時間：2023-06-25 16:19:40
導語：在分數乘除法的規(guī)律的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領您探索更多的創(chuàng)作可能。
1.學生解決應用題時出現困難，產生心理障礙的原因。
1.1 教學中忽略了模仿練習和習題中的“例題”。新教材的解決問題分散在各單元教學中，題目包含了老教材中大部分的例題，并增加了新知識，但題量較少，因此，從例題到習題變化較大，例題是一種題，習題出現了多種題目。這樣的優(yōu)勢是能促使學生關注解決問題的策略，形成解題計劃，發(fā)展數學思維能力。但問題是少了必要的模仿鞏固，教學中我有時也忽略了這個問題；某些題目在教材上是首次出現，我有時也沒有按照例題來教學，學生實在很難掌握。部分學生在解決新問題時出現思維障礙，久而久之在解決問題方面也形成了心理障礙。
1.2 忽略了分析數量關系，解決問題時較急躁。新教材中的解決問題重視情境的創(chuàng)設，重視素材的現實性和趣味性，呈現形式圖文并茂，鼓勵學生根據已有的經驗解題，只出現一兩句關鍵的數量結構。所以，教學中，我們更多是關注情景創(chuàng)設，關注信息收集，而忽略了數量關系的分析。
1.3 弱化了解題策略的引領。新教材在解決問題的教學中，重視從學生的生活經驗出發(fā)。教學中，我只重視了鼓勵學生利用已有的生活經驗進行解題，弱化了根據題目的特點和學生的思維發(fā)展水平，使學生掌握一些常用的解題策略。
1.4 忽略了認知結構的形成。教學中，只重視聯系學生經驗，重視情境創(chuàng)設，注意信息收集，引導學生自主探索方法，忽略了認知結構的形成。表現在以下兩個方面：一是，復雜情境的干擾，創(chuàng)設的情境過于花哨，學生受復雜信息干擾過多，不能關注問題的關鍵；其次是結構訓練的缺失，新教材中的解決問題是分散的，教學中有被教材牽著鼻子走的現象，有時有就題論題的教學現象，不能使數學知識結構化。
2.提高學生解決應用題能力，排解心理障礙的策略。
針對以上的問題，我認為應用題部分的教學，除充分利用新教材的優(yōu)點——重視聯系學生經驗，重視情境創(chuàng)設，注意信息收集，引導學生自主探索方法等。同時，也應傳承傳統應用題的教學精粹?，F主要針對教學中的缺失，談談如何改進應用題教學：
2.1 透徹理解數量關系。
2.1.1 牢固掌握基礎知識。理解和掌握數量關系是解答應用題的前提。應用題與式題的最大區(qū)別是：它不用符號而是用文字表達數量之間的關系。學生只有把應用題中用問題表達的基本數量關系弄清楚，才有可能正確列式。而學生要透徹理解數量關系，首先必須牢固掌握一些基礎知識，包整數加、減、乘、除的意義，以及使用范圍。特別是加減法中，已知較小數及兩數的和或差求較大數，已知較大數及兩數的和或差求較小數，以及乘除法中，關于1倍數的認識；加與減，乘與除互為逆運算關系；常見的乘除法三量關系，如單價、數量、總價等；一些名詞術語的確切含義，如：和、差、積、商、擴大、縮小、增加、減少、增加到、減少到等；每一個概念、性質、公式等。
2.1.2 夯實簡單應用題的教學。除牢固掌握這些與理解應用題數量關系有著直接關系的基礎知識外，還要加強簡單應用題的教學。了解簡單應用題的結構條件和問題之間的相依關系是解答復雜應用題的基礎。所謂應用題中的數量關系，具體說，也就是已知條件和問題之間的關系，幾個已知條件之間的關系。簡單應用題的教學，可以使學生熟練地掌握多種數量關系。因此，要提高學生解答應用題的能力，就必須在簡單應用題的教學上下功夫，對學生嚴格要求，嚴格訓練，不僅要求學生懂得題意，能正確列式，而且要求能用簡單明確的語言講清數量關系。在這方面 ，可以采取很多辦法。如：在學生理解了加減乘除的意義及應用范圍后，讓學生編題、變題、填條件、填問題、講題畫圖等。這樣做，不僅可以對各種數量關系進行區(qū)別、對比、綜合、歸納，加深對這些數量關系的理解，同時，還可以學習一些推理方法。簡單應用題的教學方法 很多，應當結合學生的實際情況，選擇有效的教學方法，不能強求一律。但無論采取哪種教學方法，都應達到兩個要求，一是能根據兩個已知條件提出各種問題；二是能根據一個問題，找到與問題有關聯的已知條件。
以上所說的加強基礎知識教學和簡單應用題的教學是透徹理解應用題中數量關系最關鍵的兩點，這兩點突破了，就為學生理解復雜的應用題的數量關系創(chuàng)造了十分有利的條件。復雜應用題由于已知條件和問題之間的關系較遠，中間隱蔽了一些條件，所以，分析數量關系比較困難。為此，需要引導學生認真讀題，弄清題意，把條件分類，再分析數量關系。
2.2 培養(yǎng)推理的能力，學會推理的方法。一般說，分析數量關系的過程，就是學生判斷推理的過程。但由于題目變化很多，學生在解題時往往感到茫然，無從下手，所以必須使他們掌握推理方法。
分析法是由未知推得已知的方法，它的思考過程是從問題開始推導，即要解答所求的問題需要什么直接條件，再以此類推下去，直到所需的條件都是題中已給的條件時，問題才算解決。
綜合法是由已知推向未知的方法，它的推導過程是從已知條件開始，一步步求出解答問題所需要的未知條件，最后求出問題。
這兩種方法不是孤立的，是互相關聯的。由問題入手進行推導時，雖然主要是根據問題找條件，但同時也要思考，找出的條件能不能解答所求的問題。同理，由條件入手思考時，也要考慮所求的問題，否則推導就失去了方向。至于應該采取哪種方法進行推理，要因題而異，靈活應用。
另外，我們在教學中還可以應用其它一些方法進行推理：
（1）列關系式。它比較適用于簡單應用題。如：求一個數是另一個數的百分之幾的問題。學生往往把除數和被除數顛倒了，但只要一列關系式就可以解決了：乙比甲多百分之幾，可列關系式為：乙比甲多的數÷甲
（2）畫圖推理。它本身類似綜合法，但它非常直觀，特別是解答復雜的倍數關系或分數乘除法應用題時，通過畫圖能使學生一目了然，常常能起到恍然大悟的作用。如前所述的題目，一畫圖，學生便很容易列式解答：
總之，推理方法很多，但都源于綜合法和分析法，前面列舉的幾種就是如此。所以，運用綜合法和分析法進行推理是解答應用題的基本方法。
2.3 注重揭示應用題的規(guī)律。任何事物都有它本身的規(guī)律，數學作為一門自然學科，也同樣如此。揭示規(guī)律才能開闊學生的思路，受到舉一反三的效果。揭示規(guī)律通常采用的方法有兩種：
一種是對比的方法。如分數乘除法應用題，題目本身差不多，學生在判斷時卻經常出錯。如何揭示它的規(guī)律呢？在講完分數乘除法，經過大量練習后 ，老師可以給三個已知條件，讓學生組成三個問題，研究三個問題之間的關系。
三個條件：甲儲蓄400元，乙儲蓄500元，甲是乙的4/5
三個問題：
（1）甲儲蓄400元，乙儲蓄500元，甲是乙的幾分之幾？
（2）甲儲蓄400元，甲是乙的4/5，乙儲蓄多少元？
（3）乙儲蓄500元，甲是乙的4/5，甲儲蓄多少元？
三個算式：400÷500=4/5 400÷4/5=500（元） 500×4/5=400（元）
引導學生發(fā)現分數乘除法應用題的三種基本類型，就是乘法運算和它的逆運算。把這三種類型應用題不斷同時出現，讓學生反復區(qū)別它們的不同特點后，再總結規(guī)律。使學生從模仿（鞏固基本數量結構）到變化（建立問題模型），達到舉一反三，觸類旁通的實效。
另一種是用矛盾的轉化揭示規(guī)律。如：復雜應用題可通過轉化，分解成幾道一步計算的應用題來解，幾個小題分別解決了，大問題也就解決了；反之，也可以把幾道一步計算的應用題合并成一道復合應用題解。在相互轉化中，引領學生了解簡單應用題與復合應用題的關系，掌握復合應用題的結構，從而提高解決問題的能力。
2.4 學會靈活運用所學的知識。學生掌握某些解答應用題的規(guī)律不是最終的目的，更重要的是能運用知識解決實際問題。所以，能否會靈活應用所學知識，是衡量一個學生能力高低的標志。靈活不是單純的多練就能奏效的，關鍵在于學生對某些問題理解程度。對問題本質認識越深刻，運用起來也就越靈活。因此，要把知識教活，必須在“懂”字上下功夫，就必須在揭示知識本質上下功夫。
2.4.1 充分利用知識的內在聯系，使學生逐步加深對概念本質特征的認識。學生解答分數乘除應用題時常出現這樣的錯誤：把分數乘除法中“÷”的題做成“×”，其原因是學生總用整數乘除法的規(guī)律去理解分數問題。有些學生不懂得求一倍數用除法，求一個數的幾倍或幾分之幾是多少用乘法，總是用整數乘除法中越乘越大，越除越小的規(guī)律去套分數應用題，結果是乘除混淆。由于學生分數乘除法的意義這一概念的本質特征沒有真正理解，所以經常出錯誤。因此，教學中，應抓住知識的內在聯系，充分揭示分數乘除法關系的本質特征，做到溫故而知新，逐步深入。
