時(shí)間：2023-05-23 17:28:12
導(dǎo)語(yǔ)：在函數(shù)最值的應(yīng)用的撰寫(xiě)旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
一、形如“？坌x∈D，a≤f（x）恒成立”型不等式
形如“a≥f（x）”或“a≤f（x）”型不等式是恒成立問(wèn)題中最基本的類型，它的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法是“a≥f（x）在x∈D上恒成立，則a≥
[f（x）]max（x∈D）；a≤f（x）在x∈D上恒成立，則a≤[f（x）]max（x∈D）”.許多復(fù)雜的恒成立問(wèn)題最終都可歸結(jié)到這一類型中.
例題1（2012年陜西理科高考?jí)狠S題）
設(shè)函數(shù)fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）.
（Ⅰ）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：fn（x）在區(qū)間 ，1內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)n=2，若對(duì)任意x1，x2∈[-1，1]有f2（x1）-f2（x2）≤4，求b的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)xn是fn（x）在 ，1內(nèi)的零點(diǎn)，判斷數(shù)列x2，x3…xn…的增減性。
解：（Ⅰ）、（Ⅲ）略
（Ⅱ）當(dāng)n=2時(shí)，f2（x）=x2+bx+c，
對(duì)任意x1，x2∈[-1，1]都有f2（x1）-f2（x2）≤4等價(jià)于f2（x1）-f2（x2）max≤4.
即f2（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4.
當(dāng)- >1，即b>2時(shí)，M=f（1）-f（-1）=2b>4，與題設(shè)
矛盾.
當(dāng)-1≤- ≤0，即0
當(dāng)0≤- ≤1，即-2≤b≤0，M=f（-1）-f（- ）=（ -1）2≤4恒成立.
綜上所述，-2≤b≤2.
二、形如“？堝x∈D，a≤f（x）恒成立”型不等式
形如“？堝x∈D，a≤f（x）恒成立”問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為“a≤f（x）max”來(lái)
求解；
而形如“？堝x∈D，a≥f（x）恒成立”問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為“a≥f（x）min”來(lái)求解。
例題2（2013年重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考）
設(shè)f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3.
若存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M.
解：由題意可知，存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，等價(jià)于：
[g（x1）-（x2）]max≥M，g（x）=x3-x2-3，g′（x）=3x2-2x=3x（x- ）.
由上表可知，g（x）min=g =- ，g（x）max=g（2）=1
[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min= ，故滿足條件的最大整數(shù)M=4.
三、形如“？坌x1∈D，？坌x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式
該類問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為“f（x1）max-g（x2）min”來(lái)求解。
例題3（2013年重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考模擬試題）
設(shè)f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3.
如果對(duì)任意的s，t∈[ ，2]都有f（x）≥g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解：由題意，該問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：在區(qū)間[ ，2]上，f（x）min≥
g（x）max，
由例題3可知，g（x）的最大值為g（2）=1，
f（x）min≥1，又f（1）=a，a≥1
下面證明當(dāng)a≥1時(shí)，對(duì)任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立.
當(dāng)a≥1時(shí)，對(duì)任意x∈[ ，2]，f（x）= +xlnx≥ +xlnx，記h（x）= +xlnx h′（x）=- +lnx+1，h′（1）=0，
可知函數(shù)h（x）在[ ，2）上遞減，在區(qū)間[1，2]上遞增，h（x）min=
h（1）=1，即h（x）≥1.
所以當(dāng)a≥1時(shí)，對(duì)任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立，即對(duì)任意的s，t∈[ ，2]，都有f（s）≥g（t）成立.故a∈[1，+∞）所求.
四、形如“？坌x1∈D，？堝x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式
該類問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為“f（x1）max≤g（x2）min”來(lái)求解。
例題4（2013年南昌市高三文科第一次模擬題）
已知函數(shù)f（x）=ax2-blnx在點(diǎn)[1，f（1）]處的切線方程為y=3x-1.
（1）若f（x）在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若對(duì)任意x∈[0，+∞），均存在t∈[1，3]，使得 t3- t2+ct+ln2+ ≤f（x）試求實(shí)數(shù)c的取值范圍。
解：（1）略
（2）設(shè)g（t）= t3- t2+ct+ln2+ ，根據(jù)題意可知g（t）max≤
f（x）min .
由（1）知f（x）min=f（ ）= +ln2，g′（t）=t2-（c+1）t+c=（t-1）（t-c），
當(dāng)c≤1時(shí)，g′（t）≥0；g（t）在t∈[1，3]上單調(diào)遞增，g（t）min=g（1）= +ln2，滿足g（t）min≤f（x）min；
當(dāng)1
g（t）min=g（c）=- c3+ c2+ln2+ ，
由- c3+ c2+ln2+ ≤ +ln2得c3-3c2+2≥0，（c-1）（c2-2c-2）≥0，此時(shí)1+ ≤c
當(dāng)c≥3時(shí)，g′（t）≤0；g（t）在t∈[1，3]上單調(diào)遞減，g（t）min=
g（3）=- + +ln2.
g（3）=- + +ln2≤- + +ln2= +ln2.
