時(shí)間：2022-10-15 13:46:06
導(dǎo)語：在線性規(guī)劃的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；幾何向量；交匯題
中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2012）21-263-03
縱觀近些年的高考題，細(xì)細(xì)品味發(fā)現(xiàn)：重視在“知識(shí)的交匯處命題”是高考數(shù)學(xué)命題的一大特點(diǎn)，因?yàn)橹R(shí)的交匯處既體現(xiàn)了知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，又能更好考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。本人結(jié)合自己的教學(xué)體會(huì)和2011年江西省各地模擬試題及全國各省高考題，對(duì)其中的線性規(guī)劃題作一簡單歸納。
1、線性規(guī)劃與解析幾何交匯
例1：（江西省南昌市2011屆高三第三次聯(lián)考）已知x，y滿足不等式組 ，則 的最小值為（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
分析與簡解：
欲求最小值的式子可化為 ，即表示區(qū)域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（-1，1）的距離的平方，故畫出線性約束條件下不等式組所表示的平面區(qū)域，如上圖，易知問題可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)（-1，1）到直線y=x的距離的平方，易算得2，故選B。
歸納：線性規(guī)劃能很好地把數(shù)與形結(jié)合起來，故它與解析幾何交匯很自然，此類題首先要準(zhǔn)確畫出不等式組表示的平面區(qū)域，即完成由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)式子的幾何意義，直觀觀察求得相關(guān)結(jié)論。
（1）（江西省吉安市2011年高三期末聯(lián)考卷）若點(diǎn)P在區(qū)域 內(nèi)，則點(diǎn)P到直線 距離的最大值為______
（2）（江西省上饒市重點(diǎn)中學(xué)2011屆高三聯(lián)考）設(shè) ，若實(shí)數(shù)x，y滿足條件 ，則 的最大值是_______。
（3）（江西省2011屆高三九校聯(lián)考）設(shè)x，y滿足約束條件 ，則 的取值范圍是（ ）
A. B.
C. （ ） D.
2.線性規(guī)劃與函數(shù)，方程交匯
例2：（江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2011年高三聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，且f（6）=2，f/（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f/（x）的圖象如上圖所示，若正數(shù)a，b滿足f（2a+b）
A. B.
C. D.
分析與簡解：
由導(dǎo)函數(shù)圖象知， ，f（x）遞增，故由f 可知： ，作出可行域ABO內(nèi)部，如上圖所示，易知 表示區(qū)域內(nèi)點(diǎn)（a，b）與定點(diǎn)P（2，-3）連線的斜率，易求得 ，故選A。
例3：（江西省新余一中2011屆高三六模）已知函數(shù) 的一個(gè)零點(diǎn)為x=1，另外兩個(gè)零點(diǎn)可分別作為一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線的離心率，則 取值范圍是__________.
分析與簡解：
依題意函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)即方程 的三根，且 ，故方程可等價(jià)為 有兩不等根，一根在（0，1）上，另一根在（1，+∞）上，即 ，作出可行域，易求得直線a+b+1=0與2a+b+3=0的交點(diǎn)A為（-2，1），故可求得 ，故 的范圍應(yīng)為 .
3.線性規(guī)劃與概率交匯
例4：（江西贛州市2011年高三摸底考試）在平面xOy內(nèi)，向圖形 內(nèi)投點(diǎn)，則點(diǎn)落在由不等式組 所確定的平面區(qū)域的概率為________.
分析與簡解：
記事件A為點(diǎn)落在由不等組確定的區(qū)域內(nèi)，作出該區(qū)域，如上圖所示，易求得其面積為 ，另外試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積應(yīng)為圓 的面積，應(yīng)求得為4π，故 .
歸納：涉及到幾何概型中的面積比常用到平面區(qū)域面積。又如
（1）（江西省九江市2011屆高三七校聯(lián)考）已知點(diǎn)P（x，y）在約束條件 所圍成的平面區(qū)域上，則點(diǎn)P（x，y）滿足不等式 的概率是________.
（2）（江西省吉安市2011屆高三一模）已知函數(shù) ，實(shí)數(shù)a，b滿足 ，則函數(shù) 在[1，2]上為減函數(shù)的概率是（ ）
A B C D
4.線性規(guī)劃與向量交匯
例5：（2011福建理科）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（—1，1），若點(diǎn)M（x，y）為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 的取值范圍是（ ）
A.[-1，0] B.[0，1]
C.[0，2] D.[-1，2]
分析與簡解：
準(zhǔn)確做出不等式組所表示的平面區(qū)域，如上圖所示陰影區(qū)域：
由 表示 在 方向上的投影與 的模的積，觀察易得點(diǎn)M分別在點(diǎn)B，D處使 取得最小值0，最大值2，故選C.
在2011年高考及各地模擬卷中，向量與線性規(guī)劃交匯的題還有：
（1）（2011廣東理）已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D，由不等式組 給定，若M（x，y）為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，則 的最大值為（ ）
A.3 B.4 C. D.
