
如圖6是一塊梯形鐵片的殘余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，求梯形另外兩角分別是多少度？
解：因?yàn)樘菪紊?、下兩底平?/p>
所以 ∠A+∠D= °（ ）
∠B+∠C= °（ ）
即 ∠D = - ∠A= °
∠C = - ∠B= °
所以梯形的另外兩個(gè)角分別為 度和 度。
（六）、課堂小結(jié)
（1）平行線的三個(gè)性質(zhì)；
（2）運(yùn)用直觀的列表法來觀察問題；
（3）運(yùn)用探究、論證的方法來解決問題。
教學(xué)反思
一、操作型
例1 如圖1，給出了過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是___________．
解析：從圖中可以看出，三角板在平移的過程中，三角板與直尺形成的夾角的大小不變，因此其依據(jù)是同位角相等，兩直線平行．
點(diǎn)評(píng)：平行線的性質(zhì)和判定是互逆的，我們?cè)谶\(yùn)用時(shí)，要搞清條件和結(jié)論，不要混淆. 本題中，切不可寫成兩直線平行，同位角相等．
二、網(wǎng)格型
例2 如圖2，在正方形網(wǎng)格中，∠1、∠2、∠3的大小關(guān)系是（ ）.
A.∠1＝∠2＞∠3 B.∠1＜∠2＜∠3
C.∠1＞∠2＞∠3 D.∠1＝∠2＝∠3
解析：觀察網(wǎng)格，AB、CD都是“1×3”的長方形的對(duì)角線，有AB∥CD. 根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，得到∠1＝∠2，用類似的方法可以得出∠2＞∠3. 故選A．
點(diǎn)評(píng)：我們常用網(wǎng)格研究線段的平行、垂直問題，一般的方法就是把線段放在網(wǎng)格中的長方形里，作為長方形的對(duì)角線來研究．
三、應(yīng)用型
例3 如圖3-1～3-3，是家用水暖器材中的一種彎形管道，要求經(jīng)過兩次拐彎后還保持平行的狀態(tài)（即AB∥CD）．如果已知∠B＝80°，那么∠BCD的度數(shù)分別為__________．
解析：圖3-1中是一種“U”形管，因?yàn)锳B∥CD，根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，所以∠B＋∠BCD＝180°，所以∠BCD＝180°－80°＝100°；圖3-2和圖3-3都是一種“N”形管，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，可得∠BCD＝∠B＝80°.
點(diǎn)評(píng)：此題把生活中的實(shí)物轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中兩條平行線被第三條直線所截的情形，利用平行線的性質(zhì)可得未知角的度數(shù)．
四、探究型
例4 將直尺與三角板按如圖4所示的方式疊放在一起，在圖中標(biāo)示的角中，寫出所有與∠1互余的角．
1.重點(diǎn)平行四邊形的判定定理
重點(diǎn)分析平行四邊形的判定方法涉及平行四邊形元素的各方面，同時(shí)它又與平行四邊形的性質(zhì)聯(lián)系，判定一個(gè)四邊形是否為平行四邊形是利用平行四邊形性質(zhì)解決其他問題的基礎(chǔ)，所以平行四邊形的判定定理是本節(jié)的重點(diǎn).
2.難點(diǎn)靈活運(yùn)用判定定理證明平行四邊形
難點(diǎn)分析平行四邊形的判定方法較多，綜合性較強(qiáng)，能靈活的運(yùn)用判定定理證明平行四邊形，是本節(jié)的難點(diǎn).
3.關(guān)于平行四邊形判定的教法建議
本節(jié)研究平行四邊形的判定方法，重點(diǎn)是四個(gè)判定定理，這也是本章的重點(diǎn)之一.
1.教科書首先指出，用定義可以判定平行四邊形.然后從平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題出發(fā)，來探索平行四邊形的判定定理.因此在開始的教學(xué)引入中，要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的情感因素，盡可能利用形式多樣的多媒體課件，激發(fā)學(xué)生興趣，使學(xué)生能很快參與進(jìn)來.
2.素質(zhì)教育的主旨是發(fā)揮學(xué)生的主體因素，讓學(xué)生自主獲取知識(shí).本章重點(diǎn)中前三個(gè)判定定理的順序與它的性質(zhì)定理相對(duì)應(yīng)，因此在講授新課時(shí)，建議采用實(shí)驗(yàn)式教學(xué)模式或探索式教學(xué)模式：在證明每個(gè)判定定理時(shí)，由學(xué)生自己去判斷命題成立與否，并根據(jù)過去所學(xué)知識(shí)去驗(yàn)證自己的結(jié)論，比較各種方法的優(yōu)劣，這樣使每個(gè)學(xué)生都積極參與到教學(xué)中，自己去實(shí)驗(yàn)，去探索，去思考，去發(fā)現(xiàn)，在動(dòng)手動(dòng)腦中得到的結(jié)論會(huì)更深刻――同時(shí)也要注意保護(hù)學(xué)生的參與積極性.
3.平行四邊形的判定方法較多，綜合性較強(qiáng)，能靈活的運(yùn)用判定定理證明平行四邊形，是本節(jié)的難點(diǎn).因此在例題講解時(shí)，建議采用啟發(fā)式教學(xué)模式，根據(jù)題目中具體條件結(jié)合圖形引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分析法解題程序從條件或結(jié)論出發(fā)，由學(xué)生自己去思考，去分析，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，對(duì)學(xué)生靈活掌握熟練應(yīng)用各種判定定理會(huì)有幫助.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例1
[教學(xué)目標(biāo)]通過本節(jié)課教學(xué),使學(xué)生訓(xùn)練掌握平行四邊形的各條判定定理,并能靈活地運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理及以前學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行有關(guān)證明,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。
[教學(xué)過程]
一、準(zhǔn)備題系列
1.復(fù)習(xí)舊知識(shí)：前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形的性質(zhì)，哪位同學(xué)能敘述一下。(答對(duì)者記分，答錯(cuò)的另點(diǎn)同學(xué)補(bǔ)充)
2.小實(shí)驗(yàn)：有一塊平行四喧形的玻璃片，假如不小心碰碎了解部分(如圖所示)，同學(xué)們想想看，有沒有辦法把原來的平行四邊形重新畫出來?