2.4.2 留有余地，加強練習。要使知識轉化為能力，還要加強練習。針對新教材練習的特點，應適當增加練習，但一定要注意針對性和靈活性。如針對新教材中新題在習題中出現，必須按例題來教；新題教后，應適當增加模仿練習，鞏固技能等。至于題目中靈活性，可采用一題多變、一題多解、條件適當變難等。但須注意的是：①一題多變，要多而不亂。是指題目的變化要用同一件事，從不同的角度出發(fā)，提出不同的問題，盡管題目多但不亂，否則，一個題目說一件事，就容易亂。②一題多解，要比較優(yōu)劣。③條件適當變難，要難而不繁。是指變化一個或兩個條件，使題目有一定難度，而不是變化一個或幾個條件 ，再引出一些條件使題目很復雜。只有有效把握題目變化的程度，才有可能使學生所學的知識逐步深化，從而達到靈活運動的目的。
總之，應用題的教學是新課程改革中面臨的新問題，我們應整合應用題教學的優(yōu)點，腳踏實地，才能收到實效。
參考文獻
[1] 繆玉田編著：《北京市數學教學經驗匯編》，化學工業(yè)出版社，1982年版。
[2] 《數學課程標準》（實驗稿），北京師范大學出版社，2002年版。
錯誤一：乘除法混淆;
如口算 4.5×0.01= 4.5÷0.01= 這兩題時，常常有學生將答案寫反了。我想出現這樣的錯誤，是因為學生對于小數乘、除法的算法不太明確：小數乘法是先看成整數乘法計算，最后根據因數中小數的位數點小數點;小數除法，先根據商不變的規(guī)律將除數變成整數，再進行計算。還有的學生在計算一個小數除以整數時，在豎式上杠掉了被除數的小數點。這些都是因為沒有很好的理解商不變規(guī)律對計算小數除法的作用。
錯誤二：商中間有0;
在讓學生計算3.66÷1.2時，不少學生得數網為3.5，觀察他們的豎式計算過程，發(fā)現原來是個位上商3后，同時落下6和0兩個數字。其實，這個算法與前面研究的整數除法中商中間有0的情況是相似的。數學學習是循序漸進的過程，每一個前期所學的知識都會對后續(xù)學習產生影響。
一、 “數的運算”中轉化思想滲透的內容
數學思想是以數學知識為載體的，而小學數學教材主要以知識結構作為編排體系，數學思想方法分散于整個教材之中，小學生很難自主地從教材中挖掘出來，而“數的運算”是“數與代數”領域中所占分量最大的教學內容和數學學習的重要基礎，因而，教師需要認真地分析教材，研深讀透，看到教材背后隱含的東西，這樣才能在教學過程中有效地滲透數學思想方法。筆者對蘇教版新課標小學數學教材進行了認真系統的研讀，歸納出了“數的運算”蘊含的轉化思想。
從表1[2]可以看出，“數的運算”的整體性很強，新舊知識之間的聯系非常密切，新知識大都是建立在舊知識的基礎上。
加減計算：20以內整數的加減100以內整數的加減多位整數的加減小數加減分數加減。其中20以內整數的加減計算是基礎。如32+51可以轉化成3+5和2+1兩道十以內數的計算，83-64可以轉化成13-4和7-6兩道計算。多位數計算也同樣。分數加減計算如2/9+5/9就是2個1/9加5個1/9，就是（2+5）個1/9，最后也可以看作是20以內數的計算。異分母分數加減可轉化成同分母分數加減。小數加減亦然，只需在小數點對齊的基礎上按整數加減法計算法則計算即可。
乘除計算：乘數是一位數乘法多位數乘法小數乘法分數乘法。一位數乘法口訣是基礎，多位數乘法都可以把它轉化成一位數乘法。除數是一位數的除法多位數除法小數除法分數除法。除法中除數是一位數除法的計算方法是基礎，多位數除法也都可以把它轉化成一位數除法。小數乘除、分數乘除都可以轉化為整數乘除，例如計算3.6×0.18，先將它轉化成36×18，再根據小數的性質和積的變化規(guī)律，最終得出結果。
同時，在“數的運算”過程中，加法與減法之間可以轉化，乘法與除法之間可以轉化。幾個相同加數連加的和，可以轉化成乘法來計算。被減數連續(xù)減去幾個相同的減數，差為零，可以轉化成除法來表示。
二、 “數的運算”中轉化思想滲透的層次
由上述分析可以看出，“數的運算”內容整體性強、新舊知識聯系密切，同時，各年級教材中對轉化思想的滲透具有一定的層次。
在低年級，教材只在解決問題的過程中，讓學生初步感悟通過轉化能夠解決新問題，就可視為目標達成，并未進行拓展。例如，在計算教學的起步階段，學習“20以內的加法”時，例題為9+4=？教材中只用直觀、具體的方式將“湊10法”這一轉化思想方法的過程呈現出來，以達到解決問題的目的就行了，并不十分深究其中的原因。
到了中年級，教材中沒有出現關于轉化思想的學習章節(jié)，這時就需要教師在引導學生通過轉化解決問題的過程中，一方面要讓學生感受轉化的過程及其帶來的益處，另一方面還要適時對轉化思想加以概括，使其在學生心中留下深刻的印象。如在三年級下冊“（一位）小數的加減”的教學過程中，教師要通過列豎式，總結小數加減就是要“小數點對齊，從低位算起”來滲透轉化思想，并明確告訴學生：是“轉化”讓我們這么輕松地解決了小數相加減的問題。再如四年級下冊口算125×72時，我們可將它轉化成125×8×9，從而避免繁瑣的筆算。 “轉化”是幫助我們解決問題的好方法，今后我們遇到新問題無法解決時，就想想能否把它轉化為我們學過的知識來解決，進而讓學生體會到“轉化”真是個好方法。
高年級的學生，經過了中低年級時對轉化思想的長期性滲透，在遇到“多位數乘除法”、“異分母分數加減法”等新問題時已經能自覺地在頭腦中搜索與該問題有關的舊知識，來幫助他們解決新問題，這時教材中也會出現引導學生對轉化思想進行自我總結、概括的話語。如在教學小數加減法時，教材中提出：“小學加、減法與整數加、減法在計算時有什么相同點？計算小數加、減法要注意些什么？”學生通過對教材中這一問題的思考與回答，加深了學生對轉化思想的體會與理解，有助于他們在實踐中靈活運用。
在“數的運算”中，轉化思想的滲透，往往伴隨著“數形結合”等思想的運用而呈現出來，以幫助學生更好地理解、更快速地解決問題。當然，在教材中滲透轉化思想的最終目的也是要使學生自己體會轉化思想的意義和價值，并掌握轉化這一思想方法。而應用轉化思想的過程，實際上是一個完成復雜向簡單、抽象向直觀、困難向容易、陌生向熟悉、未知向已知轉化的過程，因而在教學中，教師應明確此目標。
參考文獻
【關鍵詞】高段；計算能力；策略；成績
一、起 因
數學計算對這些孩子來說并不存在很大的困難，只要“跳一跳”還是能摘到“葡萄”的。我們選擇高段學生的作業(yè)及考試進行了認真仔細的分析，從學生計算出錯的情況，暴露出學生在計算方面存在的一些問題，歸納起來主要有以下幾個方面：
1.感知粗略，造成差錯。
有的同學計算時往往“抄錯題”，如：7.9×0.68=把因數7.9錯抄成7.6，有的把豎式中的計算結果5.372寫到橫式中時錯抄成5.327。
2.技能欠缺，形成知識性錯誤。
① 概念模糊不清。如：分數除法計算中， ÷ =會出現 ÷ = × = ，更有甚者學了分數除法計算法則后在計算分數加減法計算試題時也全部用分數除法的方法來計算了。
② 計算法則錯誤。如：分數乘法計算中，例如 ×10=會出現 ×10= ， ×2與 × 相等。也會出現 × = 的結果。
3.思維定勢的作用。
定勢是的一種，是一定心理活動所形成的準備狀態(tài)。計算中受一定的思維“慣性”影響，如看見625÷25×4先算25×4，不恰當地使用了所謂“簡便算法”，造成運算錯誤。
4.習慣不良，造成無謂失誤。
部分學生由于平時計算比較隨便，如字跡潦草，草稿紙書寫隨便，計算前不注意審題，計算后不估算、不檢查，導致計算中出現錯誤。
有專家認為：“學習一個數學概念、原理、法則，如果能組織起適當的有效的認知結構，并使之成為個人內部的知識網絡的一部分，那么學生才會產生他們自己的數學理解?！?/p>
二、 歸 因
我一直從事小學高段數學的教學，對學生在數學學習能力方面進行了觀察，學習有困難學生不僅計算、圖形、應用題理解上面都很欠缺，但是想要提高他們的空間思維和應用題理解上還是有一些困難?！稑藴省分赋觯骸安煌娜嗽跀祵W上得到不同的發(fā)展”。因此覺得提高他們的計算能力，讓計算成為他們的矮樹枝，給予他們成功的體驗，拾回他們的學習興趣，對提高他們的學習責任心和學習成績會有一定的效果。究其原因，主要有以下幾方面：
1.環(huán)境因素
計算能力在日常生活中的應用性。它包括口算、估算、筆算能力，它在日常生活中有很強的應用性。
2.師源問題
縱觀全國小學數學試題，涉及計算內容的題目在一份試卷中均占85%以上。從這個意義上說，加強計算教學，有效地提高計算的正確率是提高小學數學教學成績的一個非常重要的方面。