綜上，c的取值范圍是（-∞，1]∪[1+ ，+∞）
五、反饋訓(xùn)練題
1.對(duì)于任意θ∈R，sinθ-2+sinθ-3≥a+ 恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________。
2.若對(duì)任意的a∈R，不等式，x+x-1≥1+a-1-a恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是__________。
3.（2010年山東理科14題）若對(duì)任意x>0， ≤a恒成立，則a的取值范圍是__________。
4.已知函數(shù)f（x）=x2-2x，g（x）=ax+2（a>0），對(duì)？坌x1∈[-1，2]，？堝x0∈[-1，2]，使g（x1）=f（x0），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（0，3] B. ，3 C.[3，+∞） D.（0， ]
參考文獻(xiàn)：
關(guān)鍵詞：最值的性質(zhì) 求解方法 函數(shù)求導(dǎo)
一、函數(shù)最值的性質(zhì)
從函數(shù)的基本性質(zhì)出發(fā)來(lái)看，一些函數(shù)存在最值，有些函數(shù)卻不存在最值，比如一次函數(shù)以及正比例函數(shù)和反比例函數(shù)等不存在最值，但是二次函數(shù)以及三次函數(shù)等存在最值。在函數(shù)最值的求解過(guò)程中，對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行一次求導(dǎo)，使導(dǎo)函數(shù)的值為零的自由變量就是函數(shù)的極值點(diǎn)，換言之，就是導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就是函數(shù)的最大值或者是最小值。在對(duì)三次函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)的過(guò)程中，導(dǎo)函數(shù)的根存在多種情況，對(duì)于無(wú)根的情況就是函數(shù)無(wú)最值，有重根以及異根的情況都是函數(shù)存在駐點(diǎn)，但是函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是最值點(diǎn)，所以，就需要在教學(xué)活動(dòng)中，對(duì)學(xué)生分辨極值點(diǎn)以及最值點(diǎn)的區(qū)別，并且在掌握了各種函數(shù)的基本性質(zhì)之后采用正確的方法對(duì)于函數(shù)的最值進(jìn)行求解。
二、常見(jiàn)函數(shù)的最值求解方法
1、對(duì)一元函數(shù)最值的求解
在對(duì)一元函數(shù)進(jìn)行最值求解的時(shí)候，要先對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)就是函數(shù)最值點(diǎn)。為此，要首先對(duì)于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的求導(dǎo)方法進(jìn)行了解和掌握，函數(shù)如果在一點(diǎn)處連續(xù)，這是函數(shù)可導(dǎo)的前提條件，那么對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到的導(dǎo)函數(shù)的根就是一元函數(shù)的最值點(diǎn)。最對(duì)一元函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)過(guò)程中，首要的步驟就是要先求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得出了導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)以及不可導(dǎo)點(diǎn)之后，再將駐點(diǎn)以及不可到店導(dǎo)入函數(shù)中求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，并且對(duì)于函數(shù)的定義域端點(diǎn)處的函數(shù)值也要進(jìn)行求解，最后，再對(duì)于求解出駐點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的函數(shù)值以及定義域端點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行比較，大的值就是函數(shù)的最大值，小的函數(shù)值即為函數(shù)的最小值。經(jīng)典例題舉例說(shuō)明：已知函數(shù)f （x）=ln（1+x）-x，求函數(shù)的最大值，首先要對(duì)f（x）求導(dǎo)得f'（x）=1/（1+x）-1，導(dǎo)函數(shù)的唯一根為x=0，則函數(shù)的最大值為f（0）=0。例2：若已知f（x）=x3-x，試求f （x）的最值，首先求出導(dǎo)函數(shù)的根，有-1、0、1，它們是f（x）的極點(diǎn)，然后得到函數(shù)的原函數(shù)的增減區(qū)間，f（x）的四個(gè)單調(diào)區(qū)間分別為減區(qū)間、增區(qū)間、減區(qū)間、增區(qū)間，比較三個(gè)極值的大小，得到最小值為-1/4+c。
2、對(duì)于二元函數(shù)的最值求解方法探討
（1）配方法
在對(duì)二元函數(shù)進(jìn)行最值求解的過(guò)程中，要首先對(duì)于二元函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征以及性質(zhì)進(jìn)行分析，除此之外，還要結(jié)合函數(shù)的特殊性質(zhì)，對(duì)于二次函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐浞?，使其能夠轉(zhuǎn)化成為一元函數(shù)來(lái)進(jìn)行求解，之后再利用函數(shù)的基本性質(zhì)，對(duì)于函數(shù)進(jìn)行相關(guān)的求解，比如函數(shù)的絕對(duì)值大于零或者是函數(shù)的平方大于等于零等處理方法進(jìn)行求解。相關(guān)例題說(shuō)明：已知x-y2-2y+5=0，求x的最小值，首先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)x=y2+2y-5，然后將方程右邊進(jìn)行配方，得到y(tǒng)2+2y-5=（y+1）2-6 ≥ - 6，則x 最小值為- 6。例：求2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值，合并同類項(xiàng)得2x2-4xy+3y2-12y+13=2（x-y）2+3（y-2）2+1，當(dāng)x=y=2時(shí)，原函數(shù)的最小值為1。
（2）求導(dǎo)法
通過(guò)二元函數(shù)的性質(zhì)分析可以知道二元函數(shù)的極值在函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)以及駐點(diǎn)處，二元函數(shù)存在最值的充分條件為函數(shù)在連續(xù)并且存在極值，函數(shù)在抹點(diǎn)處取得極值的必要條件就是函數(shù)在某一點(diǎn)處存在二階偏導(dǎo)數(shù)，令函數(shù)對(duì)x的二階偏導(dǎo)數(shù)為A，對(duì)y的二階偏導(dǎo)數(shù)為B，對(duì)x、y的偏導(dǎo)數(shù)為C，若B2-AC小于0，并且A小于0，則該點(diǎn)處的函數(shù)值為極大值；若B2-AC小于0，并且A大于0，則該點(diǎn)處的函數(shù)值為極小值；若B2-AC小于0，則該點(diǎn)不是極值點(diǎn)，根據(jù)求出極值來(lái)得到最大值。
3、對(duì)于三角函數(shù)最值的求解方法探討