（2）（江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2011屆高三第二次聯(lián)考）已知點(diǎn)P（x，y）滿足條件 ，點(diǎn)A（2，1），則 的最大值為（ ）
題型一：求約束條件問題
例：由直線x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0圍成的三角形區(qū)域(包括邊界)用不等式可表示為。
【解析】三角形區(qū)域在直線x＋y＋2＝0的右上方，又原點(diǎn)在直線x＋y＋2＝0的右上方，且0＋0＋2>0，三角形區(qū)域在x＋y＋2≥0的區(qū)域，
同理可確定三角形區(qū)域在x＋2y＋1≤0和2x＋y＋1≤0的區(qū)域內(nèi)．故該平面區(qū)域圖（1）用不等式表示為x＋y＋2≥0
x＋2y＋1≤0
2x＋y＋1≤0
【點(diǎn)評(píng)】給區(qū)域求約束條件，注意畫法原則應(yīng)用：以線定界，以點(diǎn)定域，包括邊界含等號(hào)，不包括邊界不含等號(hào)。
題型二：求面積與最值（范圍）
例：變量x，y滿足x－4y＋3≤0，
3x＋5y－25≤0，
x≥1，
（1）畫出不等式組表示的平面區(qū)域并求面積；
（2））z1=x＋2y的最值;
（3）設(shè)z2＝x2＋y2，求z2的取值范圍；
（4）z3=|2x+y+2| 的最大值；
（5）設(shè)z4＝y(tǒng)x，求z4的最小值；
【解析】（1）、畫出x，y滿足條件的可行域如圖（2）所示，經(jīng)計(jì)算A(1，225)、B（5，2）、C（1，1），由圖知三角形ABC的面積即為所求，所求面積為12×175×4=345。
（2）、由z1=x＋2y得y=－12x＋z12由圖象可知，z12的幾何意義是直線y=－12x＋z12在y軸上的截距，要使z1取得最大值或最小值，只需y=－12x＋z12在y軸上的截距最大或最小。所以當(dāng)直線y=－12x＋z12經(jīng)過點(diǎn)A(1，225)、C（1，1） 時(shí)，z1分別取得最大值495和最小值3。
（3）、z2＝x2＋y2的幾何意義是可行域內(nèi)任一點(diǎn)（x,y）到原點(diǎn)O（0，0）的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.2≤z≤29.
（4）z3=|2x+y+2|可看作是行域內(nèi)任一點(diǎn)（x,y）到直線2x＋y＋2=0的距離的5倍，從而找到離直線最遠(yuǎn)的點(diǎn)B（5，2）即是取最大值的點(diǎn)，此時(shí)的最大值為14。
（5）、z4＝y(tǒng)x＝y(tǒng)－0x－0，z的值即是可行域中的點(diǎn)x,y）與原點(diǎn)O連線的斜率．
觀察圖形可知zmin＝kOB＝25
【點(diǎn)評(píng)】本題（1）小題是給不等式組求其所表示的平面區(qū)域的面積，其余四題是線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最植問題；解題關(guān)鍵是要準(zhǔn)確畫出可行域、充分理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義：（2）直線的截距（3）兩點(diǎn)間距離（或平方）（4）點(diǎn)到直線的距離（5）過已知直線兩點(diǎn)的斜率。解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用。
題型三：求參數(shù)的取值問題
已知目標(biāo)函數(shù)的最值求約束條件或目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值問題
例：（1）.若x，y滿足約束條件x＋y≥1，
x－y≥－1
2x－y≤2，，目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，則a的取值范圍是．
【解析】 畫出可 行域如圖（3），目 標(biāo)函數(shù)可化為y＝－ a2x＋12z，根據(jù)圖象判斷，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率－1
答案 (－4,2)
【點(diǎn)評(píng)】此題最優(yōu)解僅有一個(gè)，若在區(qū)域內(nèi)有無窮多個(gè)點(diǎn)（x，y）可使目標(biāo)函數(shù)z＝ax ＋2y取得最小值,則a的取值是多少也應(yīng)會(huì)求。
(2)、已知實(shí)數(shù)x，y滿足y≥0
y≤2x－1
x＋y≤m，如果目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，則實(shí)數(shù)m等于。
【解析】畫出x，y滿足條件的可行域如圖（4）所示，可知在直線y＝2x－1與直線x＋y＝m的交點(diǎn)A處，目標(biāo)函數(shù)z＝x－y取得最小值．
由y＝2x－1
x＋y＝m，解得x＝m＋13
y＝2m－13，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m＋13，2m－13）.