3.學科特點
計算在小學數學教學中占據著十分重要的地位，是小學數學內容的重要組成部分，是學習數學的基礎。正確計算是學生學習數學時必須具備和掌握的一項基本功，
4.個體需求
教師在教學中如果能精細培養(yǎng)學生的計算能力，讓他們體會到成就感，從而培養(yǎng)了他們的自信心和自尊心，激勵他們積極爭取，努力向上，對于他們的人生都有積極的意義。
三 、 策 略
如何提高學生的計算能力呢？首先要調動學生學習的積極性。主要是讓他們理解一些計算中的算理，合理地運用一些運算中的定律、性質，形成計算技能。加強口算和估算能力的培養(yǎng)，養(yǎng)成認真審題和檢驗的良好習慣，提高計算的效率和正確率。
1.培養(yǎng)口算能力，切實打好基礎
教育心理學常識告訴我們，只有在強烈的動機和濃厚的興趣驅使下，學習活動才能獲得良好效果。就能在較長時間里集中注意力，并不斷體驗到學習的快樂，體驗到成功者的自信。作為教師必須為這些學生找到快樂學習的源泉。
教學情況表明，口算是筆算、估算和簡算的基礎，是數學的重要組成部分。它有利于訓練學生思維的敏捷性，能激發(fā)學生學習興趣。一個學生的計算正確率的高低和計算速度的快慢，與他口算能力的強弱是成正比例的。具體從以下幾個方面進行訓練：
（1）記憶性訓練
高年級計算內容中一些常見的運算在現實生活中也經常遇到，通過強化記憶訓練來解決，可以提高計算效率。
（2）針對性訓練
小學高年級數學計算的主體形式已從整數轉到了分數。通過分析歸納，異分母分數加（減）法只有三種情況，每種情況中都有它的口算規(guī)律，問題就迎刃而解了。
① 兩個分數，分母中大數是小數倍數的。如“ + ”這種情況，口算相對容易些，方法是：大的分母就是兩個分母的公分母，只要把小的分母擴大倍數，直到與大數相同為止，然后按同分母分數相加進行口算：
② 兩個分數，分母是互質數的。這如 + =，口算過程是：公分母是5×7=35，分子是（2×7）+（5×3）=29結果是 。如果兩個分數的分子都是1，則口算更快。
③ 兩個分數，兩個分母既不是互質數，大數又不是小數的倍數的情況。
（3）熟練性訓練
① 視算式口算訓練：這種方法在課堂教學中使用最為廣泛，由教師直接出口算卡片，讓學生在規(guī)定時間內回答出結果。
② 編題互檢式口算訓練：在師生共同完成新知識點后，讓學生根據所學內容，編出相應的口算練習。
③ 聽算式口算訓練：不出示口算練習，取而代之的是由教師口頭讀題，開火車式要求學生口答。
總而言之，不同的形式都會產生不同的效果，對口算訓練始終保持著濃厚的興趣，從而進一步提高對學習數學計算的興趣。
2.養(yǎng)成良好習慣，提高計算正確率
（1）審題習慣
一般計算題審題的方法是兩看兩思。即：先看一看整個算式，是由幾部分組成的，想一想，按一般法則應如何計算；再看一看有沒有某些特別的條件，想一想能不能用簡便方法計算。學生按照這些方法去做，就能使計算有了初步的保證。
（2）驗算習慣
要讓學生知道檢驗的方法，如加法（乘法）的驗算用交換加數（因數）的位置再算一遍，除法的驗算用商乘除數的方法。即四則混合運算的關系一定要熟練，方程的檢驗則可用代入法，還要學會檢查方法：一般是一對抄題，二對豎式，三對計算，四對得數。
3.重視個體差異，實施分層教學
孔子提出育人要“因材施教，因人而異”，每個學生都存在著兩種發(fā)展水平，一是現有水平，二是潛在水平，它們之間的區(qū)域被稱為“最近發(fā)展區(qū)”。
（1）目標分層：例如學習“小數乘除法”，單元基本目標是：初步體會小數乘除法的意義，探索并理解計算方法。發(fā)展目標是：能正確進行相關的計算，解決一些簡單的實際問題。探索并掌握由小數點位置移動引起的小數大小的變化的規(guī)律，并能應用這一規(guī)律口算相應的式題或解決一些簡單的實際問題。
一、把握好加減乘除意義建構中的“合”與“分”
縱觀計算概念，最基本、最原始的概念莫過于加減乘除的意義。它既是整個計算概念體系中的起始點，對整個體系起著統領的作用，又是數學幾大體系的綜合點，把不同體系的知識融會貫通，增強知識的“生成力”。加減乘除四則計算，往深處想，其實就是建立在“合”和“分”的思想上，只不過略有區(qū)別而已?！昂稀笔窍鄬Α胺帧倍缘?，“分”是相對于“合”而言的，它們既互相聯系，又互相依存、互相制約。如下圖所示：
在計算概念的形成過程中，教師要抓住學生學習概念的起點，及時指導學生對一些相關概念進行對比、歸類，揭示概念之間的內在聯系，找出本質區(qū)別與聯系，使計算概念系統化、規(guī)律化。
如“除法的初步認識”是一節(jié)很重要的基礎概念課，教材的意圖是在建立“平均分”概念的基礎上引出除法的算式，說明除法算式各部分的名稱，理解除法的意義。除法跟乘法、減法有著密切的聯系，開始學加法，再在加法的基礎上建立乘法，乘法是加法的簡便運算，它們都表示“合”的過程。學了加法后再學減法，減法是加法的逆運算，有加才有減，教材中出現“一圖四式”的目的就是溝通它們之間的聯系。同時，繼乘法意義建立后學法，除法是乘法的逆運算，它和減法又有內在聯系，它們同樣是表示“分”的過程。因此，除法的學習是建立在加法、減法、乘法運算基礎上的，只有借助它們的概念思想，除法概念建立的內涵才更深刻，外延才更清晰。
在課堂教學中，教師應通過什么途徑讓學生建立除法的模型？從教材上看，一般直接從等分的情境中抽象出除法的模型來，可以說都是直線跳躍性。例如，等分的操作活動是一個點，除法模型的建立也是一個點，學生要從這個點到達那個點，讓兩個點之間建立關系，需要教師在中間帶領學生。案例如下：
1.除法模型建立的切入點依然是直觀的東西。
創(chuàng)設情境：小明要把12個竹筍平均分給4個小朋友，假如你是小華，你怎么分？（動手分，然后展示不同分法）
2.但不是從一頭（情境）跳到另一頭（除法模型的建立）。
學生思維過程的表達還是必要的，因為不同學生的經歷、起點均不同。課堂教學中，教師可要求學生把分的過程用學過的算式表示出來。
生1：12-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=0。
生2： 3×4=12。
生3：12-2-2-2-2-1-1-1-1=0。
生4：3+3+3+3=12。
生5：12-4-4-4=0。
生6：2+2+2+2=8，1+1+1+1=4。
生7：12-3-3-3-3=0。
生8：（ ）×4=12。 （學生還想注明：4個幾是12）
生9：12÷4=3。
師：從他們的算式里，你有沒有看到他們手中的竹筍是怎樣分的呢？誰說說你看到了什么？
3.溝通。
師：剛才用這么多的算式表示了我們分的過程和想法，都是把12個竹筍平均分給4個小朋友，結果每人分到了3個。那么，這么多的算式哪一個更清楚地表示出了把12個竹筍平均分給4個小朋友，結果每人分到了3個呢？為什么？
4.全班交流比較討論。
生10：我覺得加法不好，加法表示把它們合起來，我們剛才是把竹筍分開來。
生11：那乘法也不行，它也是表示將4個3合起來了。
師：好像挺有道理的，減法呢？
生12：我覺得減法是可以的，它能把我們分的過程表示出來。如12-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=0，就能看出是一個一個分的；12-2-2-2-2-1-1-1-1=0，就能看出先分兩個，還有多再分1個。（很多學生說可以，但有部分學生在思考）
生13：我覺得減法也可以，但沒有除法好，因為減法看不出是分給幾個人，每人分到了幾個。如從12-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=0中，我們只知道他是一個一個拿的；可除法就知道把12個平分給了4個人，每人分到了3個，和12-2-2-2-2-1-1-1-1=0是一樣的。
生14：不是，那12-3-3-3-3=0也能看出平均分給4個人，每人分到3個。
師：好像都有道理，那怎么辦呢？有沒有一個算式既能清晰地表示小明要把12個竹筍平均分給4個小朋友，每人分到了3個，也能包含了我們的分法？
生15：那12÷4=3最好。
師：它怎么好？怎樣讓我們看出呢？
生16：12表示有12個竹筍，除法表示我們要平均分給4個小朋友，等于3嘛，表示結果每人分到了3個。
師（小結）：看來，無論怎么分，12÷4=3都能把12個竹筍平均分給4個小朋友，每人分到3個清楚地表示了出來。這就是今天我們新認識一種新的運算――除法。（板書課題）
生17：原來除法就是把竹筍分成一樣多，比如你3個、我3個、他3個，反正我們都一樣多的，就可以用除法了。