(讓學(xué)生思考討論，再各自畫圖，畫好后互相交流畫法，教師巡回檢查。對(duì)個(gè)別差生稍加點(diǎn)撥，最后請(qǐng)學(xué)生回答畫圖方法)學(xué)生可能想到的畫法有：⑴分別過A、C作DC、DA的平行線，兩平行線相交于B;⑵過C作DA的平行線，再在這平行線上截取CB=DA，連結(jié)BA;⑶分別以A、C為圓心，以DC、DA的長為半徑畫弧，兩弧相交于B，連結(jié)AB、CB。
還有一種一法，學(xué)生不易想到，即由平行四邊形對(duì)角線的特性，引導(dǎo)學(xué)生得出連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)O，再連結(jié)DO，并延長DO至B，使BO=DO，連結(jié)AB、CD。
二、引入新課
上面作出的四邊形是否都是平行四邊形呢?請(qǐng)同學(xué)們猜一猜。生答后師指出這就是今天所要不得研究的問題“平行四邊形的判定”(板書課題)。
三、嘗試議練
1.要判定我們剛才畫出的四邊形是不是平行四邊形，應(yīng)當(dāng)加以證明。第一種畫法，由平行四邊形的定義可知，它是平行四邊形(定義可作性質(zhì)也可作判定)。
2.現(xiàn)在我們來看看第二種畫法，這就是平行四邊形判定定理一(翻開課本看它的文字?jǐn)⑹?。請(qǐng)想想，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形究竟是不是平行四邊形呢?這里已知是什么?求證是什么?請(qǐng)寫出。
自學(xué)課本上的證明過程，看后提問：這個(gè)證明題不作輔助線行不行?為什么?(因?yàn)橐C平行線，一般要證兩角相等，或互補(bǔ)，要證兩角相等，一般要證全等三角形，而這里沒有三角形，要連一對(duì)角線才有三角形)
3.再看第三種畫法，在兩組對(duì)邊分別相等的情況下是不是平行四邊形?教師寫出已知、求證，請(qǐng)兩位學(xué)生上臺(tái)證明，其余在課堂練習(xí)本上做。(注意考慮要不要添輔助線)
完成證明后提問哪些學(xué)生是用判定定理一落千丈證明的?哪些是用定義證明的?(解題后思考)
四、變式練習(xí)
1.再看看第四種畫法，可知，已各條件是四邊形的對(duì)角線互相一平分，這種情況下它是不平行四邊形?
閱讀課本上的判定定理之后，要求學(xué)生思考用什么方法求證最簡便?(應(yīng)該用判定定理一)2.變式題
⑴兩組對(duì)角分別相等的四邊形是不是平行四邊形?為什么?(練習(xí)第1題)(口述證明，不要示書面證明)(問要不要添輔助線?)
⑵一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是不是平行四邊形?(教師補(bǔ)充)
⑶一組對(duì)邊相等，一組對(duì)家相等及一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊相等的四邊形是不是平行四邊形?(引導(dǎo)學(xué)生在草稿紙上畫圖思考，然后回答不是平行四邊形。因?yàn)檫吔遣荒茏C全等三角形)
⑷自學(xué)課本例1思考：此例證明中，什么地方用了平行四邊形的“性質(zhì)”?什么地方用“判定”定理?
觀察下圖：
平行四邊形ABCD中，
五、課堂小結(jié)
1.今天這節(jié)課我們學(xué)了什么?平行四這形的判定有哪些方法?試列舉之。
反思之一：理清知識(shí)來龍去脈，使知識(shí)結(jié)構(gòu)化
學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，為了提高效率，必須對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)再進(jìn)行組織、抽象、概括、歸納和分類，使之結(jié)合成一個(gè)系統(tǒng)，形成一定的層次知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，每堂課應(yīng)花點(diǎn)時(shí)間，讓學(xué)生回憶本節(jié)課內(nèi)容，幫助學(xué)生理清知識(shí)來龍去脈，進(jìn)而優(yōu)化其知識(shí)結(jié)構(gòu)。
案例1 “平行線”一節(jié)教學(xué)片段：在學(xué)生通過實(shí)踐探究歸納出平行公理后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思。反思1：公理中的條件是什么？改為“過一點(diǎn)”是否可以？生：點(diǎn)與直線位置，有點(diǎn)在線上和點(diǎn)在線外兩種，點(diǎn)在線上時(shí)無法畫平行線。反思2：書本中與之類似的性質(zhì)有哪些？生：①過兩點(diǎn)有且只有一條直線;②在同一平面內(nèi)有且只有一條直線與已知直線垂直。反思3：②中強(qiáng)調(diào)“在同一平面內(nèi)”，而平行公理為何不強(qiáng)調(diào)？生：平行線定義是同一平面內(nèi)兩條不相交的直線，所以加上“在同一平面內(nèi)”就顯重復(fù)。但兩直線垂直時(shí)卻不一定在同一個(gè)平面內(nèi)。通過這一連串的反思，學(xué)生對(duì)平行線知識(shí)有了更清晰的認(rèn)識(shí)，也認(rèn)清了它與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別。
反思之二：重新評(píng)價(jià)解題方法思路，以期達(dá)到最優(yōu)化
在學(xué)生解題后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思解題方案是否最佳，對(duì)已知條件、結(jié)論能否再認(rèn)識(shí)，進(jìn)而尋求最佳解題方案。這樣的反思訓(xùn)練，有利于學(xué)生更深層次地理解問題，開闊視野，打破思維定式，提高思維的靈活性。
案例2 問題：已知正方形ABCD、BEFG的邊長分別為a、b，試用a、b表示出ACF的面積。
就本題言，若不讓學(xué)生進(jìn)行反思，對(duì)學(xué)生來說只是知識(shí)的重現(xiàn)，通過不斷反思可讓學(xué)生獲得成功感，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情和探索未知的欲望，并從中感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美和文化價(jià)值。
反思之三：思維遷移，以例及類，以便學(xué)生觸類旁通，使知識(shí)系統(tǒng)化
教學(xué)中應(yīng)不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生將某些問題適當(dāng)引申、拓展，以培養(yǎng)學(xué)生自主探究的良好習(xí)慣，幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行再認(rèn)識(shí)、歸納、概括，以及系統(tǒng)集成，提高認(rèn)識(shí)的深度和廣度。