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入x－y＝－1，得m＋13－2m－13＝－1，即m＝5。
工商管理的產(chǎn)生是國家出于對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)秩序的構(gòu)建與其健康發(fā)展的目的,主要是通過對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)經(jīng)營行為的監(jiān)督管理以及相關(guān)執(zhí)法。通過將強(qiáng)制懲戒與行政教育相結(jié)合的方法,達(dá)到規(guī)范市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的目的,為市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展?fàn)I造良好的環(huán)境。
二、工商管理的職能
(1)對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的監(jiān)管力度。工商管理部門是由政府依法組織,針對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的自由性,對(duì)企業(yè)和盈利機(jī)構(gòu)進(jìn)行監(jiān)督管理的工作執(zhí)法部門。工商管理在政府工作中的首要職能就是市場(chǎng)監(jiān)管,即對(duì)社會(huì)中的工商企業(yè)、外資企業(yè)等盈利性機(jī)構(gòu)進(jìn)行依法監(jiān)督管理,維護(hù)市場(chǎng)的經(jīng)營秩序,對(duì)于企業(yè)的違規(guī)違紀(jì)行為進(jìn)行依法懲處,調(diào)節(jié)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)各部分的和諧共處。(2)對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的服務(wù)。工商管理的對(duì)象是經(jīng)濟(jì)環(huán)境中的經(jīng)濟(jì)活動(dòng),服務(wù)于社會(huì)主義的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)建設(shè),通過提高服務(wù)性維護(hù)和促進(jìn)商品經(jīng)濟(jì)的良性發(fā)展。工商管理可以通過對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的調(diào)節(jié),維護(hù)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的有序運(yùn)行,服務(wù)廣大消費(fèi)者。
三、線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用
首先,線性規(guī)劃可以用于生產(chǎn)計(jì)劃確定后的優(yōu)化,主要內(nèi)容包括:(1)合理利用材料問題:在保證生產(chǎn)正常進(jìn)行的條件下,以最少的材料達(dá)到最大的使用效果。(2)配料問題:在原料供應(yīng)的數(shù)量限制下,如何搭配才能獲得最大收益。(3)投資問題:從投資項(xiàng)目中選取最佳組合,使有限的投資得到最大的回報(bào)。(4)產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃:合理利用人力、物力、財(cái)力等,使獲利最大。(5)勞動(dòng)力安排:用最少的勞動(dòng)力滿足工作的需要。(6)運(yùn)輸問題:對(duì)產(chǎn)品的調(diào)運(yùn)方案進(jìn)行細(xì)致制定,減少運(yùn)費(fèi)。其次,線性規(guī)劃支持企業(yè)未來的決策。管理者必須分析未來的經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì),分析未來的消費(fèi)趨勢(shì),并預(yù)測(cè)同行的產(chǎn)銷動(dòng)向,根據(jù)分析結(jié)果,確定自身企業(yè)的產(chǎn)品價(jià)格和促銷策略,然后將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行線性規(guī)劃,得出企業(yè)發(fā)展的最佳路線。工商企業(yè)的生產(chǎn)計(jì)劃管理問題分析完全符合線性規(guī)劃建模的條件,因此可以運(yùn)用線性規(guī)劃來分析生產(chǎn)計(jì)劃方案的優(yōu)化問題。但是,應(yīng)用線性規(guī)劃的方法對(duì)企業(yè)的生產(chǎn)計(jì)劃問題進(jìn)行分析,首先必須滿足幾點(diǎn)要求:(1)明確目標(biāo)函數(shù)。生產(chǎn)計(jì)劃的經(jīng)濟(jì)分析是一種定量分析方法,以企業(yè)利潤作為評(píng)價(jià)目標(biāo)值,其最終目的是制定可以使企業(yè)利潤最大化的生產(chǎn)計(jì)劃決策,因此,企業(yè)利潤最大化是生產(chǎn)決策分析的目標(biāo)函數(shù)。(2)明確約束條件。企業(yè)的生產(chǎn)能力,原材料,設(shè)備使用,市場(chǎng)需求狀況等諸多限制因素與生產(chǎn)計(jì)劃分析是密切相關(guān)的,這些限制因素就被稱為生產(chǎn)分析中目標(biāo)函數(shù)的約束條件。約束條件對(duì)于企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃分析的影響很大,不同約束條件下,決策分析的結(jié)論也會(huì)有很大區(qū)別。比如,就企業(yè)在市場(chǎng)活動(dòng)中所處的狀態(tài)可以分為三種:第一,能力不足狀態(tài),企業(yè)的生產(chǎn)能力無法滿足市場(chǎng)需求;第二,能力過剩狀態(tài),即企業(yè)生產(chǎn)能力超過市場(chǎng)需求,產(chǎn)品出現(xiàn)剩余;第三,中間狀態(tài),即所謂的收支平衡。企業(yè)自身的狀態(tài)是不確定的,在三種狀態(tài)之間不斷變換。(3)明確產(chǎn)品的單間利潤。單間利潤不僅要考慮到產(chǎn)品的單間收入,還要考慮生產(chǎn)所消耗的各項(xiàng)成本和費(fèi)用。綜上所述,生產(chǎn)計(jì)劃決策分析的基本方法是以利潤最大化為目標(biāo),明確未知變量,確定約束條件,然后建立線性規(guī)劃模型,最終實(shí)現(xiàn)效益最大化的生產(chǎn)計(jì)劃。
一、求可行域的面積
這一類問題通常是先畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，根據(jù)區(qū)域的形狀來求可行域的面積.若可行域是三角形，可用三角形面積公式求解，若可行域是四邊形或更復(fù)雜的圖形，可用分割法求面積.
二、求目標(biāo)函數(shù)的最值或值域
已知線性約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最值或值域問題，在高考中是最基本的考查題型，一般分為四類：第一類是求線性目標(biāo)函數(shù)的最值或值域；第二類是可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離或距離的平方；第三類是可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點(diǎn)與一定點(diǎn)連線的斜率；第四類是可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點(diǎn)到一條定直線的距離.
四、與線性規(guī)劃有關(guān)的綜合問題
將線性規(guī)劃問題與其他數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行交匯命題，在近幾年的高考試題中，也成為一種時(shí)尚，線性規(guī)劃問題可以與函數(shù)和導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、解析幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)綜合，重點(diǎn)考查函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查分析問題、解決問題和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.