生18：我覺得除法和減法差不多，都是表示分開來，但是除法要分得一樣多。
……
在課堂中，教師不能忽略學生這種表述思維的過程，要讓每個學生在自己原有的知識體系上有所發(fā)展。也就是說，在活動與除法之間應該搭建溝通的橋梁，在學生充分的操作活動后，讓學生把分的過程用自己的符號或學過的算式表示出來，再比較溝通統一成除法表示分的過程，理解一個除法的算式是這樣等分活動過程中最佳符號的表達方式，無意識地溝通了四則運算之間的本質聯系。這樣給學生提供了建構一個新的概念體系的過程，形成計算知識的網絡體系。
二、把握好整數、分數計算過程中的“合”與“分”
“分”與“合”是整數、分數運算過程中本質的結構思想，而具體的內容是這個本質結構的多樣化表現。只要抓住這一點進行教學，學生就能舉一反三，靈活運用學到的知識。
（一）整數運算中的“分”與“合”
加法：15＋34=運算中的思考過程首先是它們各自分成幾個十和幾個一，再把相同計數單位上的數相加后，再合起來。
減法：34－13＝也是通過先分再合，即先分開3個十減去1個十得到2個十，把4個一減3個一得到1個一后，再把2個十和1個一合在一起。
乘法：12×4的思考過程是10×4＝40，2×4＝8，40＋8＝48。
寫成豎式為： 12
教學中結合情境讓學生理解8和4分別是怎樣算出來的，感悟各種算法的本質原理是一樣的，都是把它轉化成4個十和4個2再相加，只不過是表示的方法不一樣而已。通過這種先“分”再“合”的數學模型過程的建立，概念也就更清晰明了，有利于后繼學習三位數乘一位數、四位數……甚至到兩位數乘兩位數時，都是運用這種先“分”后“合”的數學模型來解決問題的。
（二）分數運算中的“分”與“合”
當學生學習分數乘、除法以后，形態(tài)是“合”，實質是“分”，或者形態(tài)上“分”，實質上是“合”這種互化就反映出來了。
在乘法中，如×2表示2個合起來；×表示的一半，實際上是÷2，這時乘法不再是求整體而是部分了，它在形式上是“合”，而實質上就是“分”的過程。
在除法中，如24÷4表示把24平均分成4等分，求每份是多少，它是分的過程；24÷表示什么數的是24，也就是24的4倍是96，這時除法不再是求部分而是整體，它在形式上是“分”，而實質上就是“合”的過程。
當然，矛盾的對立與統一，必須要在一定的條件下才能互相轉化。這里的“合”和“分”互相轉化的條件是因數或除數是小于1的分數。
關鍵詞：嘗試；探究；歸納；應用
《數學課程標準》強調數學教學應從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過獨立實踐、思考、探索、合作交流，獲得知識，形成技能，發(fā)展思維，學會學習，促使學生在教師指導下生動活潑地、主動地、富有個性的學習。
貫徹新的數學課程理念、執(zhí)行新的課程標準中，課堂教學是關鍵，所以數學課堂教學應從本班學生實際出發(fā)，創(chuàng)設有利于學生自主學習的問題情景，向學生提供能充分從事數學活動的機會，讓他們在自主探究和合作交流的過程中，真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想、方法與數學能力，以獲得有效的數學活動經驗。使每個學生“學有價值的數學”，使每個學生“都能獲得必需的數學”，使每個學生“在數學上得到不同的發(fā)展”，而嘗試?探究?歸納?應用的課堂教學能調動學生積極性，培養(yǎng)學生能力，體現了課程標準和有效課堂教學。下面以《分式的乘除（1）》談談：
一、出示嘗試題，創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學習興趣。
數學新課程標準指出：“數學教學應從學生實際出發(fā)。創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境?！币簿褪钦f，數學課堂不應只是“理性”的體現，更應該賦予它感情的色彩。為此，教師必須精心設計教學情境，有效地調動學生主動參與到教學活動中，使其學習的內部動機從好奇逐步升華為興趣、志趣、理想以及自我價值的實現。
二、鼓勵學生自主探索、合作交流，培養(yǎng)學生探究精神：
《數學課程標準》在課程實施建議中，明確指出：數學教學活動的教學是師生之間、學生之間交往互助與共同發(fā)展的過程。數學教學要求教師在教學中緊密聯系學生的生活經驗和已有知識，創(chuàng)設各種教學情境，激發(fā)學生學習數學的需求感，推動學生的內部動力，激發(fā)他們的探索興趣，寓抽象的數學問題于新奇而富有情趣的情景之中，使學生積極主動地、自發(fā)地參與數學學習活動。
三、突出定理、公式的探索過程，培養(yǎng)學生歸納能力。
楊振寧教授對中西方教學模式比較后指出：“中國比較重視儒家的演繹法，而美國則比較重視歸納法。演繹法教學是‘一般到特殊’的教學思路，有益于求同思維或集合思維的培養(yǎng)；而歸納法教學是‘特殊到一般’，有益于求異思維或發(fā)散思維的發(fā)展”。在數學教學中，由教師先給出定理或公式，再舉例說明，然后證明，這種教學方法只重視收斂思維的培養(yǎng)，不符合學生的認知發(fā)展規(guī)律，有礙于發(fā)散思維的培養(yǎng)，不利于發(fā)展學生的創(chuàng)新思維。眾所周知，數學知識形成的思維過程，主要體現在問題提出的思維過程和問題解決的思維過程。及時發(fā)現問題，善于捕促問題的能力是創(chuàng)新的能力的基礎要素之一。全國教師培訓會指出的教師一定要“激發(fā)學生獨立思考和創(chuàng)新的意識，切實提高教學質量，要讓學生感受、理解知識的產生和發(fā)展的過程，培養(yǎng)學生的科學精神和創(chuàng)新思維習慣。”所以教師在課堂教學中，要充分挖掘數學知識的發(fā)現過程，突出公式、定理探索過程，讓學生能夠主動參與教學過程，有機會思考，直接去感受問題，面對困難，激發(fā)學生主動探索，獨立揭疑的欲望，適當點拔，合作交流，幫助學生弄清思維障礙的原因。使學生能自覺地，執(zhí)著地應用已有的基礎知識和數學思想，對信息進行分析、歸納、整理，得到解決問題的規(guī)律和方法，獲得新知識、新見解。同時達到培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維的目的。因此在學生做完上述過程，我讓學生觀察上述（1）、（2），并提問：你發(fā)現（1）、（2）是什么運算？學生很快說出分式的乘除運算，類比分數的乘除法法則。，讓學生用文字歸納分式的乘除法法則：
利用學生已知分數乘除法的法則，很自然地從分數乘除法向分式的乘除過渡，利用舊知做鋪墊，過渡到新知，真正做到了“啟”而能“發(fā)”，激起了學生探求新知的欲望，達到非常好的效果。
四、應用知識解決問題，培養(yǎng)學生思維能力及應注意的問題。
新《課標》明確指出：教學要聯系生活實際，重視加強對學生實際應用能力的培養(yǎng)。在課堂教學中，我盡量使學生體會到數學從生活中來，又應用到生活中，生活中處處有數學。當學生意識到知識在自己日常生活中的重要作用時，就會更加明確學習的目的，激發(fā)學習內動力。因此，在教學中注重培養(yǎng)學生靈活運用知識解決生活實際問題的能力。
公式歸納后，讓學生根據公式進行計算鞏固公式出示練習題
（2）哪種小麥的單位面積產量高？
（3）高的單位面積產量是低的單位面積產量的多少倍？
一、正確地運用概念，理解分數應用題的數量關系
解答分數應用題的依據是分數的意義和一個數乘以分數的意義，要幫助學生在理解概念的基礎上認識分數乘法應用題的數量關系。為了幫助學生理解分數乘法應用題的數量關系，在學習時，先要從分數的意義出發(fā)，聯系已學過的用整數計算的方法，過渡到用分數計算的方法。這樣就加深了學生對分數的意義和一個數乘以分數的意義的理解，并在理解意義的基礎上理解分數乘法應用題的數量關系。
分數除法應用題歷來是教學中的難點，在求一個數的幾分之幾是多少和已知一個數的幾分之幾是多少求這個數，這兩種應用題混合練習時，學生往往難以判斷是用乘法還是用除法來解答。我們強調用方程解和用算術解同等重要，是為了通過加強用方程解把分數乘、除法應用題統一到同一個思路上，都要聯系一個數乘以分數的意義，都要想求一個數的幾分之幾是多少，它們有相同的數量關系，不同的只是已知和未知有了變化。用同一種思路解決了兩種類型的應用題，這樣就進一步揭示了分數乘、除法應用題的內在聯系。
二、加強應用題的基本訓練，掌握分數應用題的解題思路
