時(shí)間：2022-10-15 08:44:52
導(dǎo)語(yǔ)：在等腰三角形的性質(zhì)的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
命題：等腰三角形底邊上（或其延長(zhǎng)線上）的任意一點(diǎn)，到兩腰上的距離之和（或差）等于一腰上的高.
已知：如圖1，在ABC中，AB=AC，D是底邊BC上的任意一點(diǎn)，DEAB于E點(diǎn)，DFAC于F點(diǎn)，BG是腰AC上的高.
求證：BG=DE＋DF.
證明：連接AD.
SABC =SABD ＋SACD，
AC•BG= AB•DE＋ AC•DF.
AB=AC，
AC•BG= AC•DE＋ AC•DF.
即AC•BG=AC•（DE+DF）.
BG=DE＋DF.
即DE＋DF是一個(gè)定值，它等于腰上高的長(zhǎng).
如圖2，在ABC中，已知AB=AC，D是底邊BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，DEAB于E點(diǎn)，DFAC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，CG是腰AB上的高，則有DE－DF=CG.（請(qǐng)同學(xué)們完成證明）
即DE－DF是一個(gè)定值，它等于腰上高的長(zhǎng).
例1 如圖3，在矩形ABCD中，O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，AB=3，AD=4，P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PEAC于E點(diǎn)，PFBD于F點(diǎn)，則PE＋PF=.
分析： 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以O(shè)AD是等腰三角形，P點(diǎn)恰好是底邊AD上的任意一點(diǎn)，且PEAC于E點(diǎn)，PFBD于F點(diǎn)，根據(jù)命題，可得PE＋PF等于腰OD上的高AG.在RtABD中，利用面積就能求出AG的長(zhǎng).
解：作AGBD于G點(diǎn).
在RtABD中，BD= = =5.
ABD是直角三角形，且AG是斜邊BD上的高，
SABD = AB•AD= BD•AG，AG= = .
由四邊形ABCD為矩形，可知OA=OD，即OAD為等腰三角形.
P是底邊AD上的任意一點(diǎn)，且PEAC于E點(diǎn)，PFBD于F點(diǎn)，
PE＋PF=AG.即PE＋PF= .故填 .
例2 如圖4，在ABC中，已知∠A=90°，D是AB上一點(diǎn)，且BD=CD，過(guò)CB延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)P，作PEAB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，PFCD的延長(zhǎng)線于F點(diǎn).已知AD∶DB=1∶3，BC=4 ，求PF-PE的值.
分析： 顯然CDB為等腰三角形，P恰好是底邊CB延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，且PEDB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，PFCD的延長(zhǎng)線于F點(diǎn).根據(jù)命題，可得PF－PE等于腰BD上的高AC.在RtACD中，利用勾股定理表示出AC與AD的關(guān)系，再在RtACB中利用勾股定理，即可求AC的長(zhǎng).
解：設(shè)AD=x，則BD=CD=3x.
在RtACD中，AC2=CD2-AD2=9x2-x2=8x2.
在RtACB中，AB2＋AC2=BC2，即（4x）2＋8x2=（4 ）2.
解得x=2（負(fù)值已舍去）.所以AC=2 x=4 .
由BD=CD，知CDB為等腰三角形.
根據(jù)命題，可得PF-PE等于AC的長(zhǎng)，即PF－PE=4 .
點(diǎn)評(píng)：這類從習(xí)題中總結(jié)出來(lái)的命題，考試中可能不能當(dāng)定理使用，但對(duì)于分析圖形作用很大.等腰三角形還有其他性質(zhì)，比如，等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的高相等，兩腰上的中線相等，底邊中點(diǎn)到兩腰上的垂線段相等，等等.
練習(xí)題
1. 如圖5，在ABC中，已知∠BAC=150°，AB=AC=4 cm，D是底邊BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，且DEBA的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，DFAC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，則DE－DF=.
（答案：2 cm）
1、 理解并掌握等腰三角形的判定定理及推論
2、 能利用其性質(zhì)與判定證明線段或角的相等關(guān)系.
教學(xué)重點(diǎn)： 等腰三角形的判定定理及推論的運(yùn)用
教學(xué)難點(diǎn)： 正確區(qū)分等腰三角形的判定與性質(zhì)，能夠利用等腰三角形的判定定理證明線段的相等關(guān)系.