五、線性規(guī)劃應(yīng)用問題
生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題可歸結(jié)為線性規(guī)劃問題，在近幾年的高考試題中，線性規(guī)劃應(yīng)用題的考查有選擇題和填空題，也有解答題，重點(diǎn)考查目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最優(yōu)解問題，考查解決實(shí)際問題的能力和考查數(shù)學(xué)建模能力.
例11（2010年廣東）某營養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐.已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐？
【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃 工商管理 應(yīng)用
一、線性規(guī)劃的概念和構(gòu)成要素
線性規(guī)劃的概念。線性規(guī)劃是指依據(jù)線性規(guī)劃模型的基本結(jié)構(gòu)，在一定條件的約束之下，得出一組變量的值，從而使得該值成為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解的一種數(shù)學(xué)方法。
線性規(guī)劃通過條件的組合和約束、分析與量化，對(duì)管理系統(tǒng)中的有限資源進(jìn)行統(tǒng)籌的規(guī)劃，為決策者提供最優(yōu)的方案，輔助其實(shí)現(xiàn)科學(xué)管理。
線性規(guī)劃的構(gòu)成要素。線性規(guī)劃的構(gòu)成要素主要有：決策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)。決策變量又稱控制變量、設(shè)計(jì)變量、操作變量等，其重要功能是在設(shè)計(jì)人員預(yù)先設(shè)定好符合系統(tǒng)目標(biāo)的最佳值的前提下對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行的描述。約束條件即目標(biāo)的限制條件，是線性規(guī)劃有效進(jìn)行的大前提。目標(biāo)函數(shù)是用函數(shù)關(guān)系式表現(xiàn)出來所關(guān)心的目標(biāo)與相關(guān)因素之間的某種函數(shù)關(guān)系。
二、線性規(guī)劃的模型
三、線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用
在人力資源配置方面的應(yīng)用。合理的安排相關(guān)人員在各生產(chǎn)部門的配置，提高工作人員的工作效率，實(shí)現(xiàn)管理的最佳效果。
在生產(chǎn)計(jì)劃方面的應(yīng)用。線性規(guī)劃在生產(chǎn)計(jì)劃確定后，在一定的資金和風(fēng)險(xiǎn)條件的限定下，在各種產(chǎn)品、生產(chǎn)人員、零部件的價(jià)格、原材料、機(jī)械設(shè)備等的約束之下，確定生產(chǎn)的計(jì)劃數(shù)量，確保生產(chǎn)的連續(xù)性，最終實(shí)現(xiàn)以最小的資金消耗獲得最大的產(chǎn)品效益。
四、小結(jié)
線性規(guī)劃作為一種數(shù)學(xué)方法，綜合科學(xué)技術(shù)，對(duì)工商管理體系進(jìn)行了定量分析，把工商管理系統(tǒng)中的資源進(jìn)行了有效的量化，并通過數(shù)學(xué)模型和函數(shù)表達(dá)關(guān)系式來解出最佳值實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的合理安排。線性規(guī)劃不僅實(shí)現(xiàn)了資源的優(yōu)化配置，而且充分發(fā)揮了資源的效能幫助管理者獲取最佳的經(jīng)濟(jì)效益，不失為管理中的一種極為有效的管理方法。
參考文獻(xiàn)：
[1]楊冬英，高玉斌.線性規(guī)劃在企業(yè)經(jīng)營中的應(yīng)用[J].河南科技，2007，（10）.
[2]李琦，韓城，周斌.模糊理論在線性規(guī)劃問題中的運(yùn)用[J].農(nóng)業(yè)科技，2003，（8）.
[3]熊義杰.運(yùn)籌學(xué)教程[M].國防工業(yè)出版社，2004，（1）.
關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；EXCEL2010；規(guī)劃求解
中圖分類號(hào)：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2014）16-3907-02
Abstract： The solvation of the specific problem of linear programming is important in operational research method， this article discussed the solvation that using EXCEL2010， which greatly simplifies the variable more methods of solving the linear programming problem.