對(duì)于三角函數(shù)最值的求導(dǎo)是函數(shù)最值求導(dǎo)的重要組成部分，三角函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中國(guó)所占的比重視比較大的，所以在三角函數(shù)最值的求解方法的教學(xué)過(guò)程中，三角函數(shù)的教學(xué)課時(shí)比重是比較大的。對(duì)于三角函數(shù)的最值進(jìn)行求解，其實(shí)就是對(duì)于三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)進(jìn)行最值的求導(dǎo)，這就需要學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)的基本知識(shí)進(jìn)行充分的了解和掌握之后才能夠?qū)ζ溥M(jìn)行靈活的求解。在解答三角函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)，需要充分了解函數(shù)的定義域?qū)χ涤虻挠绊懞驼?、余弦的取值范圍，同時(shí)還要應(yīng)用二次函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值，像利用函數(shù)的正弦與余弦的平方和等于1等性質(zhì)。在剛剛學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，需要從基礎(chǔ)出發(fā)，避免計(jì)算量過(guò)大的題目，從基礎(chǔ)出發(fā)，加強(qiáng)三角工具的應(yīng)用意識(shí)，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力。
4、對(duì)于解析幾何中的最值求解問(wèn)題
解析幾何中的最值問(wèn)題是解析幾何綜合性問(wèn)題的重要內(nèi)容之一，常以直線與圓、圓錐曲線等內(nèi)容為載體，綜合考查函數(shù)、不等式、三角等知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，屬偏難問(wèn)題。其常見(jiàn)方法首先有代數(shù)法，代數(shù)法就是先建立一個(gè)“目標(biāo)函數(shù)”，再根據(jù)其特點(diǎn)靈活運(yùn)用求函數(shù)最值的方法求得最值。其次就是幾何法，幾何法是借助圖形特征利用圓或圓錐曲線的定義及幾何性質(zhì)來(lái)求最值的一種方法。最值問(wèn)題在數(shù)列和立體幾何應(yīng)用題等知識(shí)點(diǎn)中也有體現(xiàn)，但都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)或解析幾何形式的最值問(wèn)題來(lái)予以解決，這里不一一細(xì)述了。對(duì)于解析幾何中的最值求解問(wèn)題需要學(xué)生多進(jìn)行解題練習(xí)，對(duì)于多種題型的解題方法都要有很好的掌握，這樣才能夠做好解析幾何中的最值求解問(wèn)題。
三、結(jié)束語(yǔ)
綜上所述，對(duì)于各種函數(shù)的最值求解問(wèn)題是多種多樣的，教師在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，要采用合理的教學(xué)方法，對(duì)于教學(xué)計(jì)劃進(jìn)行詳細(xì)認(rèn)真的制定，要在課堂的講課中對(duì)于函數(shù)的最值求解的多種方法要進(jìn)行講解，這樣才能夠使學(xué)生更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)以及最值的求解方法。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查主要是針對(duì)“三次”函數(shù)，下面就利用導(dǎo)數(shù)求“三次”函數(shù)的最值問(wèn)題的步驟進(jìn)行分類解析。
一、利用導(dǎo)數(shù)求最值的一般步驟
求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的主要步驟：（1）求y=f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將y=f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值。
例1：函數(shù)f（x）=2x3-3x2-12x+5在區(qū)間[-2，3]上最大值與最小值分別為（ ）
A.1，-4 B.12，-15 C.12，-4 D.-4，-15
解析：先求導(dǎo)數(shù)，得f ′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2），
令f ′（x）=0，即6x2-6x-12=0，解得x1=-1，x2=2。
導(dǎo)數(shù)f ′（x）的正負(fù)以及f（-2）=5，f（2）=-4，如下表：
從上表可知，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最大值12，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最小值-15，故選B。
點(diǎn)評(píng)：從上面的解答看，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的過(guò)程相對(duì)較繁，是不是可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)化呢？請(qǐng)同學(xué)們看下面的分析。
二、利用導(dǎo)數(shù)求最值的簡(jiǎn)化步驟
根據(jù)例1的解答可以看到，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，實(shí)際上就是將函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程f ′（x）=0根對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，整個(gè)過(guò)程無(wú)須判斷極值為極大值還是極小值。此時(shí)利用導(dǎo)數(shù)求最值的步驟：（1）求導(dǎo)數(shù)f ′（x）；（2）求方程f′（x）=0的全部實(shí)根；（3）求出f ′（x）=0的根對(duì)應(yīng)的函數(shù)值及端點(diǎn)的函數(shù)值，并進(jìn)行大小比較，其中最大的一個(gè)就是最大值，最小的一個(gè)就是最小值。
例2：求函數(shù)f（x）=x3-2x2+1在區(qū)間[-1，2]上的最大值與最小值。
解析：f ′（x）=3x2-4x，令f ′（x）=0，得x1=0，x2=，
則f（0）=1，f（）=-，同時(shí)f（-1）=-2，f（2）=1，
比較上述四個(gè)函數(shù)值的大小知，當(dāng)x=0或2時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為1，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為-2。
點(diǎn)評(píng)：從上面兩個(gè)的解答可以看到，求導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程f′（x）=0有實(shí)數(shù)根。至此有學(xué)生會(huì)問(wèn)了：如果方程f′（x）=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那又如何進(jìn)行解答呢？是否也有步驟可尋？請(qǐng)繼續(xù)往下看。
三、利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性求最值的步驟
如果導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程f ′（x）=0無(wú)實(shí)數(shù)，此時(shí)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)就確定了，函數(shù)在整個(gè)定義域上就具有單調(diào)性，即函數(shù)的最值就是定義域的端點(diǎn)處取得。其解法的一般步驟：（1）求導(dǎo)數(shù)f ′（x）；（2）考查f ′（x）=0根的情況，若有根，則按例2的方法求解，若無(wú)實(shí)根，則首先判斷f ′（x）的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）按單調(diào)性與函數(shù)最值的關(guān)系求最值。
例3：求函數(shù)f（x）=x3-3x2+6x-2，x∈[-1，1]的最大值和最小值。
解析：f ′（x）=3x2-6x+6，令f ′（x）=0，方程無(wú)解。
因f ′（x）=3x2-6x+6=3（x-1）2+3，所以函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上是增函數(shù)，
當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（-1）=-12，