教學(xué)過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)
二、新授：
I提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境
出示投影片.某地質(zhì)專家為估測(cè)一條東西流向河流的寬度，選擇河流北岸上一棵樹(B點(diǎn))為B標(biāo)，然后在這棵樹的正南方(南岸A點(diǎn)抽一小旗作標(biāo)志)沿南偏東60°方向走一段距離到C處時(shí)，測(cè)得∠ACB為30°，這時(shí)，地質(zhì)專家測(cè)得AC的長(zhǎng)度就可知河流寬度.
學(xué)生們很想知道，這樣估測(cè)河流寬度的根據(jù)是什么?帶著這個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“等腰三角形的判定”.
II引入新課
1.由性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論的變化，引出研究的內(nèi)容——在ABC中，苦∠B=∠C，則AB= AC嗎?
作一個(gè)兩個(gè)角相等的三角形，然后觀察兩等角所對(duì)的邊有什么關(guān)系?
2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形，寫出已知、求證.
2、小結(jié)，通過(guò)論證，這個(gè)命題是真命題，即“等腰三角形的判定定理”(板書定理名稱).
強(qiáng)調(diào)此定理是在一個(gè)三角形中把角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，類似于性質(zhì)定理可簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”.
4.引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出引例中地質(zhì)專家的測(cè)量方法的根據(jù).
III例題與練習(xí)
1.如圖2
其中ABC是等腰三角形的是 [ ]
2.①如圖3，已知ABC中，AB=AC.∠A=36°，則∠C______(根據(jù)什么?).
②如圖4，已知ABC中，∠A=36°，∠C=72°，ABC是______三角形(根據(jù)什么?).
③若已知∠A=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于D，判斷圖5中等腰三角形有______.
④若已知 AD=4cm，則BC______cm.
3.以問(wèn)題形式引出推論l______.
4.以問(wèn)題形式引出推論2______.
例： 如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，求證這個(gè)三角形是等腰三角形.
分析：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意作出圖形，寫出已知、求證，并分析證明.
練習(xí)：5.(l)如圖6，在ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)F作DE//BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于E.問(wèn)圖中哪些三角形是等腰三角形?
(2)上題中，若去掉條件AB=AC，其他條件不變，圖6中還有等腰三角形嗎?
練習(xí)：P53練習(xí)1、2、3。
IV課堂小結(jié)
1.判定一個(gè)三角形是等腰三角形有幾種方法?
2.判定一個(gè)三角形是等邊三角形有幾種方法?
一、由于題目條件的不確定性引發(fā)結(jié)論不惟一
例1已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為65°則其頂角為（）
A、50° B、65°C、115° D、50°或65°
解析65°角可能是頂角，也可能是底角。當(dāng)65°是底角時(shí)，則頂角的度數(shù)為180°－65°×2=50°；當(dāng)65°角是頂角時(shí)，則頂角的度數(shù)就等于65°。所以這個(gè)等腰三角形的頂角為50°或65°。故應(yīng)選D。
溫馨提示對(duì)于一個(gè)等腰三角形，若條件中并沒有確定頂角或底角時(shí)，應(yīng)注意分情況討論，先確定這個(gè)已知角是頂角還是底角，再求解。
例2已知等腰三角形的一邊等于3，另一邊等于4，則它的周長(zhǎng)等于_________。
解析已知條件中并沒有指明3和4誰(shuí)是腰長(zhǎng)，因此應(yīng)由三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分類討論。當(dāng)3是腰長(zhǎng)時(shí)，這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)就是4，此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)等于10；當(dāng)4是腰長(zhǎng)時(shí)，這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)就是3，則此時(shí)周長(zhǎng)等于11。故這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)等于10或11。
溫馨提示對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪是底哪是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論。
溫馨提示這里求出來(lái)的解應(yīng)滿足三角形三邊關(guān)系定理。