Key words： linear programming； EXCEL2010； programming solver
1 問題的提出
在運(yùn)籌學(xué)中比較重要的一類問題是線性規(guī)劃問題，自從美國數(shù)學(xué)家丹齊格在1974年提出單純形法后，求解線性規(guī)劃問題得到了長足的發(fā)展，同時(shí)也引起了許多數(shù)學(xué)家對(duì)此的興趣，對(duì)于決策變量比較少，規(guī)劃問題較簡單的決策問題，單純形法無疑是具有一定高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)者的最好選擇，但是當(dāng)決策變量比較多，或者約束不等式比較復(fù)雜時(shí)可以使用專門的運(yùn)籌學(xué)軟件如WinQSB、MATLA等進(jìn)行求解，但是對(duì)于對(duì)計(jì)算機(jī)軟件比較陌生的初學(xué)者和工程人員來了說求出線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解還是具有一定難度的。比方說如下問題：
某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時(shí)間區(qū)段內(nèi)所需司機(jī)和乘務(wù)人員數(shù)如表1：
該問題沒有直接基本可行解，需要使用人工變量法增加6個(gè)人工變量：[x13，x14，x15，x16，x17，x18]，這樣就使得變量總數(shù)達(dá)到18個(gè)，在這種情況下進(jìn)行求解是非常繁瑣的，但是利用EXCEL自帶的“規(guī)劃求解”宏工具就可以進(jìn)行簡單的計(jì)算。
2 相關(guān)知識(shí)
為了使用EXCEL求解線性規(guī)劃問題，首先要安裝一個(gè)叫“規(guī)劃求解的”加載宏。將Office 2010安裝光盤放入光驅(qū)，然后在EXCEL環(huán)境中選擇“文件”選項(xiàng)卡下的選項(xiàng)按鈕，在彈出的對(duì)話框中選擇“加載項(xiàng)”中的“規(guī)劃求解加載項(xiàng)”，如圖1所示：
做完了如上設(shè)置就可以進(jìn)行規(guī)劃求解了，首先在新建的文件中輸入規(guī)劃問題的相應(yīng)數(shù)據(jù)，如圖2所示：
3 問題的解決
由此，我們得到了上述問題的最優(yōu)解，即1――30人，2――25人，3――75人，4――35人，5――40人，6――0人，在這種選擇方案下，需要付出的最小成本為7240元。
4 結(jié)論
在線性規(guī)劃問題的求解方法中，使用經(jīng)典的大M法或者兩階段法都可以解決本例中的問題，但是理論上可行不代表實(shí)際解決問題的效率，往往經(jīng)典的方法給出的萬能解題方法在實(shí)際問題中都會(huì)因?yàn)楣ぷ鞯膹?fù)雜和繁重使得這些方法失去了實(shí)際意義，所以對(duì)于變量比較多的線性規(guī)劃問題可以使用本例的方法進(jìn)行求解，實(shí)踐證明，這種方法是快速而有效的。
參考文獻(xiàn)：
[1] 劉滿鳳，陶長琪，柳鍵，等.運(yùn)籌學(xué)教程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2011.
（河北金融學(xué)院基礎(chǔ)部，保定 071051）
摘要： 線性規(guī)劃模型是數(shù)學(xué)建模過程的重要模型，應(yīng)用廣泛，因此在經(jīng)濟(jì)類的高校中都開設(shè)了相應(yīng)的課程，各類高校對(duì)于線性規(guī)劃或運(yùn)籌學(xué)的課程也都比較重視。本文借助matlab計(jì)算語言工具的優(yōu)越性，給出不同形式下的線性規(guī)劃模型的求解過程，并給出關(guān)于計(jì)算機(jī)軟件在線性規(guī)劃教學(xué)過程中的有益建議。
關(guān)鍵詞 ： matlab；線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)建模
中圖分類號(hào)：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2015）23-0195-03
課題項(xiàng)目：河北金融學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)優(yōu)秀基礎(chǔ)學(xué)科資助項(xiàng)目。
作者簡介：李林漢（1986-），男，河北邯鄲人，碩士，助教，研究方向?yàn)閿?shù)值計(jì)算與最優(yōu)化；韓祝華（1980-），女，河北冀州人，碩士，助教，研究方向?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)。
0 引言
線性規(guī)劃模型是運(yùn)籌學(xué)以及數(shù)學(xué)建模過程中的重要模型，應(yīng)用極其廣泛，作用也越來越被人們重視。隨著計(jì)算機(jī)軟件的迅猛發(fā)展，使線性規(guī)劃模型在經(jīng)濟(jì)、軍事和科學(xué)研究各方面都得到了急速的應(yīng)用。這就要求教學(xué)過程中要求學(xué)生不僅要了解單純形方法的原理，還要掌握并實(shí)現(xiàn)這一方法。而普遍流行的運(yùn)籌學(xué)教材上例題都是低階維數(shù)，僅僅讓學(xué)生理解了原理，而并沒有給出高階的例子，或者大數(shù)據(jù)的例子，使得學(xué)生認(rèn)為計(jì)算機(jī)語言對(duì)于線性規(guī)劃的學(xué)習(xí)沒有幫助。再一個(gè)方面學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力較弱，本來引入計(jì)算機(jī)語言能夠使得單純形方法的運(yùn)算過程簡化，但是由于學(xué)生沒有自主學(xué)習(xí)的能力，那么學(xué)生就會(huì)認(rèn)為還需要學(xué)習(xí)一種更加復(fù)雜的理論知識(shí)，反而會(huì)誤認(rèn)為這是一種負(fù)擔(dān)。
隨著計(jì)算機(jī)軟硬件水平的日益更新，正在對(duì)人們的日常行為方式進(jìn)行著巨大的變革，那么作為大學(xué)生更加應(yīng)該把這種便利引入到日常的學(xué)習(xí)中，因此在教學(xué)中可以借用計(jì)算機(jī)，網(wǎng)絡(luò)等現(xiàn)代技術(shù)使得線性規(guī)劃以及線性代數(shù)這種的課程原理的講解更加的完整清晰化，經(jīng)典化。對(duì)于計(jì)算過程的實(shí)現(xiàn)，完全交給計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。使學(xué)生領(lǐng)略到單純形思想的簡潔性、深刻性、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)形式優(yōu)美性、邏輯推理的嚴(yán)密性，以至于學(xué)生通過接受這種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出來的數(shù)學(xué)審美意識(shí)影響到他們的日后工作，將這種數(shù)學(xué)原理的嚴(yán)謹(jǐn)性代入到社會(huì)中，提供精益求精的質(zhì)量上乘的產(chǎn)品。
1 線性規(guī)劃以及一般形式、規(guī)范形式和標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃
在普遍流行的線性規(guī)劃[1，2]課本中對(duì)于線性規(guī)劃模型不同形式的定義有一定的差別，在本文中為了避免這種差別帶來的敘述上的困難，特定義如下：
線性規(guī)劃問題的一般形式為
可以證明，這三者之間可以互相的轉(zhuǎn)換，而且不會(huì)破壞解的性質(zhì)。也就是可以得到所有的線性規(guī)劃的模型都可以等價(jià)轉(zhuǎn)換為（3）式的形式。
2 線性規(guī)劃的一些重要理論
由上述的理論可知，只要求出標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問題的解，即可得到所有形式的線性規(guī)劃問題的解。所以本文以下的討論都是針對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問題的討論。
考慮矩陣形式的線性問題的標(biāo)準(zhǔn)形式：
由高等代數(shù)的知識(shí)可知所有的線性規(guī)劃解的情況為：無解或不可行、無界，有最優(yōu)解。
定理3.1線性規(guī)劃問題的可行域是凸集。
定理3.2線性規(guī)劃問題的基本可行解對(duì)應(yīng)于可行域的頂點(diǎn)。
定理3.3一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題如果有有限的最優(yōu)值，則一定存在一個(gè)基本可行解是最優(yōu)解。
基于以上理論，1947年G.B.Dantzig提出了著名的單純形方法，直到現(xiàn)在仍是解決線性規(guī)劃問題的重要理論，后來發(fā)展的一系列解法也都是在此方法的基礎(chǔ)上拓展的，在此本文只敘述一下單純形方法的原理以及算法步驟，具體的證明可在任何的一本線性規(guī)劃課本中找到。單純形方法的思想為先找到一個(gè)基本可行解，判別它是不是最優(yōu)解，如果不是再找到另外的更好的基本可行解繼續(xù)判斷，直到找到最優(yōu)或者判斷無解。
單純型方法的算法步驟：
3 算法的實(shí)現(xiàn)
部分學(xué)者認(rèn)為，對(duì)于一個(gè)有效的算法，算法的理論是重點(diǎn)，而具體的實(shí)現(xiàn)只是一個(gè)重復(fù)的過程，不再是一個(gè)重點(diǎn)，但筆者認(rèn)為，算法的理論基礎(chǔ)以及算法的實(shí)現(xiàn)是同等重要的問題，誠然算法的理論是算法實(shí)現(xiàn)的源泉和基礎(chǔ)，但是算法的實(shí)現(xiàn)更能使算法的理論清晰、明了。同時(shí)達(dá)到學(xué)以致用的目的，尤其對(duì)于應(yīng)用型大學(xué)的建設(shè)更是必要的一步。
具體到本文，單純形方法有兩類計(jì)算的方式，一類是按照算法的步驟進(jìn)行矩陣形式的迭代，另外一類也是比較簡單但操作起來比較繁瑣的單純形表法?？梢赃M(jìn)行證明，[2]對(duì)單純形表進(jìn)行初等行變換也是一種有效的單純形迭代法，但是由于數(shù)據(jù)較多，學(xué)生在計(jì)算的時(shí)候稍有不慎就會(huì)算錯(cuò)，而且進(jìn)行檢查的時(shí)候時(shí)間上的代價(jià)也是巨大的。因此在平時(shí)的課堂練習(xí)時(shí)，只是進(jìn)行低維度的練習(xí)，沒有進(jìn)行高維數(shù)大數(shù)據(jù)的處理，但是借助于先進(jìn)的計(jì)算機(jī)技術(shù)，可以輕松的達(dá)到這一目的。況且計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用在當(dāng)今的高校教育中已經(jīng)不能算作一門先進(jìn)的領(lǐng)先的技術(shù)，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及它更應(yīng)該成為高校教育中的一個(gè)必備環(huán)節(jié)。文獻(xiàn)[3]中提到，雖然單純形方法的算法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜，解得情況千差萬別，但幸好解線性規(guī)劃問題的商用軟件包已經(jīng)非常普及，大家可在計(jì)算機(jī)上直接的調(diào)用。筆者認(rèn)為可惜的不是商用軟件包非常普及，而是在商用軟件包非常普及的前提下，高校中很多學(xué)生對(duì)于這些商用軟件包都不熟悉，就拿去年和今年筆者所教授的兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生來說，總共135人，只有1個(gè)學(xué)生課下的時(shí)候來向筆者請(qǐng)教這方面的問題，實(shí)在是令人惋惜。下面筆者就1個(gè)簡單的線性規(guī)劃問題在matlab[3]軟件上的實(shí)現(xiàn)來說明怎么運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件輔助線性規(guī)劃的教學(xué)。
考慮問題
然后按照單純性表格的方法列出初始單純形表，然后再運(yùn)用初等行變換進(jìn)行變換直到找到最優(yōu)解或者判斷無解，可知這是涉及到一個(gè)四行八列的矩陣表格，計(jì)算起來是比較復(fù)雜的，本文用matlab進(jìn)行簡單的可視即可見的方法一步步進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算符號(hào)如下：
可以輕松得到最后的結(jié)果，而且只要明白里面的邏輯關(guān)系，檢查的時(shí)候也是非常方便的，可以得到最優(yōu)解為
但是同時(shí)也可以進(jìn)行matlab自帶的線性規(guī)劃工具箱進(jìn)行求解，自帶函數(shù)為
也可以得到相同的結(jié)果，只需要提供給軟件相應(yīng)的參數(shù)即可，這些參數(shù)都是線性規(guī)劃問題的本身屬性，熟知他們才能解決好這類問題。
4 總結(jié)
①線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)模型中的一類重要模型，現(xiàn)實(shí)當(dāng)中的很多問題都可以轉(zhuǎn)換成線性規(guī)劃問題，進(jìn)行相應(yīng)的求解可以對(duì)生產(chǎn)活動(dòng)提出有益的指導(dǎo)。②線性規(guī)劃課程的教學(xué)中，可以在理論課的基礎(chǔ)上加大對(duì)實(shí)踐課的重視，加大對(duì)于這些計(jì)算軟件的學(xué)習(xí)，包括matlab，c語言等。③現(xiàn)今的高校教學(xué)中，如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，很好地完成師生互動(dòng)是一個(gè)大難題，可以多增加實(shí)踐課，讓學(xué)生自己去進(jìn)行實(shí)踐。增加他們的學(xué)習(xí)興趣。擺脫傳統(tǒng)的滿堂灌。④高校的課堂教學(xué)中，應(yīng)不能僅滿足與講解知識(shí)的層面，而是在講解知識(shí)的基礎(chǔ)上，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)的方法和思路，即學(xué)習(xí)如何去學(xué)習(xí)，正所謂興趣是最好的老師，適當(dāng)?shù)脑黾訉?shí)踐課程能在一定程度上促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到拋磚引玉的作用。
參考文獻(xiàn)：
[1]胡運(yùn)權(quán).運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用[M]．五版.北京：高等教育出版社，2010.