當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)f（x）的最大值為f（-1）=2。
點(diǎn)評(píng)：本類題型實(shí)際上表現(xiàn)為函數(shù)在整個(gè)定義域上具有單調(diào)性，但不具有極值，因此不必去確定極值，其解題步驟得到了簡(jiǎn)化。從上面的三個(gè)例子可以看到，函數(shù)除含有未知數(shù)外，沒(méi)有其他的變量了，因此我們不難想到，如果對(duì)函數(shù)含有其他參數(shù)，那么又該如何操作呢？下面我們繼續(xù)分析。
四、利用導(dǎo)數(shù)求含有參數(shù)的函數(shù)最值的步驟
利用導(dǎo)數(shù)求含有參數(shù)的最值時(shí)，一般步驟：（1）求導(dǎo)函數(shù)f ′（x）。（2）對(duì)導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程f ′（x）=0進(jìn)行討論，主要涉及三類討論：①對(duì)首項(xiàng)系數(shù)的討論；②對(duì)判別式的討論；③對(duì)方程根的大小的討論。（3）根據(jù)f ′（x）的符號(hào)確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性。（4）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值。
例4：已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2（x-a）。求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值。
解析：f ′（x）=3x2-2ax=x（3x-2a）。令f ′（x）=0，解得x1=0，x2=。
當(dāng)≤0，即a≤0時(shí)，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，從而f（x）max=f（2）=8-4a。
當(dāng)≥2，時(shí)，即a≥3時(shí)，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，從而f（x）max=f（0）=0。
當(dāng)0
從而f（x）max=8-4a 0
綜上所述，f（x）max=8-4a a≤20 a>2。
點(diǎn)評(píng)：本題由于函數(shù)解析式中含有參數(shù)，因此方程f′（x）=0的根含有參數(shù)，對(duì)其根0與的大小進(jìn)行了討論。同時(shí)還可以注意到本題解答不是通過(guò)先確定函數(shù)在區(qū)間上的極值，再比較其與區(qū)間端點(diǎn)值的大小來(lái)求解的，而是利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)求函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間上的最值，再比較這些最值大小來(lái)求解的。上面幾例都是求函數(shù)的最值情況，現(xiàn)在我們進(jìn)行逆向思維，即如果已知函數(shù)的最值情況，而求參數(shù)問(wèn)題，那該如何處理呢？
五、已知函數(shù)的最值求解參數(shù)值的步驟
已知函數(shù)的最值求參數(shù)的值是一類逆向思維問(wèn)題，解答的主要步驟：（1）求導(dǎo)函數(shù)f ′（x）；（2）確定方程f ′（x）=0的根，可能時(shí)要注意討論；（3）確定函數(shù)的最值；（4）根據(jù)已知的最值與所求得的最值建立方程（組），由此可求得參數(shù)的值。
例5：已知函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x+a。若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。
解析：（Ⅱ）由f ′（x）=-3x2+6x+9=0，得x=-1或x=3，則由x∈[-2，2]，得f（-2）=a+2，f（2）=a+22，f（-1）=a-5。
比較知f（2）=a+22=20，解得a=-2，
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值為
f（-1）=-2-5=-7。
[關(guān)鍵詞]：三角函數(shù) 值域 單調(diào)區(qū)間 解析式
一、求三角函數(shù)的值域與最值問(wèn)題
求三角函數(shù)的值域（最值）可分為：
（1）類型的，應(yīng)利用其圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合求解；
（2）可化為以三角函數(shù)為自變量的二次函數(shù)類型，應(yīng)確定三角函數(shù)的范圍，再用二次函數(shù)求解.
應(yīng)用1 已知函數(shù)y=+b在x≤上的值域?yàn)閇-5，1].求a，b的值.
提示：先由x的范圍確定的范圍，再根據(jù)a的符號(hào)，討論a，b的取值.
解：x∈，
2x+∈，≤.
當(dāng)a>0時(shí)，解得
當(dāng)a
a，b的取值分別是4，-3或-4，-1.
應(yīng)用2 設(shè)a≥0，若的最大值為0，最小值為-4，試求a，b的值.
提示：通過(guò)換元化為二次函數(shù)最值問(wèn)題求解.
解：原函數(shù)變形為
當(dāng)0≤a≤2時(shí)，- ∈[-1，0]，
①
.②
由①②，得a=2，b=-2，舍a=-6（與0≤a≤2矛盾）.
當(dāng)a>2時(shí)，- ∈（-∞，-1），
.③
.④
由③④，得a=2，不適合a>2，應(yīng)舍去.
綜上可知，只有一組解
應(yīng)用3已知是第三象限角，且=.
（1）化簡(jiǎn)；
（2）已知，求的值.
解：（1）=
==.
（2）cos=，
是第三象限角，
==-=-.
二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.此類題目應(yīng)以正弦函數(shù)y=sin x的單調(diào)區(qū)間為基礎(chǔ)，利用整體思想求解.
應(yīng)用單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）.
A. （k∈Z）
B. （k∈Z）
C. （k∈Z）
D. （k∈Z）
解析： =-2sin
=2sin=2sin，
把2x+看成一個(gè)整體，令），
解得
即.
答案：D
三、由三角函數(shù)圖象求解析式
已知三角函數(shù)的圖象求出其解析式，解此類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解和把握參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響，A影響函數(shù)的最值，ω影響函數(shù)的周期，影響函數(shù)的相位.有時(shí)還要根據(jù)所給的圖象經(jīng)過(guò)的特殊點(diǎn)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)適合函數(shù)解析式來(lái)求解.
應(yīng)用1 已知函數(shù)的簡(jiǎn)圖，如圖所示，那么（ ）.
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
解析：函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），說(shuō)明當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)值y=1，則即.
由，知.
又曲線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是，說(shuō)明當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)值y=0，
則，解得ω=2，即ω=2，.
答案：C
應(yīng)用2 如圖是一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，橫軸表示振動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示振子的位移.
求：（1）該振動(dòng)的函數(shù)解析式；
（2）在t=0.4 s時(shí)的位移.
解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為，A>0，ω>0.
由圖象，得A=2，周期T=2（0.5-0.1）=0.8.
0.8=，ω=.y=2sin.
又當(dāng)x=0.1時(shí)，y=2，2sin=2.
sin=1，取φ=.y=2sin.