二、由于題目條件得出的圖形不確定性引發(fā)結(jié)論不惟一
例4等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為55°，求這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)。
解析依題意可畫出圖1和圖2兩種情形。圖1中頂角為35°，圖2中頂角為145°。
例5某中學(xué)為美化環(huán)境，計(jì)劃在校園的廣場(chǎng)用30m2的草皮鋪設(shè)一塊一邊長(zhǎng)為10m的等腰三角形綠地，請(qǐng)你求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長(zhǎng)。
溫馨提示三角形的高是由三角形的形狀決定的，對(duì)于等腰三角形，當(dāng)頂角是銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)；當(dāng)頂角是鈍角時(shí)，腰上的高在三角形外。
例6在ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為45°，則底角∠B=____________。
解析按照題意可畫出如圖1和如圖2兩種情況的示意圖。
故這個(gè)等腰三角形的底角為67.5°或22.5°。
那么，等腰三角形的對(duì)稱軸是不是一定要用折疊法來(lái)尋找與驗(yàn)證呢？是不是非得用透明紙操作呢？是否存在一種既落實(shí)“四基”，又能體現(xiàn)“快樂數(shù)學(xué)”理念的創(chuàng)新設(shè)計(jì)？本人在教學(xué)實(shí)踐中，認(rèn)為可以走出認(rèn)定頂角平分線的思維定式。
下面就“2.1等腰三角形”中軸對(duì)稱性部分談?wù)勎覂?yōu)化后的教學(xué)設(shè)計(jì)。
畫一畫：如圖，在網(wǎng)格中，你可以找到多少個(gè)以BC為底邊的格點(diǎn)等腰三角形？（格點(diǎn)三角形是指在正方形的網(wǎng)格中，以方格的頂點(diǎn)為三角形頂點(diǎn)的三角形）
給學(xué)生充分的時(shí)間思考動(dòng)手，緊接著，設(shè)計(jì)了五個(gè)問(wèn)題：
（1）如圖，你可以找到幾個(gè)這樣的格點(diǎn)，使ABC是以BC為底邊的等腰三角形？請(qǐng)畫出來(lái)。
（2）觀察這些格點(diǎn)A，它們?cè)诜植寂帕猩嫌惺裁匆?guī)律？
（3）這條直線與線段BC是什么關(guān)系？
（4）線段的垂直平分線有什么性質(zhì)？
（5）等腰三角形是否是軸對(duì)稱圖形？如果是，請(qǐng)畫出它的對(duì)稱軸，并描述。
當(dāng)然，學(xué)生找到的這些格點(diǎn)A在PPT里要同步演示出來(lái)，他們會(huì)有更加直觀的認(rèn)識(shí)。在得到“等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊的中垂線是它的對(duì)稱軸”之后，可以根據(jù)中垂線的性質(zhì)得到ABD≌ACD（如圖），從而得到線段AD也是等腰三角形ABC的頂角平分線，也是底邊的中線和高，同時(shí)也為下一課時(shí)講授“三線合一”這個(gè)重要性質(zhì)作好堅(jiān)實(shí)的鋪墊。
這個(gè)設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了學(xué)生的主觀能動(dòng)性，經(jīng)歷了動(dòng)腦猜想，動(dòng)手驗(yàn)證來(lái)總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程，使學(xué)生感受到新知識(shí)的學(xué)習(xí)是建立在已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上的。學(xué)生們積極地找到了那些格點(diǎn)，并且非常順利地得出等腰三角形的軸對(duì)稱性，并且準(zhǔn)確描述“底邊的中垂線是它的對(duì)稱軸”。由于完全是學(xué)生自己的智慧，在課堂上他們覺得自信滿滿，得心應(yīng)手。在接下來(lái)的課堂時(shí)間里，表現(xiàn)得十分出色，積極動(dòng)腦，精彩不斷。這樣，實(shí)現(xiàn)了將學(xué)生從不易于接受的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為易于學(xué)生接受的教育形態(tài)，通過(guò)例題的教學(xué)，使原本枯燥的“在等腰三角形中腰上找對(duì)稱點(diǎn)”的活動(dòng)顯得富有生命活力，整節(jié)課讓學(xué)生在輕松愉悅的氛圍中進(jìn)行，且學(xué)生的課后作業(yè)證實(shí)了學(xué)生對(duì)等腰三角形的軸對(duì)稱性基本過(guò)關(guān)，真可謂是“快樂學(xué)數(shù)學(xué)”。
以上的教學(xué)設(shè)計(jì)與處理，很顯然繞開了先入為主的頂角平分線，避免了強(qiáng)迫學(xué)生用折疊法驗(yàn)證等腰三角形的軸對(duì)稱性，而是在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，通過(guò)直觀的找格點(diǎn)等腰三角形和觀察這些新格點(diǎn)的分布排列規(guī)律，逐步誘導(dǎo)學(xué)生找到那條隱藏著的對(duì)稱軸，并且“三線合一”的性質(zhì)定理已經(jīng)呼之欲出了。
【關(guān)鍵詞】分類思想；教學(xué)
【案例描述】
一、教學(xué)目標(biāo)
（1）知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握等腰三角形相關(guān)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。