一、簡單線性規(guī)劃問題
線性規(guī)劃問題的核心思想是數(shù)形結(jié)合，解決此類問題一般分三個(gè)步驟：畫（畫出可行域）、移（平移目標(biāo)函數(shù)所得直線）、求（解方程組求最值）.按照約束條件和目標(biāo)函數(shù)的含參情況，現(xiàn)將問題分為以下四類：
1.約束條件和目標(biāo)函數(shù)不含參數(shù)
例1：（2013天津卷）設(shè)變量x，y滿足約束條件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0，則目標(biāo)函數(shù)z=y-2x的最小值為？搖 ？搖.
分析：滿足約束條件的可行域如圖1所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=2x+z，平移直線y=2x得過點(diǎn)A時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，將點(diǎn)A（5，3）坐標(biāo)代入z=y-2x得：z■=-7.
圖1
例2：（2011浙江卷）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組x+2y-5>02x+y-7>0x≥0，y≥0，且x，y為整數(shù)，則3x+4y的最小值是？搖 ？搖.
分析：滿足約束條件的可行域如圖2所示，令z=3x+4y，則y=-■+■，直線x+2y-5=0與直線2x+y-7=0的交點(diǎn)為A（3，1），因?yàn)閤，y為整數(shù)，所以平移直線y=-■x過點(diǎn)B（4，1）時(shí)，z取得最小值16.
圖2
2.目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)
例3：（2013浙江文科卷）設(shè)z=kx+y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足x≥2x-2y+4≥02x-y-4≤0，若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k=？搖 ？搖.
分析：滿足約束條件的可行域如圖3所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-kx+z，若x=0，與題意矛盾;若k>0，則z=kx+y在點(diǎn)A（4，4）處取得最大值，此時(shí)k=2;若k
圖3
變式：（2013全國大綱卷）記不等式組x≥0x+3y≥43x+y≤4，所表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若直線y=a（x+1）與D有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是？搖 ？搖.
分析：滿足約束條件的可行域如圖4所示，因?yàn)閥=a（x+1）過頂點(diǎn)A（-1，0），所以由圖可得，k■
圖4
3.約束條件含參數(shù)
例4：（2013新課標(biāo)II卷）已知a>0，x，y滿足約束條件x≥1x+y≤3y≥a（x-3），若z=2x+y的最小值為1，則a=？搖 ？搖.
分析：滿足約束條件的可行域如圖5所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-2x+z，平移直線y=-2x過點(diǎn)A（1，2a）時(shí)z=2x+y取得最小值1，代值解得a=■.
圖5
例5：（2013北京卷）設(shè)關(guān)于x，y的不等式組2x-y+1>0x+m0表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（x■，y■）滿足x■-2y■=2，求得m的取值范圍是？搖 ？搖.
分析：滿足約束條件的可行域如圖6所示，若平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（x■，y■）滿足x■-2y■=2，則點(diǎn)A（-m，m）在直線x-2y=2的下方，即m
圖6
變式（2012福建卷）若函數(shù)y=2■圖像上存在點(diǎn)（x，y）滿足約束條件x+y-3≤0x-2y-3≤0x≥m，則實(shí)數(shù)m的最大值為？搖 ？搖.
分析：如圖7，當(dāng)x=m經(jīng)過直線x+y-3=0和y=2■的交點(diǎn)A（1，2）時(shí)，m取得最大值1.
圖7
4.約束條件和目標(biāo)函數(shù)均含參數(shù)
例6（2011湖南卷）設(shè)m>1，在約束條件y≥xy≤mxx+y≤1下，目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為？搖 ？搖.
圖8
分析：滿足約束條件的可行域如圖8所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-■+■，因?yàn)閙>1，由圖可得，z=x+my在點(diǎn)A（■，■）處取得最大值，即■+■
二、拓展：線性規(guī)劃與其他知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合
近幾年，線性規(guī)劃問題在高考卷中逐漸走向含參數(shù)類的綜合問題，同時(shí)也和其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來考查，提高了學(xué)生分析問題和解決問題能力的要求.