（2）f（0.4）=2sin=2sin
我們一般求三角函數(shù)單調(diào)性的基本方法是：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)單調(diào)區(qū)間的確定，首先要看A，ω是否為正，若ω為負(fù)，則先應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為正，然后將ωx+φ看作一個(gè)整體，化為最簡(jiǎn)式，再結(jié)合A 的正負(fù)，在2kπ-■≤x≤2kπ+■和2kπ+■≤x≤2kπ+■，k∈Z兩個(gè)區(qū)間內(nèi)分別確定函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間。這里不僅涉及到還原的數(shù)學(xué)思想，而且要用到不等式的性質(zhì)，在教學(xué)中從學(xué)生掌握的情況來(lái)看，效果并不理想，那么是否有簡(jiǎn)單的一些方法呢？筆者在思考這個(gè)問(wèn)題時(shí)突然想到了求二次函數(shù)的單調(diào)性關(guān)鍵是找到對(duì)稱軸，然后結(jié)合函數(shù)圖像的開(kāi)口方向來(lái)確定單調(diào)區(qū)間。那么三角函數(shù)的單調(diào)性可否用對(duì)稱軸入手解決呢？為了有個(gè)解法上的比較我們下面先用課本上的方法解決然后再用對(duì)稱軸的方法進(jìn)行解決。
題目：求函數(shù)y=sin(■-■x)在區(qū)間[-2π,2π]的單調(diào)增區(qū)間。
解法一：（1）利用誘導(dǎo)公式把函數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)(y=Asin(ωx+φ)，A>0,ω>0)的形式：
y=sin■-■x=-sin■x-■。
（2）把標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)函數(shù)(y=Asinx)的形式，令z=■x-■，原函數(shù)變?yōu)閥=-sinz。
（3）討論函數(shù)y=-sinz的單調(diào)性，因?yàn)閥=-sinz的單調(diào)性與函數(shù)y=sinz的單調(diào)性相反，所以函數(shù)y=-sinz的單調(diào)增區(qū)間是[2kπ+■,2kπ+■]，k∈Z，所以2kπ+■
即2kπ+■
（4）計(jì)算k=0,k=±1時(shí)的單調(diào)增區(qū)間
k=0時(shí)，■≤x≤■；k=1時(shí)，■≤x≤■；k=-1時(shí)，-■≤x≤-■
（5）在要求的區(qū)間內(nèi)[-2π,2π]確定函數(shù)y=sin■-■x最終的單調(diào)區(qū)間：[-2π≤x≤-■]，[■≤x≤2π]
解法二：因?yàn)閥=sinx的對(duì)稱軸方程為x=kπ+■，k∈Z所以令■-■x=kπ+■，k∈Z，即解得x=-2kπ-■，k∈Z。當(dāng)k=0時(shí)，x=-■;k=-1，x=■，而-■，■∈[-2π,2π]，
由對(duì)稱軸方程知， 當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)取最大值；當(dāng)k=-1時(shí)，函數(shù)取最小值。
故[-■,■]上函數(shù)是減函數(shù)，所以區(qū)間[-2π,-■]，[■,2π]是函數(shù)的增區(qū)間。
總結(jié)：解法一是教科書(shū)提供的范例，是一種基本的方法，涉及到還原的思想，不等式性質(zhì)的應(yīng)用。解法二是利用函數(shù)圖像對(duì)稱軸來(lái)解決問(wèn)題，眾所周知二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間由對(duì)稱軸分界（取得最值的地方就是分界點(diǎn)），由此想到三角函數(shù)的最值也是在單調(diào)分界處取得，所以求三角函數(shù)的單調(diào)性，只要求出它的對(duì)稱軸，然后根據(jù)取得最值的情況寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間。
另外求函數(shù)的值域及最值問(wèn)題可以由單調(diào)性來(lái)求，那么求三角函數(shù)的值域及最值問(wèn)題都可以由對(duì)稱軸來(lái)快速解決，特別是在考試時(shí)解決客觀題的好方法，下面我們?cè)倏匆活}。
題目：已知函數(shù)f(x)=2sin(2x-■)，x∈[0,■]，求f(x)的值域。
解：令2x-■=kπ+■,k∈Z，解得x=kπ+■，當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)取得最大值且對(duì)稱軸x=■落在區(qū)間[0,■]內(nèi)，所以函數(shù)的最大值為f(■)=2sin(2×■-■)=2sin■=2，函數(shù)的最小值為f(0)=-1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-1,2]。若將條件x∈[0,■]改為x∈[0,■]，我們?cè)撊绾巫瞿兀?/p>
關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；單調(diào)性；最值；不等式；切線方程
中圖分類號(hào)：G718.5
導(dǎo)數(shù)是高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的一部分內(nèi)容，它是微積分學(xué)中的最基本概念。它是對(duì)函數(shù)性質(zhì)研究的有力工具。在函數(shù)的單調(diào)性、最值等方面，導(dǎo)數(shù)都提供了快捷便利的研究方法。甚至在不等式的證明中，導(dǎo)數(shù)也能打開(kāi)一條新的途徑。下面通過(guò)一些典型例題的解答簡(jiǎn)單闡述導(dǎo)數(shù)的工具作用。
一、導(dǎo)數(shù)在證明函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)單調(diào)區(qū)間方面的應(yīng)用
利用拉格朗日中值定理，可以證明定理：設(shè) 在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么（1）如果在（a，b）內(nèi)有 ，則 在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；（2）如果在（a，b）內(nèi)有 ，則 在（a，b）內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)。利用這一定理，可以快速地判斷函數(shù)單調(diào)性并求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間。
【例1】求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間
解：該函數(shù)的定義域?yàn)镽，得一階導(dǎo)函數(shù)數(shù) 。令 ，得駐點(diǎn) 。當(dāng) 時(shí)， ，因此 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng) 時(shí)， ，因此 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增。
點(diǎn)評(píng) 通過(guò)傳統(tǒng)方法來(lái)證明單調(diào)性和求解單調(diào)區(qū)間，化簡(jiǎn)證明過(guò)程相當(dāng)?shù)姆爆崗?fù)雜。而使用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決，過(guò)程就會(huì)非常簡(jiǎn)潔。
二、導(dǎo)數(shù)在證明不等式的中的應(yīng)用
利用單調(diào)性證明不等式的成立的過(guò)程，首先需要構(gòu)造函數(shù) ，根據(jù)題目給定的范圍 ，求解出 在范圍 上的單調(diào)性，而后利用單調(diào)性得到不等式，從而來(lái)解決原不等式的證明。
【例2】證明：當(dāng) 時(shí)，不等式 的成立
解：構(gòu)造函數(shù) ，定義域?yàn)?。對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得 。因?yàn)?，所以 。即當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 為增函數(shù)。所以 ，有 ，故可得 ，即不等式 的成立。
點(diǎn)評(píng) 本例在構(gòu)造函數(shù)式是直接根據(jù)不等式構(gòu)造的。但有些不等式的證明，需要將不等式作適當(dāng)變形后才能找到構(gòu)造的函數(shù)。
【例3】已知 ，且 為正整數(shù)，求證：
分析：由于 ，且 為正整數(shù)，所以