正確解答分數應用題的關鍵是找準單位“1”，弄清題里的數量關系，而確定把哪個數量看作單位“1”，又必須在理解數量關系的基礎上才能正確判斷，因此，兩者是有密切聯系的。要通過基本訓練，幫助學生正確理解和判斷單位“1”，加深對分數乘、除法應用題數量關系的理解，形成解題思路，掌握分數應用題的結構，培養(yǎng)學生分析、判斷和推理的能力。
在進行應用題的基本訓練時，要著重抓好以下幾個方面：
（1）變換練習形式，突出找單位“1”的訓練。
找單位“1”的訓練，重在讓學生切實理解一個數是另一個數的幾分之幾的含義?？梢杂梢椎诫y地進行訓練，對于學生不易理解的，可以借助線段圖幫助學生理解。先訓練完整的，再訓練不完整的，同時還要對一些變換說法的句式進行訓練。
（2）充分運用對比，弄清數量間的相等關系。
在學生能正確判斷單位“1”以后，還必須弄清數量間的相等關系，要能根據一個數乘以分數的意義和已確定的單位“1”的量，正確列出等量關系式。在訓練中，可以通過各種對比，讓學生熟練掌握數量間的相等關系，從而掌握解題思路。
（3）重視轉化訓練，拓寬解題思路。
轉化是一種重要的數學方法，在分數應用題教學中，運用轉化能進一步溝通知識間的內在聯系，可以使一些題目化難為易。分數應用題中單位“1”的量是可以轉化的，因此必須重視轉化的訓練，通過轉化的訓練，幫助學生理解數量關系的實質，拓寬學生的解題思路。
經常進行分數和比的轉化練習，可以幫助學生進一步理解比和分數的意義，加強分數和比的聯系。進行轉化單位“1”的練習，有利于學生將復雜的題目變得簡單，學會用多種方法解題，并從中發(fā)現簡便的解題方法。
三、溝通知識的內在聯系，提高分析解答應用題的能力
小學分數應用題可分為三類，加強應用題的聯系和對比，可以加深學生對分數應用題數量關系的理解，提高分析解答應用題的能力。因此，在分數應用題的教學中，要引導學生揭示知識間的聯系和區(qū)別，不斷探索規(guī)律，總結規(guī)律，以達到提高解題能力和發(fā)展學生思維的目的。
學習基本的分數乘除法應用題，要把三類分數應用題放在一起進行縱向比較，還要與三類倍數應用題放在一起進行橫向比較。通過比較，進一步搞清這些應用題在數量關系、解題思路上的異同點。除了通過教材上出現的一組例題進行比較外，還可以通過各種形式的練習來進行比較。
因為稍復雜的分數乘、除法應用題是基本的分數乘、除法應用題的發(fā)展，它們的認知結構是一致的。因此，在學習稍復雜的分數乘、除法應用題前，就要有計劃地孕伏滲透，為促進新知識的遷移做好準備。此外，還要從基本的分數應用題引入，通過復習以前學過的知識，再改變題目的問題出示例題，啟發(fā)學生在復習題的基礎上找出解答例題的方法，并通過比較，理清解題思路，完成知識的同化過程。
本冊教材主要有以下幾個特點：
1. 適當改進了分數加、減法的編排。分數加、減法都有同分母分數、異分母分數和帶分數相加或相減的情況，在計算方法上有共同的特點，所以宜把加法和減法結合起來教學，以便于學生掌握計算法則和對知識的遷移類推。在分數加、減法中，帶分數相加、減的情況是個難點，考慮到帶分數只是分子不是分母的倍數的假分數的另一種寫法，在帶分數加、減法中，分數部分既有同分母的，又有異分母的，因此在教材中，不把帶分數加、減法單獨列為一節(jié)，而把含有同分母、異分母的帶分數加、減法并入同分母、異分母的分數加、減法中，這樣既便于突出同分母、異分母分數加、減的計算法則，又分散了帶分數相加、減的難點，便于學生逐步掌握。
2. 適當調整了分數乘、除法的內容。在分數乘法和分數除法這兩個單元中，都先集中教學每種運算的意義和計算法則，然后再著重教學分數乘、除法應用題。這樣容易突出重點，有利于學生理解和掌握分數乘、除法的概念、計算法則和實際應用。教材還注意加強分數與整數的聯系，在教學分數乘加、乘減混合運算的基礎上，把整數乘法運算定律推廣到分數。在教學分數除法之后，教學比的意義、性質和應用，這樣安排，一方面有利于加強比和分數的聯系，加深學生對分數的意義的理解和認識，提高學生靈活運用知識解決簡單實際問題的能力；另一方面為后面教學圓周率、百分數、統計圖表等知識做較好的準備。
3. 適當降低了分數、小數四則混合運算的難度。分數四則計算是進一步學習的重要基礎，應使學生比較熟練地掌握。教材中，只著重練習一步式題和兩、三步的混合運算式題，主要編入一些分子、分母比較小的大部分可以口算的分數四則計算，分數、小數混合運算也適當簡化，以加強簡便計算的練習。
4. 適當擴展了分數應用題的范圍。進入五年級后，對應用題的教學要求主要有以下三點：（1）能解答常遇到的比較簡單的分數四則應用題；（2）進一步提高用算術方法和用方程解答應用題的能力；（3）能夠綜合運用所學的知識解答一些較簡單的實際問題。按照上述教學要求，在本冊教材中適當擴展了分數應用題的范圍。主要有以下幾個方面：（1）把已學的兩三步整、小數四則應用題，適當更換其中的一些數據為分數；（2）適當擴展求“一個數的幾分之幾是多少”以及“已知一個數的幾分之幾是多少求這個數”的應用題的范圍；（3）適當出現少量的綜合運用知識來解答的較簡單的實際問題，以及可以用不同方法解答的應用題（不超過三步）。同時，注意加強方程解法的教學，把方程解法和算術解法緊密聯系起來。這樣，既便于學生掌握兩種解法的解題思路，又便于學生靈活地選擇解題方法，促進思維的發(fā)展，而且不會加重學生的學習負擔。
5. 適當加強了操作和聯系實際。教材一方面注意從學生熟悉的實際物體出發(fā)，抽象概括出幾何圖形的知識，另一方面適當增加聯系實際的題目，使學生學會靈活運用所學的知識解決簡單的實際問題。同時，教材通過操作，加深學生對概念的理解，通過知識間的聯系和對比，使學生弄清一些容易混淆的概念或計算方法。
6. 適當加強了能力的培養(yǎng)。本冊教材在發(fā)展學生智力、培養(yǎng)學生能力方面有很多做法與前幾冊相同，但是由于學生進入五年級，抽象思維有了一定基礎，根據本冊分數知識和幾何初步知識的特點，在培養(yǎng)學生探索規(guī)律、運用一些數學方法遷移類推以及訓練思維的嚴密性、靈活性等方面予以了加強。下面就本冊教材各單元的主要內容和編寫意圖作一簡介。
一、分數的加法和減法
本單元是在學生掌握了整、小數加、減法的意義及其計算法則，分數的意義和性質，以及在第五冊學過的簡單的同分母分數加、減法計算的基礎上進行教學的。通過本單元的教學，要使學生理解分數加、減法的意義，掌握計算的方法；會口算簡單的分數加、減法；會用運算定律進行一些分數加法的簡便運算；掌握分數和小數的互化方法，正確地進行分數、小數加減混合運算；會解答分數加、減法應用題。本單元共4節(jié)：
（一）同分母分數加、減法
1. 分數加、減法的意義。
教材首先安排了一組有關分數單位的復習題，為學生理解分數加、減法的算理做好準備。然后通過兩道數量關系相同，已知條件不同的例題，分別教學分數加法、減法的意義以及同分母的分數加、減法。例1著重說明分數加法與整數加法的意義相同，并結合圖示，使學生看清分數的分母相同也就是它們的分數單位相同，可以把這兩個分數直接相加。例2著重說明分數減法與整數減法的意義相同，也結合圖示，啟發(fā)學生思考：57和37可以直接相減嗎？為什么？引導學生把分數加法的算理類推到分數減法。
2. 同分母分數加、減法的計算法則。
教材首先引導學生比較例1、例2同分母分數加法和減法的計算有什么共同點，總結出同分母分數加、減法的法則。然后分三道例題教學同分母分數加、減法計算中需要解決的一些特殊問題。例3教學“計算的結果，能約分的要約成最簡分數；是假分數的，一般要化成帶分數或整數”。例4教學三個同分母分數連加，以及單位名稱的問題。例5教學把1化成與其它分數分母相同的分數，以及分數的分子是0的情況。3 同分母的帶分數加、減法。這部分內容重點是教學同分母的帶分數加、減法的計算法則，難點是減法中遇到分數部分不夠減時的處理方法。教材分兩道例題進行教學。例6教學帶分數加法的一般方法。教材結合直觀圖形，引導學生進行思考，得出“先把帶分數的整數部分和分數部分分別相加，再把所得的數合并起來”的一般方法。接著，把例6改成減法應用題，讓學生根據帶分數加法的算理類推出帶分數減法的計算方法。在此基礎上，引導學生總結出同分母的帶分數加、減法的計算法則。例7教學被減數的分數部分不夠減時的處理方法。教材在已有知識的基礎上，通過“想”提出計算的方法，并注明詳細的運算過程，接著，啟發(fā)學生獨立思考，當被減數是整數時，要減帶分數，應該怎么辦。
（二）異分母分數加、減法
1. 異分母分數加、減法的計算法則。