（2）過(guò)程與方法目標(biāo)：讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)分類的方法，滲透分類討論數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。
（3）情感與態(tài)度目標(biāo)：讓學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題過(guò)程中的分類思想，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。
二、教學(xué)重難點(diǎn)
（1）教學(xué)重點(diǎn)：等腰三角形基礎(chǔ)知識(shí)及在等腰三角形的基礎(chǔ)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中的分類思想滲透。
（2）教學(xué)難點(diǎn)：分類這種數(shù)學(xué)思想方法的滲透及體會(huì)。
三、教學(xué)準(zhǔn)備PPT課件和學(xué)習(xí)活動(dòng)單
四、教學(xué)設(shè)計(jì)
1.等腰三角形基礎(chǔ)知識(shí)回顧
如圖，在ABC中，
（1）若AB=AC，∠A=40°，則∠B= 70°；
（2）若∠B=∠C，AB=5，則AC= 5 ；
（3）若AB=AC，AD平分∠BAC，則∠B=70°；
①若BD=3，則BC= 6 ；
②若BC=6，ABC的面積為24，則AD= 8 。
通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的小問(wèn)題，讓學(xué)生回顧之前學(xué)習(xí)的等腰三角形的相關(guān)知識(shí)，包括：
（1）在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角；
（2）在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊；
（3）等腰三角形三線合一。
而這些知識(shí)的鞏固正為本節(jié)課后續(xù)解決等腰三角形中的問(wèn)題作好了準(zhǔn)備。
2.通過(guò)問(wèn)題的解決滲透分類思想這一重要的數(shù)學(xué)思想
問(wèn)題1：已知等腰三角形的兩邊分別是4和5，則它的周長(zhǎng)是________。
問(wèn)題2：已知等腰三角形有一個(gè)角為30°，則它的底角度數(shù)為____°。
通過(guò)問(wèn)題1、問(wèn)題2的解決讓學(xué)生體會(huì)到利用等腰三角形的兩邊相等、兩角相等即可解決這兩個(gè)問(wèn)題，但問(wèn)題1中在不確定4和5那邊為腰時(shí)，問(wèn)題2中不確定30°為頂角還是頂角時(shí)需要進(jìn)行分類討論。之后進(jìn)一步提出，此類問(wèn)題是否一定有兩個(gè)答案，存在只有一個(gè)答案的可能嗎？再讓學(xué)生去改題目得到一個(gè)答案的情r，最后做小結(jié)。設(shè)置這兩個(gè)題目的目的是讓學(xué)生在解決一些比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題時(shí)體會(huì)分類思想的方法，為后續(xù)解決較難問(wèn)題做好鋪墊。
問(wèn)題3：已知一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為20°，40°，120°，你能把這個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形嗎？畫一畫，并標(biāo)出各角的度數(shù)。
這個(gè)問(wèn)題學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中可能有過(guò)接觸，對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)還是比較簡(jiǎn)單的，只要把120°分出20°或者分出40°都能解決問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出這個(gè)三角形好，它能分成兩個(gè)等腰三角形，你能否畫一個(gè)三角形使它也具備這種功能，可以分成兩個(gè)等腰三角形。讓學(xué)生在嘗試畫的過(guò)程中找到只要三角形的內(nèi)角之間存在特定的關(guān)系就一定能分成兩個(gè)等腰三角形，它們分別是直角三角形或一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍以及一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍。在討論過(guò)程中，讓學(xué)生更深入地體會(huì)如何分類才能不漏不重。
問(wèn)題4：能否找到一個(gè)等腰三角形，使它能分成兩個(gè)等腰三角形，若有，請(qǐng)求出該等腰三角形的頂角度數(shù)。
這個(gè)問(wèn)題在等腰三角形中是一個(gè)比較經(jīng)典的問(wèn)題，但解決起來(lái)比較難，但在問(wèn)題3解決的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出問(wèn)題4，利用問(wèn)題3的結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題4，該問(wèn)題會(huì)變得簡(jiǎn)單很多。只需在問(wèn)題3中已分好的三類的基礎(chǔ)上進(jìn)一步讓原三角形成為等腰三角形即可解決，并在過(guò)程中滲透了方程思想。