故，構(gòu)造函數(shù) ，利用其單調(diào)性可以證明
解：設(shè) ，求導(dǎo)得
， 即
即 在 上單調(diào)遞減
，即不等式得證。
點(diǎn)評(píng) “構(gòu)造函數(shù)”是利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決不等式證明問(wèn)題的主要途徑。
三、導(dǎo)數(shù)在解決最值問(wèn)題中的應(yīng)用
利用導(dǎo)數(shù)解決最值問(wèn)題中，主要依靠函數(shù)的極值來(lái)解決。函數(shù)的極值是一個(gè)局部概念，僅與極值點(diǎn)左、右兩邊近旁的函數(shù)值比較。整個(gè)函數(shù)的定義域內(nèi)可以有多個(gè)極值，且極小值也有可能大于極大值。所以在閉區(qū)間內(nèi)的函數(shù)的最值可以定義為：
最大值=max{極大值，端點(diǎn)函數(shù)值} 最小值=min{極小值，端點(diǎn)函數(shù)值} （3.1）
利用導(dǎo)數(shù)求解最值問(wèn)題的步驟可以歸納為：
1）令 ，在題目給定的區(qū)間內(nèi)，解得駐點(diǎn)
2）求駐點(diǎn)左右的區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性。若左增右減，則駐點(diǎn)處為極大值；若左減右增，則駐點(diǎn)為極小值；其他情況均不為極值。此過(guò)程可以通過(guò)列表實(shí)現(xiàn)。
3）求解的閉區(qū)間端點(diǎn)出的函數(shù)值
4）根據(jù)公式（3.1）求出最值
【例4】函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的最值
解：令 ，得 或 ，易得 是區(qū)間 內(nèi)的唯一駐點(diǎn)。
極小值為 ，端點(diǎn)值為 ， ，所以，函數(shù)最大值為max{ ， } ，最小值為min{ ， ， }= 。
點(diǎn)評(píng) 在本例中，步驟（2）中判斷極值點(diǎn)的方法可以替換為考察 的二階導(dǎo)數(shù)。當(dāng) 時(shí)， 為極小值點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)， 為極大值點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)， 的情況不確定。因此，【例4】中判斷極值點(diǎn)的過(guò)程可以替換為：
，
取駐點(diǎn) 時(shí)，有，
所以 是函數(shù) 在給定區(qū)間內(nèi)的極小值點(diǎn)。
此方法，在復(fù)雜度和運(yùn)算量上有一定優(yōu)勢(shì)。但是，由于 時(shí)， 的極值點(diǎn)情況不確定，所以在應(yīng)用范圍上較窄，沒(méi)有原來(lái)的方法適應(yīng)的函數(shù)更廣。
當(dāng)在利用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題中的最值時(shí)，如果函數(shù) 在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn) ，并且從實(shí)際問(wèn)題本身又可以知道在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的最大值（最小值）確實(shí)存在，那么直接可得 就是所要求的最大值（或最小值）。
【例5】如圖所示，已知一正方形鐵皮邊長(zhǎng)為90cm，將其四個(gè)角分別截去同樣大小的一個(gè)正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋鐵箱，問(wèn)截去的小正方形邊長(zhǎng)為多少cm，才能使無(wú)蓋鐵箱的容積達(dá)到最大？最大容積為多少？
解：設(shè)截去的小正方形邊長(zhǎng)為a cm，鐵箱容積為
由題意可知， ，求導(dǎo)可得
令 ，求得（0，45）內(nèi)的唯一的駐點(diǎn) ，此時(shí)
由于該實(shí)際問(wèn)題中最大值必定存在，所以我們可以確定：當(dāng) 時(shí)，鐵箱容積達(dá)到最大值。所以當(dāng)截去的小正方形的邊長(zhǎng)15cm時(shí)，鐵箱有最大容積為 。
點(diǎn)評(píng) 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的條件，利用導(dǎo)數(shù)能快速求出最值。
四、導(dǎo)數(shù)對(duì)解決曲線切線問(wèn)題的應(yīng)用
在引入導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中，我們就是從求曲線的切線問(wèn)題開(kāi)始的，割線轉(zhuǎn)化為切線的思想方法中抽象出了導(dǎo)數(shù)的概念。所以導(dǎo)數(shù)在解決曲線切線的問(wèn)題上也起到了有力的作用。
【例6】求過(guò)原點(diǎn)與曲線 相切的切線方程
解：原點(diǎn)（0，0）不在曲線上，故設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），則有 ，該點(diǎn)處的切線斜率為 ，所以切線方程為 。由于原點(diǎn)（0，0）在切線上，代入切線方程可得 ，于是得到切點(diǎn)坐標(biāo)（ ， ）回代入切線方程可得
點(diǎn)評(píng) 利用好切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的斜率這一性質(zhì)。
通過(guò)以上例題，可以看到，導(dǎo)數(shù)在高職數(shù)學(xué)中有著廣泛的且重要的應(yīng)用。在解決函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)最（極）值，不等式證明以及曲線切線問(wèn)題等方面的問(wèn)題中，導(dǎo)數(shù)都是有力的工具。其方法與傳統(tǒng)的常規(guī)方法相比，更具有簡(jiǎn)潔的過(guò)程和明顯優(yōu)勢(shì)。另外，導(dǎo)數(shù)除了在高職數(shù)學(xué)之外，在其他專業(yè)課程也有及其重要的應(yīng)用，如在物理中，求解加速度等問(wèn)題。
參考文獻(xiàn)：
應(yīng)用一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
這一類題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.通過(guò)求導(dǎo)將函數(shù)與方程、不等式結(jié)合起來(lái)，考查運(yùn)算求解能力.
例1 已知函數(shù)φ（x）=ax+1，a為正常數(shù).
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=92，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對(duì)任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有g(shù)（x2）-g（x1）x2-x1
解析：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.第（2）問(wèn)求解的關(guān)鍵是將已知不等式g（x2）-g（x1）x2-x1
（2）由g（x2）-g（x1）x2-x1
點(diǎn)評(píng)：該題信息給出的是不等式，不少同學(xué)在轉(zhuǎn)化時(shí)無(wú)從下手，挖掘不等式的本質(zhì)可知，其實(shí)不等式對(duì)應(yīng)的是函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題.撥開(kāi)云霧看問(wèn)題，分析出h（x）具備的單調(diào)性后，就可以無(wú)招勝有招.
在代數(shù)中，“元”是很重要的概念，不少問(wèn)題都帶有兩個(gè)“元”，即x1，x2，在解方程組時(shí)最根本的方法是消元.但是本題中的兩個(gè)元x1，x2如何轉(zhuǎn)化？從上面的分析可以得知，挖掘出隱含的函數(shù)單調(diào)性，即達(dá)到了“消”的目的，從該題中挖掘出蘊(yùn)含的思想方法，詮釋其內(nèi)容，回到基本概念中去，分析題目的信息，聯(lián)系基礎(chǔ)知識(shí)與基本思想方法，聯(lián)系已知與未知的關(guān)系，獲得解題思路.在具體運(yùn)算求解過(guò)程中，需要解決含參不等式恒成立問(wèn)題，這類題考查同學(xué)們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，一般情況下可以分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的值域（最值），或直接求導(dǎo)，分類討論求值域.