案例3 問題：平面上有不在一直線3個(gè)點(diǎn)，一共可作幾條直線？學(xué)生很快給出答案3條。反思1：將條件中3個(gè)點(diǎn)改為4個(gè)、5個(gè)，其他條件不變結(jié)果又如何？學(xué)生給出答案。反思2：將條件中3個(gè)點(diǎn)改為100個(gè)，其他條件不變結(jié)果又如何？學(xué)生經(jīng)過討論研究給出正確答案。這時(shí)筆者就請(qǐng)學(xué)生講述解題過程。學(xué)生答：從前面4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)的結(jié)果中不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律：當(dāng)平面上有n個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在同一直線上，共可作出n（n-1）條直線。據(jù)此引導(dǎo)學(xué)生反思：如何對(duì)結(jié)果n（n-1）作出解釋？讓學(xué)生進(jìn)行討論，部分學(xué)生這樣解釋：從畫圖中可看出第一個(gè)點(diǎn)與其他n-1個(gè)點(diǎn)相連可得n-1條直線，第二個(gè)點(diǎn)與其他n-2個(gè)點(diǎn)相連可得n-2條直線，如此下去共有（n-1）+（n-2）+…+2+1=n（n-1）條直線。另一種解釋：平面上有n個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)與其他n-1個(gè)點(diǎn)相連可得n-1條直線，這樣可得n（n-1）條直線，考慮到A、B連線與B、A連線是同一直線，所以結(jié)果為n（n-1）條。接著引導(dǎo)學(xué)生解決下列問題：①平面上過一點(diǎn)有4條射線，其中無兩條射線在同一直線上，共有多少個(gè)角？②4個(gè)人聚會(huì)每兩人握一次手，共握多少次手？引導(dǎo)學(xué)生反思，為什么上面問題不同，結(jié)果卻相同？你能否再舉出類似問題？學(xué)生經(jīng)歷了畫、數(shù)、歸納、分析的認(rèn)知過程，對(duì)這類問題有了系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，通過反思進(jìn)行了“數(shù)學(xué)化”處理，同時(shí)顯露了組合的萌芽，有利于學(xué)生今后學(xué)習(xí)，為可持續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ)。
反思之四：對(duì)條件結(jié)論和過程重新評(píng)價(jià)，以發(fā)現(xiàn)致誤的原因
第二章平行線與相交線
課時(shí)安排
7課時(shí)
第一課時(shí)
課題
§2.1余角與補(bǔ)角
教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
1.余角、補(bǔ)角及對(duì)頂角的定義.
2.余角、補(bǔ)角及對(duì)頂角的性質(zhì).
(二)能力訓(xùn)練要求
1.經(jīng)歷觀察、操作、推理、交流等過程，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念、推理能力和有條理表達(dá)的能力.
2.在具體情境中了解補(bǔ)角、余角、對(duì)頂角，知道等角的余角相等、等角的補(bǔ)角相等、對(duì)頂角相等，并能解決一些實(shí)際問題.
(三)情感與價(jià)值觀要求
通過在具體情境下的討論，讓學(xué)生理解基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，提高他們理論聯(lián)系實(shí)際的觀念.
教學(xué)重點(diǎn)
1.互為余角、互為補(bǔ)角的定義及其性質(zhì).
2.對(duì)頂角的定義及性質(zhì).
教學(xué)難點(diǎn)
互為余角、互為補(bǔ)角、對(duì)頂角的定義的理解.
教學(xué)方法
講練結(jié)合法
教師在充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性的同時(shí)，來與學(xué)生進(jìn)行交流、討論，使之能運(yùn)用本節(jié)內(nèi)容解決一些實(shí)際問題.
教學(xué)過程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情景，引入新課
［師］在上冊(cè)第四章“平面圖形及其位置關(guān)系”中，我們學(xué)習(xí)了“平行”與“垂直”，大家想一想：什么是平行線？
［生］在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.
［師］很好，在日常生活中，我們隨處可見道路、房屋、山川、橋梁……等這些大自然的杰作和人類的創(chuàng)造物.這其中蘊(yùn)涵著大量的平行線和相交線.
下面大家來看幾幅圖片：(出示投影片：P49的橋的圖片，宮殿、建筑物、門等的圖片)
你能從這些圖案中找出平行線和相交線嗎？
(同學(xué)們踴躍發(fā)言，都能準(zhǔn)確地找出其中的平行線和相交線)
［師］同學(xué)們找得都對(duì)，說明大家掌握了所學(xué)內(nèi)容.從今天開始，我們將深入學(xué)習(xí)這方面的內(nèi)容：第二章平行線與相交線.
在這一章里，我們將發(fā)現(xiàn)平行線和相交線的一些特征，并探索兩條直線平行的條件，我們還將利用圓規(guī)和沒有刻度的直尺，嘗試著作一些美麗的圖案.
相信大家，一定會(huì)學(xué)得很好.
圖2－1
Ⅱ．講授新課
［師］我們知道，光的反射是一種常見的物理現(xiàn)象，通過如圖的實(shí)驗(yàn)裝置我們可以驗(yàn)
證光的反謝定律：
活動(dòng)內(nèi)容：參照教材p59光的反射實(shí)驗(yàn)提出下列問題：
（1） 模擬試驗(yàn)：通過模擬光的反射的試驗(yàn)，為學(xué)生提供生動(dòng)有趣的問題情景，將其抽象為幾何圖形，為下面的探索做好準(zhǔn)備。
（2）利用抽象出的幾何圖形分三個(gè)層次提出問題，進(jìn)行探究。
i說出圖中各角與∠3的關(guān)系。將學(xué)生的回答分類總結(jié)，從而得到余角、補(bǔ)角的定義。
ii圖中還有哪些角互補(bǔ)？哪些角互余？在鞏固剛剛得到的概念的同時(shí)，為下一個(gè)問題作好鋪墊。
iii圖中都有哪些角相等？由此你能夠得到什么樣的結(jié)論？在學(xué)生充分探究、交流后，得到余角、補(bǔ)角的性質(zhì)。
由此，我們得到了一個(gè)新的概念：互為余角.即：如果兩個(gè)角的和是直角，那么稱這兩個(gè)角互為余角(complementary angle),也就是說其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.