由于異分母分數的分數單位不同，不能直接相加、減，必須先通過通分把它們轉化成同分母分數，再按照同分母分數加、減法的法則進行計算，所以，通分是進行異分母分數加、減法計算的關鍵。教材先安排了三道通分的復習題，復習已學的通分知識。然后通過三個例題教學異分母分數的加、減法。例1結合直觀圖教學異分母分數的加法，重點是引導學生把異分母分數轉化為同分母分數，使學生理解異分母分數加法的算理，例2在例1的基礎上類推出異分母分數減法的計算方法，并在此基礎上引導學生總結出異分母分數加、減法的計算法則。例3結合異分母分數連減的教學，使學生明確“有時為了計算簡便，可以采用不同的通分方式”，以培養(yǎng)學生靈活計算的能力。
2. 異分母的帶分數加、減法。
異分母的帶分數加、減法比同分母分數的加、減法要難一些，一方面在計算之前要先通分，增加了計算步聚，另一方面在連減計算中出現被減數整數部分要拿出2化成假分數的情況，這是一個難點。針對異分母帶分數加、減法的難點，教材先安排了一組填空題，著重復習從整數中拿出1或2化成假分數的情況，為學習新知識做好準備，然后通過兩道例題教學異分母的帶分數加、減法。例4教學異分母的帶分數加、減法，與同分母的帶分數加、減法相比，只增加了一步通分，其它引導學生在已有知識的基礎上類推。例5教學被減數的分數部分不夠減，從整數部分拿出1來化成假分數還不夠減時，需要拿出2的情況。
（三）分數加減混合運算這部分內容是在學生掌握了分數加、減法計算方法的基礎上教學的。由于學生對整數加減混合運算的運算順序比較熟悉，所以教材首先說明分數加減混合運算的運算順序與整數加減混合運算的運算順序相同，并結合分數加減法的特點，說明“為了簡便，幾個分數可以一次通分，然后按照運算順序依次進行加減計算”。然后，通過兩個例題說明分數加減混合運算的計算方法，把重點放在提高學生計算的熟練程度上。接著，為了溝通知識間的內在聯系，幫助學生進一步理解所學的加法運算定律，加深理解帶分數加法的算理，教材把整數加法運算定律推廣到分數加法，使學生在實際計算中應用這些運算定律，進行簡便計算。
（四）分數、小數加減混合運算為了溝通分數和小數的聯系，深刻理解分數、小數的意義，同時為教學分數、小數的混合運算做好準備，教材首先教學分數和小數的互化。關于小數化分數，教材中只教學有限小數化分數的方法，關于分數化小數，教材中教學兩種方法：一種是利用分數和小數的關系，另一種是利用分數與除法的關系。教材注意引導學生觀察，發(fā)現規(guī)律，并在此基礎上總結出分數、小數互化的一般方法。然后，教學分數、小數加減混合運算。這部分內容的重點是引導學生根據題目的具體情況選用一種比較簡便的計算方法。教材通過三個例題，結合計算的實際情況（分數能化成有限小數的和不能化成有限小數的進行教學，使學生能合理、靈活地選擇算法。
二、分數乘法
本單元教材是在學生掌握了整數乘法，分數的意義、性質，以及分數加、減法的計算等知識的基礎上進行教學的。通過本單元的教學，要使學生理解分數乘法的意義，掌握分數乘法的計算法則，掌握分數乘加、乘減混合運算，理解整數乘法運算定律對于分數乘法同樣適用；會解答求一個數的幾分之幾是多少的應用題；理解倒數的意義，掌握求倒數的方法。
本單元共3節(jié)：
（一）分數乘法的意義和計算法則
1. 分數乘以整數。分數乘以整數的意義和整數乘法的意義相同。因此，教材注意在整數乘法的基礎上引入分數乘以整數的意義。首先復習整數乘法的意義和三個相同分數相加的計算方法，為學習分數乘以整數做好準備，然后，通過一個例題，結合直觀圖，采用加法與乘法對照的方法，教學分數乘以整數的意義和計算方法。教材注意在理解的基礎上，啟發(fā)、引導學生總結出分數乘以整數的計算方法。
2. 一個數乘以分數。一個數乘以分數，包括整數乘以分數和分數乘以分數兩種情況。它們的意義都是求一個數的幾分之幾是多少。這是整數乘法意義的擴展，是后面學習帶分數乘法、分數除法的意義和計算方法以及分數乘、除法應用題的基礎，所以是教學的重點。教材通過兩個例題分別教學一個數乘以分數的意義和計算方法。教材先結合直觀，在說明分數乘以整數的意義的基礎上，類推出一個數乘以分數的意義。然后，教學分數乘以分數的計算法則。分數和整數相乘的計算法則不再單獨教學，以簡化教學過程，節(jié)約教學時間。
3. 帶分數乘法。帶分數乘法一般先化成假分數再乘比較簡便。教材先復習帶分數化假分數，分數乘以分數以及整數和分數相乘，然后，通過兩個例題教學帶分數的乘法。第一個例題著重說明帶分數乘法的計算方法，第二個例題通過三個分數連乘的不同計算方法，著重提高分數乘法的熟練程度。
4. 分數乘加、乘減混合運算和整數乘法運算定律推廣到分數乘法。這兩部分內容教材是分兩小節(jié)進行教學的，但它們之間的聯系非常緊密。分數乘加、乘減混合運算的順序與整數的運算順序相同。因此，教材在復習有關整數的混合運算的基礎上，只通過一個例題說明分數加、減、乘法混合在一起時運算順序與整數的相同。至于混合運算中的不同情況則通過練習讓學生自己類推，對于整數乘法運算定律推廣到分數乘法，教材采用的方法與前面把整數加法運算定律推廣到分數加法的方法相同，教材的重點仍然是使學生理解這些運算定律對分數乘法同樣適用，并能在實際計算中，靈活運用這些運算定律使計算簡便。
（二）分數乘法應用題
分數乘法應用題大致可分為兩部分。一部分應用題中的已知數是分數，但數量關系和解答方法都與整數應用題相同（在前面的練習題中已有所練習）。另一部分是由于分數乘法意義的擴展而新出現的，例如求一個數的幾分之幾是多少的應用題，它是分數應用題中最基本的，對以后學習具有重要的意義，針對求一個數的幾分之幾是多少的問題的不同情況，教材分三個例題進行教學。例1結合線段圖，根據分數乘法的意義，教學求一個數量的幾分之幾是多少的應用題。例2教學涉及兩個數量，求等于一個數量的幾分之幾的另一個數量是多少的應用題。例3是在前兩個例題的基礎上，教學增加一個條件，連續(xù)求一個數量的幾分之幾是多少的應用題。解答例3的關鍵是正確判斷每一步分別把什么看作單位“1”，這不僅有利于提高學生解答求一個數的幾分之幾是多少的應用題的能力，而且有利于培養(yǎng)學生的分析、判斷、推理能力。
（三）倒數的認識
這部分內容是在分數乘法計算的基礎上進行教學的。
它主要為后面教學分數除法做準備。教材給出倒數的意義后，特別注意強調倒數是對兩個數來說的，它們是相互依存的，必須說一個數是另一個數的倒數，不能孤立地說某一個數是倒數。接著，教學求一個數的倒數的方法。
三、分數除法
本單元是在學生掌握了整數除法的意義、分數乘法的意義，以及解簡易方程的基礎上進行教學的。通過本單元的教學，使學生理解分數除法的意義，掌握分數除法的計算法則；能用方程或算術方法解答已知一個數的幾分之幾是多少求這個數的應用題；理解比的意義和基本性質，能正確地化簡比和求比值，知道比與分數、比與除法的關系，會解答按比例分配的應用題。本單元共3節(jié)：
（一）分數除法的意義和計算法則
1. 分數除法的意義。
在本冊教材中，分數除法是作為分數乘法的逆運算來定義的。教材通過一道學生容易理解的分數乘法應用題，引出兩道分數除法的應用題，說明分數除法的意義。使學生明確分數除法的意義與整數除法的意義相同，都是“已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算”。
2. 分數除以整數。
在分數除法中，不論哪種情況，它們的計算方法都可以歸結為乘以除數的倒數。教材為了分散難點，先教學分數除以整數。教材通過一道被除數的分子能被除數整除的題目，教學分數除以整數的計算方法，教材結合直觀圖，根據分數除法和分數乘法的意義，采用兩種不同的思考方法進行解答，使學生初步看到，除以整數也就是乘以這個整數的倒數。然后，讓學生想一想分子不能被除數整除的情況，在此基礎上概括出分數除以整數的計算法則。
3. 一個數除以分數。
一個數除以分數包括整數除以分數和分數除以分數兩種情況，不論哪一種情況，計算時都要把除以分數轉化為乘以這個分數的倒數。教材分兩個例題進行教學，先教學整數除以分數可以轉化為乘以這個分數的倒數，再教學把被除數換成一個分數，得出分數除以分數也可以轉化成乘以這個分數的倒數來計算，進而總結出一個數除以分數的計算法則。最后，聯系前面教學的分數除以整數的計算法則，總結出一個統一的分數除法的計算法則。
4. 帶分數除法。
帶分數除法的教學是在分數除法的基礎上進行的。這與帶分數乘法的教學一樣，主要目的是提高學生的計算能力。教材在復習帶分數與假分數的互化之后，引導學生類推出分數除法有帶分數的也要先把帶分數化成假分數，然后再計算。這部分內容中，還安排了列方程解已知一個數的幾又幾分之幾倍是多少求這個數的文字題和分數連除、乘除混合運算式題。主要目的提高學生分數乘、除法的計算能力，并為后面教學分數除法應用題打好基礎.