通過(guò)導(dǎo)數(shù)把函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題化為不等式問(wèn)題頗受各地命題專家的青睞.雖然試題千變?nèi)f化，但是解決問(wèn)題的思想方法基本相同.
在建立目標(biāo)函數(shù)后，另辟蹊徑，極富成效的進(jìn)行變形，問(wèn)題就迎刃而解.對(duì)試題的異樣的分析與解答，拓寬我們的視野，提高思維的靈活性，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，提升數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).所以，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要善于注意一題多解，一解多用.
應(yīng)用二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及參數(shù)的取值范圍 用導(dǎo)數(shù)研究參數(shù)的取值范圍，其實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的問(wèn)題，這類問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極（最）值的應(yīng)用.問(wèn)題的難點(diǎn)在于如何聯(lián)系參數(shù)和所求得的函數(shù)的極（最）值，破解的方法是根據(jù)題目的要求，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，探求函數(shù)極（最）值，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使得問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).
例2 已知函數(shù)f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x.
點(diǎn)評(píng)：（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)范圍是高考的一個(gè)熱點(diǎn)題型，其根據(jù)是函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增（減）時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大（?。┯诨蛘叩扔诹愫愠闪ⅲD(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題解決.
（2）在形式上的二次函數(shù)問(wèn)題中，極易忽略的就是二次項(xiàng)系數(shù)可能等于零的情況，這樣的問(wèn)題在函數(shù)的單調(diào)性的討論中是經(jīng)常遇到的，值得考生特別注意.
應(yīng)用三 利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的分布
研究方程的根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程根的情況，這是導(dǎo)數(shù)這一工具在研究方程中的重要應(yīng)用.將方程、不等式等有關(guān)知識(shí)和導(dǎo)數(shù)結(jié)合的綜合性問(wèn)題，主要考查綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值.應(yīng)用這種方法的難點(diǎn)是如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)或者根據(jù)題目證明目標(biāo)的要求，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.破解的基本思路是從函數(shù)的角度分析要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，然后去構(gòu)造函數(shù)式，或者從不等式證明的放縮方向上去構(gòu)造函數(shù)式，使所構(gòu)造出的函數(shù)是不等式證明所需要的最佳函數(shù).
點(diǎn)評(píng)：該題的難點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是第（2）問(wèn)中求解函數(shù)的極值要根據(jù)b的取值范圍進(jìn)行分類討論；二是證明關(guān)于n的不等式，解決此類問(wèn)題的一般思路是將不等式直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.
（集寧師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000）
【摘 要】導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的重要組成部分，是研究函數(shù)性質(zhì)、曲線性態(tài)的重要工具[1]，也是解決實(shí)際生活中某些優(yōu)化問(wèn)題的重要方法。探討了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際生活中有關(guān)用料、成本、利潤(rùn)及選址方面問(wèn)題的方法。
關(guān)鍵詞 微積分；導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用
0 引言
導(dǎo)數(shù)（Derivative）也叫微商，是一種特殊的極限，它反映了函數(shù)中因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度，[2]是微積分中重要的基礎(chǔ)概念 是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁。在研究幾何、證明不等式等方面起著重要的作用，在探究函數(shù)性質(zhì)、尋求函數(shù)極值與最值以及描繪函數(shù)圖形等方面也起著重要的作用，同時(shí)，也為解決某些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題提供了重要的方法。在實(shí)際生活中經(jīng)常出現(xiàn)的一些謀求利潤(rùn)最大、耗材最少、或效率最高、位置最佳等與經(jīng)濟(jì)或科學(xué)研究有關(guān)的問(wèn)題，這些問(wèn)題稱之為優(yōu)化問(wèn)題，如何找到解決該類問(wèn)題的最佳方案是求解該類問(wèn)題的關(guān)鍵，而利用導(dǎo)數(shù)就可以簡(jiǎn)捷地解決這些問(wèn)題，從而真正解決我們的實(shí)際生活問(wèn)題。
1 導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義
2 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問(wèn)題的方法與注意事項(xiàng)
實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題，如選址最佳、用料最省、利潤(rùn)最大等問(wèn)題，本質(zhì)上就是最值問(wèn)題，這些問(wèn)題與求函數(shù)的最值問(wèn)題有著密切的聯(lián)系，而這些問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)得以簡(jiǎn)捷的解決。
2.1 解決優(yōu)化問(wèn)題的方法
首先對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行分析，找出各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立相對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題，再結(jié)合實(shí)際情況確定自變量的定義域，創(chuàng)造函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的情景，通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)、確定駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)、比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)、極值點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值，獲得所求函數(shù)的最大(小)值，最后將數(shù)學(xué)問(wèn)題回歸到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案回答優(yōu)化問(wèn)題最佳方案或策略。
利用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問(wèn)題的思路如圖1所示。
2.2 導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的注意事項(xiàng)
在求解實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的背景，求得的解要滿足現(xiàn)實(shí)意義，舍去不符合現(xiàn)實(shí)意義的值，若遇到目標(biāo)函數(shù)在有限開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間或無(wú)限區(qū)間內(nèi)只存在一個(gè)駐點(diǎn)的情況，如果該駐點(diǎn)處的函數(shù)值是目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn)，則該點(diǎn)即為目標(biāo)函數(shù)的最值點(diǎn)。
3 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用
3.1 導(dǎo)數(shù)在材料利用問(wèn)題中的應(yīng)用
例1 圓柱形金屬罐裝飲料廠為節(jié)約用料降低成本，在保證所裝飲料體積一定的情況下，如何設(shè)置飲料罐的高與底半徑，才能使材料減小到最??？（假設(shè)圓柱形飲料罐的上下底厚度分別是側(cè)面厚度的2倍）
分析：該例題屬于“用料最省”的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是寫(xiě)出用料函數(shù)表達(dá)式，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)探求目標(biāo)函數(shù)的最值。
例2[4] 某零件生產(chǎn)車間欲將一批半徑為R 的金屬圓球切削成圓柱形零件，該批圓柱形零件的高為多少時(shí)，能使原料的利用率最高？
分析：該問(wèn)題也是一個(gè)“用料最省”問(wèn)題，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，材料利用率最高，關(guān)鍵是根據(jù)問(wèn)題描述寫(xiě)出圓柱體體積V與圓半徑R、圓柱高h(yuǎn)的函數(shù)表達(dá)式，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求解目標(biāo)函數(shù)的極值，從而解決問(wèn)題。
解：設(shè)圓柱形零件的底半徑為r，高為h，則其體積為V=πr2h
材料利用問(wèn)題、成本利潤(rùn)問(wèn)題以及選址等問(wèn)題都是實(shí)際生活中最常見(jiàn)的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的分析，可以確定它們都是最值問(wèn)題，可以利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析、求解。
4 結(jié)論
解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的主要應(yīng)用，通常的求解方法是首先根據(jù)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，列出優(yōu)化問(wèn)題中相關(guān)量的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)去分析、求解，最后將計(jì)算結(jié)果回歸到實(shí)際問(wèn)題，從而推出所研究問(wèn)題的結(jié)論。
參考文獻(xiàn)
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【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用；高中數(shù)學(xué)
一、導(dǎo)數(shù)的概述
“新課標(biāo)”在教程的目標(biāo)、觀念上的一個(gè)發(fā)展就是在數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更加強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解.在“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”教學(xué)中，通過(guò)導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì).高中數(shù)學(xué)由必修和選修組成，在所學(xué)課程中多處涉及導(dǎo)數(shù)方面的問(wèn)題，足以看到導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有很高的地位.