只要有∠BDC+∠1=90°，就可知道∠1與∠BDC互為余角，反過來知道∠1與∠BDC是互為余角，就一定知道∠1與∠BDC的和為直角.
再之：∠1與∠BDC是互為余角就是說：∠1是∠BDC的余角，∠BDC也是∠1的余角.
大家看老師手里拿兩個(gè)三角板(一邊演示，一邊敘述)：這一個(gè)三角板的60°的角與另一個(gè)三角板的30°的角加起來正好是90°，那么我們說這兩個(gè)角是互為余角.
同學(xué)們應(yīng)注意：(強(qiáng)調(diào))
(1)互為余角是對(duì)兩個(gè)角而言的.
(2)互為余角僅僅表明了兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，而沒有限制角的位置關(guān)系.
［生］老師，我們知道了：兩個(gè)角的和是直角，則這兩個(gè)角是互為余角.剛才我們還討論了：∠1+∠ADF=180°,∠EDB+∠1=180°.
那么這樣的兩個(gè)角又叫什么呢？
［師］這位同學(xué)問得好，這就是我們要學(xué)習(xí)的另一個(gè)概念：互為補(bǔ)角.即：如果兩個(gè)角的和是平角，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角(supplementary angle).
互為補(bǔ)角的概念的理解與互為余角的理解基本一樣.哪些同學(xué)能嘗試的說一下呢？
［生甲］只要滿足∠1+∠ADF=180°，就可知道∠1與∠ADF是互為補(bǔ)角.反之知道∠1與∠ADF是互為補(bǔ)角，就一定可知道∠1與∠ADF的和是平角.
［生乙］∠1與∠ADF是互為補(bǔ)角，就是說：∠1是∠ADF的補(bǔ)角，∠ADF也是∠1的補(bǔ)角.
［生丙］互為補(bǔ)角也是對(duì)兩個(gè)角而言的.與角的大小有關(guān)，而與位置無關(guān).
［生?。荨螮DB與∠1也是互為補(bǔ)角.
［師］同學(xué)們回答得真棒.互為余角、互為補(bǔ)角都是針對(duì)兩個(gè)角而言的，僅僅表示了兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，并沒有限制角的位置關(guān)系.
好，下面大家來想一想.(出示投影片§2.1 A)
在下圖中，CD與EF垂直，∠1=∠2.
(1)哪些角互為余角？哪些角互為補(bǔ)角？
(2)∠ADC與∠BDC有什么關(guān)系？為什么？
(3)∠ADF與∠BDE有什么關(guān)系？為什么？
圖2－2
(同學(xué)們分組討論，得結(jié)論)
［生甲］在圖中：∠1與∠ADC、∠2與∠ADC、∠BDC與∠1、∠BDC與∠2都是互為余角.
∠1與∠ADF、∠EDB與∠1、∠ADF與∠2、∠EDB與∠2都是互為補(bǔ)角.
［生乙］∠ADC與∠BDC相等，因?yàn)椋?/p>
∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠1=90°
所以：∠ADC=90°－∠1=∠BDC.
［生丙］∠ADC與∠BDC相等的理由還可以這樣說：因?yàn)椤螦DC+∠1=90°，∠BDC+∠2=90°，所以∠ADC=90°－∠1，∠BDC=90°－∠2，又因?yàn)椤?=∠2，所以∠ADC=∠BDC.
［生?。堇蠋?，是不是這樣：∠ADC是∠1的余角，∠BDC也是∠1的余角，所以∠ADC與∠BDC就相等.因此可以說：同一個(gè)角的余角相等.∠ADC是∠1的余角，∠BDC是∠2的余角，而∠1與∠2相等.所以∠ADC與∠BDC相等.因此可以說：相等的角的余角相等.
［師］丁同學(xué)總結(jié)得很好.大家的意見怎么樣？
［生齊聲］丁同學(xué)總結(jié)得對(duì).
［師］很好，這就得出互為余角的性質(zhì)：
同角或等角的余角相等.
接下來看第三個(gè)問題:
(同學(xué)們踴躍發(fā)言，得出結(jié)論)
［生］∠ADF與∠BDE相等.因?yàn)椤?+∠ADF=180°，∠1+∠BDE=180°，所以，∠ADF=180°－∠1=∠BDE.還可以這樣說：
因?yàn)椤?+∠ADF=180°，∠2+∠BDE=180°，所以∠ADF=180°－∠1，∠BDE=180°－∠2，又因?yàn)椤?=∠2，所以∠ADF=∠EDB.
因此得出結(jié)論：
同角或等角的補(bǔ)角相等.
［師］同學(xué)們表現(xiàn)得很好，通過討論，得出互為余角、互為補(bǔ)角的性質(zhì)：
同角或等角的余角相等.
同角或等角的補(bǔ)角相等.
接下來，我們議一議.
(可用電腦演示，也可用實(shí)物剪刀實(shí)際操作，然后提問.)(出示投影片§2.1 B)
(1)用剪刀剪東西時(shí)，哪對(duì)角同時(shí)變大或變??？
(2)如果將剪刀的圖形簡單表示為下圖，請(qǐng)問：∠1與∠2的位置有什么關(guān)系？它們的大小有什么關(guān)系？為什么？
圖2－3
［生甲］(1)用剪刀剪東西時(shí)，相對(duì)的角同時(shí)變大或變小.
［生乙］圖中的∠1與∠2有公共的頂點(diǎn)O，且角的兩邊互為反向延長線.
∠1與∠2相等，因?yàn)椤?是∠BOC的補(bǔ)角，∠2也是∠BOC的補(bǔ)角.由同角的補(bǔ)角相等，可得∠1與∠2相等.
［師］很好，像這樣，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∠1與∠2有公共頂點(diǎn)，它們的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個(gè)角叫對(duì)頂角.
如圖中的∠AOD與∠BOC也是對(duì)頂角.
由對(duì)頂角的概念可知,對(duì)頂角的本質(zhì)特征是：兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，兩個(gè)角的兩邊互為反向延長線.
所以要在圖形中準(zhǔn)確地找出對(duì)頂角，需兩看：
(1)看是不是兩條直線相交所得的角;
(2)看是不是有公共頂點(diǎn)而沒有公共邊(或不相鄰)的兩個(gè)角.