（二）分數除法應用題
本節(jié)主要教學已知一個數的幾分之幾是多少求這個數的應用題。這種應用題歷來是教學中的難點，實踐證明，在教學這種應用題時，緊密聯系一個數乘以分數的意義，先用列方程的方法解答，在此基礎上再教學用分數除法來解答，效果是比較好的。因此，教材先復習求一個數的幾分之幾是多少的應用題，在此基礎上教學例1，教材是通過圖示和“想”，用分數乘法應用題的思路進行分析，明確把誰看作單位“1”，由于單位“1”是未知的，根據一個數乘以分數的意義先列出等量關系式，然后設未知數列出相應的方程并解答。例2的教學涉及兩個量的已知一個數的幾分之幾是多少求這個數的應用題。在列方程解答的基礎上，教材讓學生想一想，怎樣用算術方法解，使學生明確仍然要先找數量間相等的關系式，然后根據除法意義直接列出分數除法算式。
在教學已知一個數的幾分之幾是多少求這個數的除法應用題之后，教材安排了分數乘、除法應用題的對比，使學生對乘、除法應用題的數量關系和內在聯系有進一步的認識，提高分析和解答分數應用題的能力，為進一步學習稍復雜的分數應用題做好準備。
這部分教材的最后，安排了分數連除和分數乘除復合應用題。這些應用題都是在前面學過的分數乘、除法應用題的基礎上發(fā)展起來的。通過對這些兩步應用題的解答，可以使學生更好地區(qū)分分數乘、除法應用題，進一步提高解題能力和發(fā)展學生的分析推理能力。
（三）比
這部分內容通常是安排在小學的最后階段，把比和比例放在一起進行教學。這套教材考慮到比與分數有密切聯系，把比的一些最基礎的知識提前放在分數除法這一單元中教學，既加強知識間的內在聯系，又可以為以后教學百分數（百分比）、圓周率等內容打下較好的基礎。
1. 比的意義。傳統的算術教材講比的意義，強調同類量相比，由于實際應用的需要，要用到不同類量的比。因此，本冊教材在教學比的意義時，分別結合實際問題，先引出同類量的比，再引出不同類量的比。在此基礎上概括出比的意義。
2. 比的基本性質。教材聯系除法中商不變的性質和分數的基本性質，再通過“想一想”引導學生找出比也有相應的性質，然后概括出比的基本性質。接著應用這個基本性質教學把比化成最簡單的整數比的方法。
3. 比的應用。在小學數學中，比的應用主要有兩個內容，即比例尺和按比例分配，本冊教材只教學按比例分配，而且只教學按正比例分配。教材通過兩個例題教學按比例分配，把一個數量按照已知的比分成兩部分的問題和把一個數量按照已知的比分成三部分的問題。在練習中，注意聯系實際，使學生既能運用所學的知識解決一些簡單的實際問題，又可以增長一些科學技術知識和生活經驗。
四、分數、小數四則混合運算和應用題
本單元是在學生掌握了分數、小數四則運算，以及會解答比較容易的分數、小數兩步應用題的基礎上進行教學的，通過本單元的教學，使學生會進行分數、小數四則混合運算，在計算中能運用一些簡便算法；學會解答兩、三步計算的分數、小數應用題，進一步提高用算術方法和用方程解應用題的能力，并能運用所學的知識解決一些簡單的實際問題。
本單元共2節(jié)：
（一）分數、小數四則混合運算
1. 分數四則混合運算。
這部分內容主要教學三、四步計算的分數四則混合運算式題。由于學生通過前面的學習，已經對四則混合運算的運算順序比較熟悉了，因此，教材在教學分數四則混合運算時，沒有再詳細地說明運算順序，而是直接說明分數四則混合運算的運算順序和整數四則混合運算的運算順序相同。然后，通過兩道例題分別教學沒有括號和有括號的分數四則混合運算。接著，通過一道例題說明，在分數四則混合運算中，同樣可以運用以前學過的運算定律使計算簡便，以進一步培養(yǎng)學生合理，靈活地進行計算的能力。
2. 分數、小數四則混合運算。
在前面知識的基礎上，學生對分數、小數四則混合運算的運算順序已不難掌握，因此，教材著重介紹分數和小數乘除混合運算時，應該怎樣計算比較簡便。教材通過三個例題進行教學，例4說明分數、小數乘除混合運算一般先把小數化成分數再計算；例5說明在計算過程中要注意運用簡便方法，并說明計算的結果允許取近似值時的計算方法；最后，通過例6說明先化簡再計算的簡便算法。
（二）分數、小數應用題
本小節(jié)的應用題可分為三部分。第一部分教學一般的兩步計算的分數、小數應用題，第二部分教學稍復雜的求一個數的幾分之幾是多少的分數乘法應用題，以及相應的分數除法應用題，第三部分教學工程問題。第一部分應用題的數量關系是學生以前學過的，只是已知條件是分數或小數，或者是在簡單分數應用題的基礎上再增加一步計算的一般應用題，通過這部分內容的教學，可以進一步提高學生靈活選用方法解答應用題的能力，也為進一步學習分數應用題做些準備。第二部分應用題的數量關系稍復雜一些，學生不易掌握。這是本單元的重點，也是教學的難點，教材對每個例題都用線段圖來幫助學生理解題意，分析數量關系，主要弄清要把什么看作單位“1”，已知的和要求的數量分別是什么。同時，通過不同解法的教學，開闊學生的解題思路。
第三部分應用題的數量關系與整數應用題中的工作總量、工作效率和工作時間的數量關系相同，解題思路也大致相同，只是題中沒有給出具體的工作總量，解答時要把工作總量作為單位“1”，用單位時間內完成工作總量的幾分之一來表示工作效率。教材注意從已學的知識逐步引入，幫助學生逐步加深理解。
五、長方體和正方體
本單元是在學生已經能夠識別長方體、正方體，并且學習了一些平面圖形的特征以及它們的周長和面積的計算的基礎上進行教學的。本單元是學生比較深入地研究立體幾何圖形的開始，是進一步學習其它立體幾何圖形的基礎，通過本單元的教學，應使學生掌握長方體和正方體的特征，理解表面積和體積（容積）的意義，認識常用的體積和容積單位以及相鄰兩個單位之間的進率、會計算長方體和正方體的表面積和體積，并能應用所學的知識解決一些簡單的實際問題。本單元共3節(jié)：
（一）長方體和正方體的認識
1. 長方體。教材首先說明已學的長方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形都是平面圖形，然后借助實際物體說明什么是立體圖形，并引出長方體的概念。接著，教材通過兩個例題具體研究長方體的特征。例1結合長方體的實物模型，通過操作（摸一摸、量一量、數一數）認識長方體的面、棱、頂點的特征。例2結合長方體的框架，進一步研究長方體的特點，進而引出長、寬、高的概念。教材注意在練習中加強操作活動，為后面學習長方體的表面積做準備。
2. 正方體。正方體的認識，教學過程與長方體類似。教材特別注意加強長方體與正方體的聯系的教學，教材引導學生對長方體和正方體進行觀察和比較，說一說它們有哪些相同點和不同點，使學生認識它們的特征與相互聯系，并用集合圖表示它們的關系。
（二）長方體和正方體的表面積計算
長方體和正方體的表面積在日常生活中有廣泛的應用。通過這部分內容的學習，不僅可以加深學生對長方體和正方體特征的理解，還可以發(fā)展他們的空間觀念，教材通過操作（把一個長方體或正方體紙盒的6個面展開）加強對長方體和正方體表面積概念的認識。在此基礎上，結合具體例題教學表面積的計算方法，教材中沒有給出計算表面積的公式，這樣更有利于發(fā)展學生的空間觀念，有助于學生根據實際情況思考計算方法，在練習中，教材注意結合實際，培養(yǎng)學生靈活解決問題的能力。
（三）長方體和正方體的體積
1. 體積和體積單位。
體積對學生來說是一個新概念，在理解和應用上都有一定的難度。為此，教材加強了對體積概念的認識。通過一組實驗，使學生直觀認識到“物體所占空間的大小叫做物體的體積”。在此基礎上，通過實際操作教學體積的單位及其用途，使學生明確體積單位是用來計量物體的體積的，教材還特別注意突出長度單位、面積單位和體積單位的區(qū)別，最后，結合實際操作，分別教學長方體和正方體體積的計算方法，總結出計算公式，并用字母表示。進而結合底面積的概念，總結出統一的體積計算公式。
2. 體積單位間的進率。