在高中學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等來(lái)理解函數(shù)的性質(zhì).而這些性質(zhì)都可以通過(guò)畫(huà)出函數(shù)圖像表示出來(lái).基本初等函數(shù)可用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖像，而一些比較難的非基本初等函數(shù)無(wú)法用描點(diǎn)法繪制函數(shù)圖像.在這種情況下，我們可以用所掌握的導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)求一階導(dǎo)數(shù)，并利用其判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)，利用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)的凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)，然后利用極限的思想來(lái)找出水平漸近線和垂直漸近線，最后再利用描點(diǎn)法來(lái)畫(huà)出較為準(zhǔn)確的函數(shù)圖像.這不僅僅能使學(xué)生更好地掌握所學(xué)的基本知識(shí)，同時(shí)擴(kuò)展了數(shù)學(xué)思維.
讓學(xué)生們體會(huì)研究導(dǎo)數(shù)所用到的思想方法：先研究函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，再進(jìn)一步過(guò)渡到一個(gè)區(qū)間上；在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)來(lái)研究曲線在某一點(diǎn)處的性質(zhì).這種從局部到整體，再由整體回到局部的思想方法是非常值得學(xué)生學(xué)習(xí)的.
二、導(dǎo)數(shù)在解題過(guò)程中的應(yīng)用
1.函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最基本的性質(zhì)之一，是我們研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識(shí).它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的用處是非常廣泛的.其思維方法有：（1）利用增（減）函數(shù)的定義判斷單調(diào)性.（2）導(dǎo)數(shù)法.利用在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f（x）在（a，b）上遞增（或遞減）的充要條件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0），x∈（a，b）恒成立（但f′（x）在（a，b）的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0）.方法（1）中的化簡(jiǎn)較為煩瑣，比較適合解決抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，而利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性既快捷又容易掌握，特別是對(duì)于具體函數(shù)更加適用.
2.利用導(dǎo)數(shù)求極值和最值
最值和極值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn).它涉及了高中數(shù)學(xué)知識(shí)的很多方面，要解決這類問(wèn)題往往需要各種能力，同時(shí)需要選擇合理的解題途徑和策略.用導(dǎo)數(shù)解決這類問(wèn)題可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)單化，步驟清晰，學(xué)生也更容易掌握.應(yīng)注意函數(shù)的極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，極值是一個(gè)局部性概念，而最值是某個(gè)區(qū)間的整體性概念.
一般地，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，則f（x）在[a，b]上的最值求法：
（1）求函數(shù)f（x）在（a，b）上的極值點(diǎn)；
（2）計(jì)算f（x）在端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值；
（3）比較f（x）在端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值，最大的就是最大值，最小的就是最小值.
3.切線問(wèn)題
在某一點(diǎn)的切線方程為y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），但應(yīng)注意點(diǎn)P（x0，f（x0））在曲線y=f（x）上，否則易錯(cuò).利用導(dǎo)數(shù)求切線問(wèn)題一般可以分為兩類：過(guò)一點(diǎn)的切線方程和兩曲線切線方程.第一種題型分為點(diǎn)在曲線上和點(diǎn)在曲線外兩種情況，f′（x0）的幾何意義就是曲線在點(diǎn)P（x0，f（x0））處切線的斜率；而第二類用常規(guī)方法求解，運(yùn)算量大，過(guò)程特別煩瑣，而利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)就為解決這類問(wèn)題提供了簡(jiǎn)潔的方法，即先分別求出兩曲線的切線，利用它們是同一直線來(lái)建立關(guān)系求解.
4.證明不等式
縱觀這幾年高考，凡涉及不等式證明的問(wèn)題，其思維量大、綜合性強(qiáng)，因此歷來(lái)是高考的難點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)去證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，直接或者間接等價(jià)轉(zhuǎn)化后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù).通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題.
5.討論方程解的個(gè)數(shù)
在討論方程的根的存在性及個(gè)數(shù)問(wèn)題上，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)很好的工具，在這一類的問(wèn)題上關(guān)鍵是將方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)或者函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合根的存在性定理及函數(shù)圖像來(lái)解決問(wèn)題.
三、利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題
導(dǎo)數(shù)不僅可以解決函數(shù)、切線、不等式問(wèn)題，還可以解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.近年來(lái)，高考越來(lái)越關(guān)注對(duì)實(shí)際問(wèn)題的考查.
生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、效率最高、費(fèi)用最省等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為最優(yōu)化問(wèn)題，我們可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法來(lái)解決這類問(wèn)題.導(dǎo)數(shù)描述了一個(gè)函數(shù)的因變量相對(duì)于自變量變化的快慢程度，即因變量關(guān)于自變量的變化率.
利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟：
（1）分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f（x），要注意x的范圍.
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）的極值和函數(shù)的最值，給出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答.