另外，從對(duì)頂角的定義還可知：對(duì)頂角總是成對(duì)出現(xiàn)的，它們是互為對(duì)頂角；一個(gè)角的對(duì)頂角只有一個(gè).
接下來大家想一想：對(duì)頂角有什么性質(zhì)？
［生齊聲］對(duì)頂角相等.
［師］好，“對(duì)頂角相等”是對(duì)頂角的重要性質(zhì).
下面大家來議一議(出示投影片§2.1 C)
如圖(P52的上圖)所示，有一個(gè)破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個(gè)扇形零件的圓心角的度數(shù)，你能說出所量角是多少度嗎？你的根據(jù)是什么？
［生甲］根據(jù)對(duì)頂角相等，可以得出所量角的度數(shù)是40°.
［生乙］我利用補(bǔ)角可得出所量角的度數(shù)是180°－140°=40°.
［師］同學(xué)們能利用學(xué)過的有關(guān)事實(shí)解決實(shí)際問題，這很好.
下面我們來做一練習(xí)，以鞏固所學(xué)內(nèi)容.
Ⅲ.課堂練習(xí)
1.下圖中有對(duì)頂角嗎？若有，請(qǐng)指出，若沒有，請(qǐng)說明理由.
圖2－4
答案：圖(1)、(2)、(3)中沒有對(duì)頂角，因?yàn)檫@三個(gè)圖形中的∠1、∠2不是兩條直線相交所形成的.圖(4)中有對(duì)頂角，分別是∠1與∠3；∠2與∠4.
2.判斷對(duì)錯(cuò)
(1)頂點(diǎn)相對(duì)的角是對(duì)頂角.( )
(2)有公共頂點(diǎn)，并且相等的角是對(duì)頂角.( )
(3)兩條直線相交，有公共頂點(diǎn)的角是對(duì)頂角.( )
(4)兩條直線相交，有公共頂點(diǎn)，沒有公共邊的兩個(gè)角是對(duì)頂角.( )
答案：××× √
(舉反例說明)
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三個(gè)定義、三個(gè)性質(zhì)，現(xiàn)在來總結(jié)一下：
定義：
互為余角：如果兩個(gè)角的和是直角，則這兩個(gè)角互為余角.
互為補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和是平角，則這兩個(gè)角互為補(bǔ)角.
對(duì)頂角：像這樣直線AB與直線CD相交于O，∠1與∠2有公共頂點(diǎn)，它們的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.
注意：
(1)互為余角、互為補(bǔ)角只與角的度數(shù)有關(guān)，與角的位置無關(guān).
(2)對(duì)頂角的判斷條件：
性質(zhì)：
同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等.
對(duì)頂角相等.
Ⅴ．課后作業(yè)
(一)課本P52習(xí)題2.11、2、3
(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：P53~54
2.預(yù)習(xí)提綱
(1)直線平行的條件是什么？
(2)同位角的概念.
(3)會(huì)用三角尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線.
板書設(shè)計(jì)
§2.1臺(tái)球桌面上的角
一、臺(tái)球桌面上紅球滑過的痕跡
圖2－5
∠1+∠ADC=90°
∠1+∠BDC=90°
∠1+∠ADF=180°
∠1+∠BDE=180°
二、互為余角、互為補(bǔ)角的定義
三、互為補(bǔ)角、互為余角的性質(zhì)
同角或等角的余角相等.
同角或等角的補(bǔ)角相等.
四、對(duì)頂角的定義
五、對(duì)頂角的性質(zhì)：
對(duì)頂角相等.
六、練習(xí)
七、小結(jié)
【關(guān)鍵詞】平面幾何 添加輔助線 常用 方法
對(duì)于平面幾何來說，不論是證明題，計(jì)算題，還是作圖題，常常都涉及到添加輔助線的問題［1］。因此，怎樣添加輔助線對(duì)于解決平面幾何問題就顯得尤其重要。
本人在教育實(shí)習(xí)期間，發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生面對(duì)平面幾何問題，不知道去添加輔助線，有的學(xué)生即使添加了輔助線，但對(duì)問題的解決卻幫助不太大?；谝陨锨闆r，為了幫助同學(xué)們有一些清晰添加輔助線的常用方法，本文歸納了三角形、梯形、圓這三類幾何圖形中添加輔助線的常用方法，并介紹了這些常用方法在三類幾何問題中的具體應(yīng)用，具體如下：
1.在三角形、梯形、圓中添加輔助線的常用方法：
1.1 三角形
1.1.1 等腰三角形：連底邊上的中線或高或頂角的角平分線；
1.1.2 直角三角形斜邊上有中點(diǎn)：連中線;
1.1.3 斜三角形：①作中線、中位線；
② 過中點(diǎn)作延長線或平行線；
③ 截長補(bǔ)短法；
④連接兩點(diǎn)。
1.2 梯形
1.2.1 由梯形的小底兩端作大底的垂線，作直角三角形和矩形；（圖1）
1.2.2 由小底的一端作另一腰的平行線，或作另一對(duì)角線的平行線，作三角形和平行四邊形；（圖2，圖3）
1.2.3 延長兩腰交于一點(diǎn)，作相似三角形；（圖4）
1.2.4 由大底的一端作另一腰的平行線，作平行四邊形；（圖5）
1.2.5 過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線，作全等三角形；（圖6）
1.2.6 連小底一端與另一腰的中點(diǎn)，并與大底的一邊相交，作全等三角形；（圖7）
1.2.7 連兩腰的中點(diǎn)，作梯形的中位線；（圖8）
1.2.8 連梯形的對(duì)角線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形；（圖9）
1.2.9 過小底的中點(diǎn)分別作兩腰的平行線，構(gòu)造一個(gè)集中有兩腰及上下兩底差的三角形和平行四邊形。（圖10）
1.3 圓
1.3.1 作弦心距；
1.3.2 作過切點(diǎn)的半徑或弦；
1.3.3 過已知點(diǎn)作圓的切線；
1.3.4 作直徑上的圓周角；
1.3.5 作兩圓的公切線或連心線；
1.3.6 作兩相交圓的公共弦或連心線；
1.3.7 作輔助圓。
2.添加輔助線在具體解題中的應(yīng)用
2.1 在三角形中
2.1.1 利用等腰三角形三線合一添高
在等腰或等邊三角形中，若已知三邊，求面積或需證明底邊上的某些線段相等時(shí)，常通過添底邊上的高，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得高把原來的三角形分成左右兩個(gè)全等的直角三角形，利用直角三角形勾股定理或全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)解題。