例7：（2013江蘇卷）拋物線y=x■在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)镈（包含三角形內(nèi)部和邊界）.若點(diǎn)P（x，y）是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x+2y的取值范圍是？搖 ？搖.
分析：本題是利用導(dǎo)數(shù)求切線方程與線性規(guī)劃的簡單結(jié)合，拋物線y=x■在x=1處的切線為2x-y-1=0，與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)镈如圖9所示，令z=x+2y，則y=-■+■，易得x+2y的取值范圍是[2，■].
圖9
一、線性規(guī)劃求解
在線性約束的條件下，對(duì)于線性目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最值問題的求解的過程，稱為線性規(guī)劃.最優(yōu)解指的是，在目標(biāo)函數(shù)z=f（x，y）取得最大值或者最小值的時(shí)候，x與y的值的大小（x，y）就成為最優(yōu)解.其中若得到的最優(yōu)解皆為整數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y）對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)，可以將這個(gè)解稱為整點(diǎn).最優(yōu)解的求解方式是高中教材中的重要內(nèi)容.經(jīng)常見到的題型有：（1）題目中給出了一定量的人力、物力資源，以及一些已知條件，讓學(xué)生求解：如何安排，才能在一定的時(shí)間內(nèi)完成最多的任務(wù)或者取得最大的收益.（2）給出一項(xiàng)任務(wù)，以及一些已知的條件，讓學(xué)生求解：怎樣安排，才能在完成任務(wù)的情況下投入盡可能少的人員、物力資源.這部分內(nèi)容在教材中屬于新增加的內(nèi)容，介紹的比較籠統(tǒng)，使學(xué)生難以理解與掌握.調(diào)整優(yōu)值法是經(jīng)常采用的一種求解方式，通過這種方式，能得到最優(yōu)值，從而求得答案.
二、優(yōu)值調(diào)整方式
1.帶數(shù)值比較法.對(duì)于線性規(guī)劃的最優(yōu)解的調(diào)整，首先要找到一個(gè)范圍.在最優(yōu)解存在于可行域中時(shí)，對(duì)最優(yōu)值進(jìn)行調(diào)整是比較簡單的一種情況，此時(shí)只需要在可行域的范圍內(nèi)尋找出所有的可行解，然后將每一個(gè)解都帶入到目標(biāo)函數(shù)中進(jìn)行驗(yàn)證即可.通過比較代入解值得出來的結(jié)果值，便可得到調(diào)整后的最優(yōu)值.這種調(diào)整方式，需要將每一個(gè)值都依次代入，適用于可行域中最優(yōu)解較少的情況.
2.調(diào)整理論值.這種對(duì)最優(yōu)值進(jìn)行調(diào)整的方式，就是首先根據(jù)理論上的分析得出最優(yōu)值存在的一個(gè)范圍區(qū)間，然后在計(jì)算出理論上的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值的前提下對(duì)于目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行逐步調(diào)整，同時(shí)需要作出對(duì)應(yīng)的直線，在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，并且在可行域內(nèi)的直線上尋找可能存在的最優(yōu)解.如果存在則最優(yōu)解就此找到，否則就需要對(duì)理論上的這個(gè)值進(jìn)行繼續(xù)調(diào)整，直到能夠出現(xiàn)最優(yōu)解為止.
3.根據(jù)范圍求解.這種對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行調(diào)整的方式，就是在理論最優(yōu)解的基礎(chǔ)上計(jì)算出目標(biāo)函數(shù)值，并且對(duì)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行逐步調(diào)整.在這樣的前提下，將最優(yōu)解帶入到線性約束條件中進(jìn)行消元處理，能夠求出未知量x和y的范圍，然后在這個(gè)范圍內(nèi)尋找最優(yōu)解，并且進(jìn)行調(diào)整.
4.逐步調(diào)整法.這種方式是在得出理論上最優(yōu)值的基礎(chǔ)上求出對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，并且對(duì)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行逐步調(diào)整.在調(diào)整時(shí)，將其看作是一個(gè)二元的不定方程，從而確定出這個(gè)方程的解值，然后對(duì)其進(jìn)行判斷是否為可行解.
三、典型例題分析
例假如你需要開一家小店，小店里主要經(jīng)營衣服和褲子.由于你的存款有限，所以在經(jīng)營過程中受到很多限制.（1）由于金額不足，你每次只能最多進(jìn)50件衣服；（2）最多只能進(jìn)30件褲子；（3）為了保證你的小店能正常營業(yè)，你必須要有衣服和褲子一共40件；（4）你的小店在進(jìn)貨時(shí)，每件衣服的進(jìn)價(jià)為36元，每條褲子的進(jìn)價(jià)為48元.現(xiàn)在你只有2400元錢，假如說小店中每賣一件衣服就會(huì)增加利潤18元，而一條褲子的利潤是在20元.那么，你需要怎樣進(jìn)貨，才能使小店獲得最大的收益？
解：設(shè)小店進(jìn)貨時(shí)，進(jìn)了x件衣服和y件褲子，取得的利潤為z元.根據(jù)題中的條件，能得出如下方程式：0≤x≤50，0≤y≤30，
x+y≥40，
36x+48y≤2400.