這部分內容是在學生已經掌握了正方體體積的計算方法以后教學的。教材通過圖示，引導學生推出體積單位之間的進率。并通過長度單位、面積單位與體積單位的對比，加深學生對體積單位間的進率的認識。然后，通過三道例題教學有關體積的名數改寫。
3. 容積和容積單位。
容積的概念與體積的概念既有聯系又有區(qū)別。體積是指一個物體本身占據多大的空間，容積是指中間是空的物體能裝下多大體積的其它物品。教材在給出容積的概念后，特別說明了容積的計算方法和測量數據的方法。同時說明，計量容積一般就用體積單位，但是計量液體的體積，常用容積單位升和毫升，并給出它們之間的進率。
現象描述1：我把題目抄錯了。
上完“一個數除以整數”后，我給學生留了幾道練習題，其中有一題是3.5÷14，居然有4個學生做上來是53÷14，還有一個學生跑到辦公室來問我說：“老師這道題目你出錯了，除不盡的?！边@些學生訂正以后，都覺得是自己太粗心，把題目抄錯了。幾天后進行單元測試，3.484÷5.2，也有3個學生做成3.484÷2.5，其中兩個是前面提到的學生。學生把題目抄錯，真的是太粗心嗎？
現象描述2：我把算式記錯了。
一次考試，有一道口算題2.4×5，一大部分學生的答案是10，學生認為自己太粗心了，把算式看錯了，看成了2.5×4，難道這么多的學生真的是把算式看錯了嗎？
現象描述3：我忘記寫“0”、“.”了。
學完小數除法，我們的學生總是“忘記”這，“忘記”那。像328÷16=2.5，學生說我中間忘記商“0”了；108÷24=45（正確答案108÷24=4.5），學生說我忘點小數點了。而同樣的錯誤他們照犯不誤?！?”、“.”真的是忘記寫了嗎？
事實上，這種困惑幾乎是伴隨著大多數學生的學業(yè)成長，也伴隨著教師教學生涯的始終：學生明明會做，卻要做錯？
二、“眾里尋她千百度”――怎能一個“粗心”了得！
1.概念、法則理解不清
概念和法則是學生進行數學計算的重要依據。小數乘除法的計算方法是建立在整數計算的基礎上的，是由“數位”“個位”“相加”“滿十”“前一位”“進一”“對齊”等一系列數學概念組成的。如果概念理解不清，就無法依照法則、性質、定律、公式等數學知識正確計算。
案例（1）：
像上面計算的兩道題6.24÷6=1.4，391÷1.7=23。學生錯誤的原因是對以下概念不夠清晰：在小數除法里，除到被除數的哪一位不夠商1，就在那一位上面商0，而在計算中學生明顯對0的占位作用認識不夠以及在什么情況下應該用0占位這一知識點沒有掌握好。
案例（2）：計算0.68×0.35=0.0238。
其實，這道題的正確答案是0.238，學生出現這種錯誤的原因是，先畫去了積末尾的“0”，再確定積的小數點位數，而小數乘法的法則是應該先確定積的小數部分的位數，然后再畫去小數末尾的“0”，這說明學生對算理還不理解。
2.受思維負遷移的影響
遷移是一種學習對另一種學習的影響，有積極的作用，也有消極的作用。思維的負遷移就對數學計算有消極的影響。
比如，計算7.75+1.25×3.4=9×3.4=30.6。錯誤的原因是學生受到容易計算部分、能簡便計算、比較熟悉部分等強烈刺激的作用而造成思維負遷移。
3.計算技能缺陷
一些學生計算錯誤很多，有可能是計算能力不足引起的。比如，進位加法不熟、乘法口訣不熟、試商能力不足等；可能缺少一種良好的計算習慣或書寫習慣，如驗算的習慣等；可能學生在計算時，忽視了“估算”的作用。因此，也就失去了計算的興趣，越是沒興趣，越是計算不準確，最后成了惡性循環(huán)。
4.非智力因素的影響
非智力因素也是造成學生出現錯誤的重要原因。首先學生對學習的重要性和必要性認識不足，學習的目的性不明確，對解題興趣不高。因缺少學習需要，認為做題只是為了應付教師或家長的檢查，沒有力求準確的情緒傾向，造成做題時心不在焉，草草了事的情況，結果出現錯誤。其次是耐心不足，計算時為求快點完成，好省下時間去玩。因此，每當遇到較為陌生的算式或較復雜的算式時，就容易出現排斥心理，于是不去認真分析，不細心審題，敷衍了事，在這種怕難怕繁、耐心不足的情況下，計算也容易出現差錯。還有的計算題數據較大，學生習慣用口算來算，即使打草稿，也只是把草稿列在桌面上、手心上、書面上……思想上不重視，必然導致計算上的失誤。
三、“勤捕黃鸝四五聲”――不都是粗心的原因！
1.講清算理和法則
在小學階段遇到的算理比較多，如，10以內數的組成和分解；湊十法；加法的意義和運算定律；數位的概念；十進制計數法；小數的意義與性質；小數點移位和小數大小變化的關系；商不變性質；分數的意義和基本性質等概念。
這些最基本的知識，我們都要講得非常清楚，要在學生的腦海中留下深刻的印象，這樣學生在學習新的知識時，才能更好地將舊知識和新知識有機地聯系起來。比如，“小數點位置的移動引起小數大小變化的規(guī)律”這個知識點就十分重要。這一變化規(guī)律不僅是小數乘除法計算的根據，也是復名數與小數相互改寫的重要基礎。而且在小數的乘除法、小數與百分數的互化中都需要用到這個知識點。又如，分數的意義，在學生進一步學習分數的基本性質和分數混合四則運算時，同樣起著鋪墊作用。
案例（3）：學習《除數是小數的除法》。
這一課的重點是要讓學生嘗試把除數是小數的除法轉化成除數是整數的除法來解決。也就是說，這節(jié)課練習更多的應該是新知的轉化練習，轉化后的計算已經是前一節(jié)課必須掌握的知識了，那么這節(jié)課就要針對怎么轉化、轉化的新形式作強化訓練。因此，我設計了四道算理的強化練習：①0.24÷0.4=（ ）÷4；②0.24÷0.04=（ ）÷4；③0.24÷0.004=（ ）÷4；④0.024÷0.04=（ ）÷（ ）。第④題出現了兩個空，目的是讓學生思考這兩個空到底要同時擴大多少倍，是10倍還是100倍，在交流中讓學生自己體會到，只要把除數轉化成整數就可以計算了，被除數是小數還是整數都無關緊要。對于轉化后的計算就不強求讓學生把計算完全寫完整，針對這節(jié)課，新的知識就是把除數變化成整數的豎式形式，所以可以讓學生做這樣的專項練習，讓學生把新知進一步內化。
2.注意運用法則之間的正負遷移
先掌握的法則對新學習的法則既有積極的影響，也會產生一定的干擾。因此，我們要充分發(fā)揮各項法則之間的正遷移作用，防止負遷移帶來的消極影響。在學生學習新的計算法則時，我們要積極地引導學生比較新舊知識點的異同，讓學生在不斷的比較中，掌握新知識與舊知識多角度、多側面的聯系，新的計算法則才有可能在學生已有的認知結構中“生根”，使原有知識結構得到發(fā)展。
3.對學生的計算技能適當地作指導
在學生容易出錯或掌握薄弱的環(huán)節(jié)上應反復強調，強化學生訓練。如，在小數乘法中，教師應在小數點的特殊性上做強調，重點突出小數點的處理，要求學生先寫出積里的0，完整地算出結果，然后數出兩個因數中一共有幾位小數，再把積點上小數點，最后才能將末尾的0去掉。其實，在計算教學時，除了對算理、算法的理解外，也要講究一些策略。比如，在上小數乘除法時，發(fā)現遇到80×0.5，240÷2這類題要列成豎式計算的大有人在，這就需要教師讓學生自己總結出解題策略，學生總結出的策略有看、想、算、估、查、比等，也就是說，學生解題前先要認真觀察題目的特點，看清運算符號，正確選擇算法，估算結果范圍，聯系實際類比思考結果。比如，一些學生看到“÷0.5或÷”就想到兩倍，看到“×0.5或×”就想到一半，這便是一種學習的策略。
4.從點滴處入手，提升學生的非智力因素
我在日常教學中發(fā)現，其實“細心”是可以培養(yǎng)的。讓學生在計算中培養(yǎng)一些良好的習慣，就可以提高學生的正確率。例如，小數乘法的教學，學生經常會出現這樣的錯誤：（1）進位忘記。“哪一位上滿十就要向前一位進一”這個知識點學生記得非常清楚，但是在計算中卻常常丟三落四，這里忘了，那里多了。（2）小數點漏點，在計算出結果后，數錯或忘記數小數點位數，小數點自然就漏點了。（3）橫式上不寫得數，豎式計算好后，直接就計算下一題，忘記在橫式上寫得數或者忘記把得數簡化。這些看似簡單的錯誤，需要教師不斷地強調，不斷地練習。在一次次的強調、糾正、練習中，學生的計算能力自然而然就提高了。