例1［2］ 已知：點(diǎn)D，E在BC上，AB=AC，AD=AE求證：BD=CE
圖11
分析：已知條件中有兩個(gè)等腰三角形，而所證的兩條線段正好位于底邊上，通過添高利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得線段BH=HC, DH=HE。再根據(jù)等式性質(zhì)，命題即可得證。
證明：過A作BC邊的高，垂足點(diǎn)為H,
AB=AC,AD=AE，AHBC
BH=HC, DH=HE（等腰三角形三線合一）
BD=CE
說明：本題利用等腰三角形三線合一添高，使證明簡便。
2.1.2 直角三角形斜邊上有中點(diǎn)連中線
在直角三角形中，連斜邊的中線構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形，或便于運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
例2［3］ 已知BD和CE是三角形ABC的兩條高線，求證：線段DE的垂直平分線過BC邊的中點(diǎn)F。
圖12
分析：已知BDAC,CEAB,要證線段DE的垂直平分線過BC邊的中點(diǎn)F，只要在BC邊上取中點(diǎn)F，連接DF、EF利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，知EF=12BC=DF從而EFD是等腰三角形，易知DE的垂直平分線過點(diǎn)F。
證明：取BC的中點(diǎn)為點(diǎn)F，連接EF、DF
BD,CE分別是AC，AB上的高線
在RTBEC中，EF=12BC
在RTBDC中DF=12BC
EF = DF
EFD是等腰三角形
作DE的垂直平分線L交點(diǎn)為G，
等腰三角形的三線合一
線段DF的垂直平分線過BC邊的中點(diǎn)F。
說明：此題是在直角三角形中，連斜邊的中線構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形，運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，然后又利用等腰三角形的三線合一，問題便得解。
2.1.3 過中點(diǎn)作延長線或平行線
例3［3］ 試證三角形中位線性質(zhì)定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于底三邊的一半。
已知：E,F是三角形ABC兩邊AB,AC上的中點(diǎn)（圖13）
圖13
求證：EF∥=12BC
此題添加輔助線的方法有：
①延長EF至Q，使FQ=EF,連結(jié)QC,從三角形全等，在推到出EBCQ是平行四邊形；（圖14）
圖14
②過F作GS∥AB交BC于G，過A作AS∥BC交GS于S。從三角形全等，再推導(dǎo)出EBGF是平行四邊形。（圖15）
圖15
③過E,F任作兩條平行線的直線PS和RT，過A作ST ∥ BC,分別交前者S,T,再由SPRT是平行四邊形去證兩對(duì)三角形全等。（圖16）
圖16
說明：此題上面的三種添加輔助線的方法都是過中點(diǎn)作延長線或平行線得到平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)，問題便得解。
2.1.4 截長補(bǔ)短法
此法用于證明兩條線段之和或之差等于另一 條線段。截長法――在較長線段中截取一段等于圖中另一條線段；補(bǔ)短法――延長一條線段，使延長部分等于圖中另一條線段。
例4［6］ 已知在ABC中，AD平分∠BAC， ∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC
圖17
證明：在AC上截取AF=AB，連接DF
在∠ABD與∠AFD中
∠1=∠2(已知)AB=AFAD=DA(公共邊)
ABDAFD（SAS）
∠B=∠AFD，BD=DF（全等三角形對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊相等）
又 ∠B=2∠C
∠AFD=2∠C
又∠AFD=∠FDC+∠C（在三角形中，一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）
∠FDC=∠C
FD=FC（等角對(duì)等邊） 即 AB+BD=AC
說明：在上述幾何題型中，通過透析題、圖的條件及待證結(jié)論特征，一法補(bǔ)短，即延長AB 到點(diǎn)E，使AE=AC。一法截長，在AC上截取AF=AB。
例5［6］ 如圖18，AD為 ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD。
圖18
分析：要證AB＋AC＞2AD，由圖想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左邊比要證結(jié)論多BD＋CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。
證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE＝2AD
AD為ABC的中線（已知）
BD＝CD（中線定義）
在ACD和EBD中
BD=CD(已證)∠ADC=∠EDB(對(duì)頂角相等)AD=ED(輔助線的作法)
圖32
分析：所證的兩個(gè)角難以建立直接關(guān)系，不妨過點(diǎn)P作兩圓的公切線PE，則∠1=∠BAP，∠2=BCP，兩式相加得∠1+∠2=∠BAP+∠BCP。
而∠1+∠2=∠BPC，∠BAP+∠BCP=∠CPD，故∠BPC=∠CPD，問題獲證。
2.3.6 作兩相交圓的公共弦或連心線
在解決有關(guān)兩圓相交的問題時(shí)，最常見的輔助線是兩圓的公共弦或連心線，公共弦可連通兩圓中的弦、角關(guān)系，連心線則垂直平分公共弦。
例15［4］ 如圖33，O1與O2相交于A、B，過A的兩條直線與O1、O2分別交于C、E和D、F，設(shè)直線CE和FD交于G，求證：∠G=∠BEF+∠BFE。
圖33
分析：連結(jié)AB，則∠ECA=∠EBA，∠GDC=∠ABF，所以∠ECA=∠EBA，∠GDC=∠ABF，所以∠ECA+∠GDC=∠EBF。又∠GCD+∠CDG+∠G=180°，∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°，從而可使問題獲證。
2.3.7 作輔助圓
若能判斷出某些點(diǎn)在同一圓上時(shí)，往往可構(gòu)作輔助圓，從而利用圓的性質(zhì)促使問題的解決，注意有時(shí)為了圖形的簡潔，輔助圓可以不畫出來。
例16 如圖34，從圓心O向圓外的直線XY作垂線OA，A為垂足，過A的割線交O于點(diǎn)B、C，過B、C兩點(diǎn)的切線交XY于D、E，求證：DA=AE。
圖34
分析：要證DA=AE，由OADE知，只須證OD=OE，因B、C為切點(diǎn)，可連結(jié)OB、OC，問題轉(zhuǎn)化為證明RtDBO≌RtECO。又OB=OC，故只須找出另一組等量即可，由∠OBD=∠OAD=90°，知O、B、A、D四點(diǎn)共圓，可得∠ODB=∠OAB，由∠OCE=∠OAE=90°，知O、A、E、C四點(diǎn)也共圓，可得∠OAC=∠OEC，故∠ODB=∠OEC，問題獲得解決。
總之，作輔助線的目的是構(gòu)筑條件和結(jié)論的通道――位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，以充分挖掘圖形的性質(zhì)，使隱含條件明朗化，它相當(dāng)于代數(shù)問題中的引入?yún)⒆兞俊?/p>
3.總結(jié)語
由上我們可以看到在不同類型題目中，輔助線扮演著不可替代的角色，添加恰當(dāng)輔助線會(huì)使我們的解題更加得心應(yīng)手，原來不容易證明或求解的變得更容易證明或求解了，總之添加輔助線要求我們?cè)谑炀氄莆账鶎W(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上再利用一些常用的方法去做艱苦的探索，才能添加出恰當(dāng)?shù)妮o助線。
通過寫這篇論文筆者也體會(huì)到了添加輔助線的幾點(diǎn)小小心得。①仔細(xì)觀察，聯(lián)系自己所學(xué)過的知識(shí)，是否能把已知或求證轉(zhuǎn)化為我們平常所熟悉的知識(shí)上去；②善于對(duì)題目分析、轉(zhuǎn)化；③對(duì)于一些常用的定理及其逆定理，定理的性質(zhì)要求熟練掌握。要學(xué)會(huì)積累和總結(jié)一些解題的常用方法；④要勇于嘗試，一次不行再做一次，此路不通走另一條路；⑤添加輔助線在平面幾何解題的過程中是有很大幫助的，因此，掌握一些添加輔助線的常用方法是必要的。
本人通過本文的寫作，期望能對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何有所幫助，也期望能對(duì)其教學(xué)有所幫助。
參考文獻(xiàn)
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［2］ 楊榮祥.數(shù)理化自學(xué)從書平面幾何.上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1963.10版.
［3］ 梅向明.初中幾何第二冊(cè)學(xué)習(xí)手冊(cè)下冊(cè).農(nóng)村讀物出版社,1987.12版.
［4］ 曾廣欽,李輝.怎樣作輔助線.黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社,1981.12版.
一、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)思考
課堂上，充分展示數(shù)學(xué)的親和力，撥動(dòng)學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的原發(fā)動(dòng)力，使學(xué)生樂學(xué)、會(huì)學(xué).
設(shè)立問題情景，喚起學(xué)生的參與意識(shí)，參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中來.如在教平行線的判定方法時(shí)，我和學(xué)生有這樣一段對(duì)話：師：如果兩條直線被第三條直線所截，同位角相等，那么兩直線平行嗎？生：平行.幾乎是脫口而出.師：為什么呀？生：兩條直線平行，同位角相等.師：對(duì)頂角相等，那么相等的角是對(duì)頂角嗎？這時(shí)，到底平不平行呢？學(xué)生的好奇心被撥動(dòng)了，開始想辦法證明自己的想法對(duì)不對(duì).
讓學(xué)生自己去尋找問題的答案，體驗(yàn)克服困難、合作交流后，獲得成功的快樂.當(dāng)學(xué)生的求知欲被激起時(shí)，我提示說：以往經(jīng)驗(yàn)告訴我們，運(yùn)用前面所學(xué)知識(shí)，可以解決這個(gè)問題.那“同位角相等，兩直線平行”正確的依據(jù)是什么呢？大家想一想、議一議吧.有的同學(xué)說：畫平行線的方法可以說明，因?yàn)槠揭迫前?，?shí)際上就是利用了一組同位角相等.有同學(xué)馬上反駁，這不能作為說理的依據(jù)，因?yàn)樗皇嵌x，不是定理，也不是基本事實(shí).經(jīng)過一段時(shí)間的討論交流，同學(xué)們終于想到利用過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行這條性質(zhì)，證明了同位角相等，兩直線平行.同學(xué)臉上露出了成功的喜悅.成功是最好的激勵(lì)，設(shè)計(jì)好探索數(shù)學(xué)知識(shí)的臺(tái)階，適當(dāng)降低難度，讓學(xué)生形成愉悅的情感體驗(yàn)，更能激活學(xué)生的思維，增強(qiáng)克服困難的信心，對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)非常有好處.
設(shè)計(jì)貼近學(xué)生生活的練習(xí)，拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離，讓學(xué)生也感覺“數(shù)學(xué)好玩”.學(xué)習(xí)同位角相等，兩直線平行后，我出了這樣一道題：現(xiàn)在老師要在墻上出一期墻報(bào)，要檢查一下墻報(bào)的邊框是否與墻邊平行，怎么檢查呢？你能幫忙解決嗎？ 片刻之后，甲同學(xué)站起來說：我利用平移可以檢查出邊框是否平行.[HJ1.45mm]理由是：[TP8CS11.TIF，Y#]平移不改變直線的方向.乙同學(xué)說：我可以畫一條線與邊框、墻邊相交，再量一組同位角就可以檢查出來了，理由是：同位角相等，兩直線平行.丙同學(xué)說：我認(rèn)為可以運(yùn)用掉鉛錘線的方法，將鉛錘線的一頭固定在墻報(bào)豎的邊框上，鉛錘自由落下，利用直角三角板量一下鉛錘線與橫的邊框是否為直角就可以了，我的想法是：用同位角相等，兩直線平行檢查橫邊與墻邊是否平行，用垂直于同一條直線的兩條直線平行來檢查豎的邊框與墻邊是否平行.學(xué)生情感態(tài)度的發(fā)展，為學(xué)生帶來了正能量，學(xué)生慢慢地學(xué)著思考，喜歡思考，不同層次的學(xué)生會(huì)有不同深度的思考，也就有不同的收獲.
二、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣
學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，是以后學(xué)好數(shù)學(xué)的前提條件之一.形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣非常重要，在培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣方面，我注意了如下幾點(diǎn)：
（1）養(yǎng)成自學(xué)習(xí)慣.上課前要求學(xué)生用5分鐘時(shí)間預(yù)習(xí)，找出自己不理解的地方，想不明白的問題，帶著問題來學(xué)習(xí)，能找出問題的給予贊揚(yáng)和鼓勵(lì).慢慢地，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)自學(xué)能提高學(xué)習(xí)效率，也就愿意堅(jiān)持下去了.
（2）養(yǎng)成審題的習(xí)慣.審題是解決問題的開始，也是提高解題速度的先決條件，所以，不論是計(jì)算題、應(yīng)用題還是幾何題，都需要審題.計(jì)算題要看題中包含哪些運(yùn)算，有什么特征，怎樣運(yùn)算簡便.應(yīng)用題要看有哪些已知條件，求什么，采用什么方法分析問題和解決問題最好.幾何題要把看圖和看題結(jié)合起來，要說明什么問題，有哪些條件，根據(jù)什么理論依據(jù)可以說明清楚，在審題的過程中，學(xué)生也學(xué)會(huì)了嚴(yán)謹(jǐn).
（3）養(yǎng)成歸納總結(jié)的習(xí)慣.
歸納總結(jié)的過程是一個(gè)整理知識(shí)體系，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，形成數(shù)學(xué)能力的過程，經(jīng)常強(qiáng)調(diào)學(xué)生自己去歸納總結(jié)，這使學(xué)生記憶效果明顯，認(rèn)知結(jié)構(gòu)清晰，學(xué)過的知識(shí)不易遺忘.如學(xué)平行線的判定方法一中的例2后，我問：通過例2的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？答案很多，總結(jié)一下：一是弄清平行線的性質(zhì)和判定的區(qū)別，二是悟出數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，證明兩線平行可轉(zhuǎn)化為找兩角的關(guān)系，證明兩角相等可轉(zhuǎn)化為找兩線的關(guān)系，三是學(xué)會(huì)推理要有依據(jù)，有邏輯性.這樣，數(shù)學(xué)素養(yǎng)會(huì)大大提高.
三、指導(dǎo)學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法
一、數(shù)學(xué)教學(xué)提問案例與分析
案例1 在講“探索平行線的性質(zhì)”時(shí)，教師可以這樣提問并引入教學(xué)：
首先，教師播放一組幻燈片，內(nèi)容是：供火車行駛的鐵軌、游泳池中的泳道隔欄、橫格紙中的線.提問：日常生活中我們經(jīng)常會(huì)遇到平行線，你能說出直線平行的條件嗎？讓學(xué)生針對(duì)問題，回顧生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行回答.然后，直接讓學(xué)生針對(duì)問題進(jìn)行思考：(1)同位角相等，兩直線平行；(2)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；(3)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.學(xué)生回答問題后，教師再進(jìn)一步提出本節(jié)課的問題：若兩直線平行，那么同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角各有什么關(guān)系呢？從而引出課題――探索平行線的性質(zhì).
分析：這樣的課堂提問看似平淡，但是它符合實(shí)效性原則的要求.首先，問題結(jié)合學(xué)生實(shí)際生活，提取的是學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與感性認(rèn)識(shí)，符合從感性上升到理性的思維規(guī)律，容易把學(xué)生思維引上路.其次，結(jié)合課本的教學(xué)目標(biāo)與要求，用最短的提問實(shí)現(xiàn)了思維向教學(xué)內(nèi)容的轉(zhuǎn)換，成本是低的，教學(xué)要求達(dá)到了.
案例2 在講“平面直角坐標(biāo)系”時(shí)，教師可設(shè)計(jì)如下問題：
（1）給一個(gè)點(diǎn)A，你能夠找到它的坐標(biāo)嗎？
（2）點(diǎn)A向右移4個(gè)單位，得到點(diǎn)A1，你知道它的坐標(biāo)嗎？把點(diǎn)A向上移4個(gè)單位得到哪個(gè)點(diǎn)呢？把點(diǎn)A向左或向下移3個(gè)單位呢？觀察坐標(biāo)的變化，發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
（3）矩形ABCD，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)如圖，點(diǎn)C的坐標(biāo)是什么？
（4）矩形改為平行四邊形，坐標(biāo)又在哪里？如何去找？
（5）改變平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)C坐標(biāo)在哪？
（6）把平行四邊形位置改變一下，有什么不一樣？有沒有不變的地方？把點(diǎn)C坐標(biāo)標(biāo)出來.
（7）（此時(shí)如學(xué)生沒有回答“用平移”）教師繼續(xù)問：能不能把C看成D平移呢？
分析：這個(gè)提問設(shè)計(jì)既兼顧了時(shí)效性，也考慮到了層次性的問題.這樣的提問，就是在學(xué)生的思維不夠深入、全面，或者偏離教學(xué)目標(biāo)要求的情況下，及時(shí)地給予引導(dǎo)與點(diǎn)撥，把學(xué)生的思維引向教學(xué)目標(biāo)的方向，把思維引向深入或者促進(jìn)思維的擴(kuò)散.
二、對(duì)課堂提問有效性的思考
1．教師的定位問題――提問中低調(diào)的教師
在教學(xué)中，教師要用問題引導(dǎo)學(xué)生思維，但是問題并不要多，而是盡量地少，把問題的提出、思考、解決交給學(xué)生，讓學(xué)生合作探究.教師只是在課前問題引導(dǎo)設(shè)計(jì)時(shí)、在學(xué)生的思維遇到問題時(shí)、在方向發(fā)生偏差時(shí)，適時(shí)地拋出一個(gè)問題，起到點(diǎn)撥的作用.在案例1中，教師的提問顯得不突出，但是很自然.教師的低調(diào)正是對(duì)教育規(guī)律的高度把握以及對(duì)課堂學(xué)生思維的高度掌控力的表現(xiàn).
2．問題的趣味性――問題中隱藏的生活
從案例中我們可以發(fā)現(xiàn)，其中的問題設(shè)計(jì)具有層次性.這些層次性的起點(diǎn)在哪里呢？就是從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生感受平行線在生活中的普遍應(yīng)用.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生的思維向縱深方向發(fā)展.在教學(xué)中，案例1與2從學(xué)生的生活知識(shí)出發(fā)，讓學(xué)生對(duì)生活中的實(shí)例進(jìn)行思考，這樣的提問不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.