3.課堂小結(jié)
本節(jié)課主要利用了4個(gè)問(wèn)題的解決來(lái)滲透分類思想這一重要的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在過(guò)程中親身體驗(yàn)分類的具體方式和方法，為今后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。
五、作業(yè)布置
求等邊三角形的面積公式：s=1/2a^2sin60°。等邊三角形（又稱正三邊形），為三邊相等的三角形，其三個(gè)內(nèi)角相等，均為60°，它是銳角三角形的一種。等邊三角形也是最穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形擁有等腰三角形的一切性質(zhì)。
三角形是由同一平面內(nèi)不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連接所組成的封閉圖形，在數(shù)學(xué)、建筑學(xué)有應(yīng)用。常見的三角形按邊分有普通三角形（三條邊都不相等），等腰三角（腰與底不等的等腰三角形、腰與底相等的等腰三角形即等邊三角形）；按角分有直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等，其中銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱斜三角形。
（來(lái)源：文章屋網(wǎng) ）
分析 這道題出來(lái)，學(xué)生明顯不適應(yīng)，有些同學(xué)雖能找到一兩個(gè)點(diǎn)但找不全，而有些同學(xué)甚至無(wú)從下手，不禁問(wèn)到：“這樣的點(diǎn)到底在哪兒?”其實(shí)解決這道題只需從軸對(duì)稱的性質(zhì)與等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)來(lái)進(jìn)行分析與討論，就能將滿足條件的點(diǎn)都找出來(lái).如圖2，由于直線l是等邊ABC的一條對(duì)稱軸，故直線l是ABC的邊BC的垂直平分線，而線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，所以只要點(diǎn)P在l上(除中BC點(diǎn)外)BCP均是等腰三角形，所以在找點(diǎn)P時(shí)就無(wú)需考慮BCP了，而對(duì)于ABP與ACP總是關(guān)于直線l對(duì)稱，所以ABP≌ACP，故對(duì)于這兩個(gè)三角形只需考慮其中一個(gè)就行，當(dāng)ABP是等腰三角形時(shí)，ACP必是等腰三角形.
解 在直線l上存在這樣的點(diǎn)P，使得ABP、BCP、ACP均為等腰三角形.
由上面的分析可知：只要點(diǎn)P在l上且ABP是等腰三角形，則BCP、ACP也均為等腰三角形.而對(duì)于等腰ABP現(xiàn)只知其一邊AB，故邊AB可能是等腰ABP的底，也可能是它的腰.所以我們分以下情況進(jìn)行討論：
⑴當(dāng)邊AB為等腰ABP的底時(shí)，PA=PB，所以點(diǎn)P一定在線段AB的垂直平分線上，又由點(diǎn)P在l上，所以點(diǎn)P一定在線段AB的垂直平分線與直線l的交點(diǎn)處(如圖3)，記該點(diǎn)為P1.
⑵當(dāng)邊AB為等腰ABP的腰時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B均可能為等腰ABP頂角的頂點(diǎn)，所以此處又要分類討論：
①當(dāng)點(diǎn)A為等腰ABP頂角的頂點(diǎn)時(shí)，PA=AB，故該點(diǎn)可以這樣找：以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓，與直線l有兩個(gè)交點(diǎn)(如圖4)分別記為P2、P3.
②當(dāng)點(diǎn)B為等腰ABP頂角的頂點(diǎn)時(shí)，PB=AB，故該點(diǎn)可以這樣找：以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫圓，與直線l也有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)就是點(diǎn)A另一個(gè)記為P4(如圖5)，而點(diǎn)A不符合要求故舍去.
綜上所述，在直線l共有四個(gè)點(diǎn)P1、P2、P3、P4滿足要求(如圖6).
延伸1 如圖7，ABC是等邊三角形，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得ABP、BCP、ACP均為等腰三角形?如果存在，請(qǐng)?jiān)趫D中找出來(lái).
通過(guò)上述例子的講解，可以非常容易地找到在等邊三角形的三條對(duì)稱軸上均可以找到四個(gè)滿足要求的點(diǎn)，是否就有12個(gè)這樣的點(diǎn)呢?其實(shí)不然，其中有三點(diǎn)重合即這3點(diǎn)均為三角形的外心P1，所以在對(duì)稱軸上總共可以找到10個(gè)滿足要求的點(diǎn).那么是否還有除這10個(gè)在對(duì)稱軸上的點(diǎn)外還有其他的點(diǎn)呢?
我們可以這樣假設(shè)：在對(duì)稱軸外存在一點(diǎn)P，使得ABP、BCP、ACP均為等腰三角形，若AP、PB、PC三條線段中有兩條相等，不妨設(shè)PA=PB，則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線(即ABC的一條對(duì)稱軸)上，與假設(shè)矛盾.則PA、PB、PC必定兩兩不等，而ABP、BCP、ACP均為等腰三角形，所以不妨設(shè)PA=AB，則PA=AC，而PB與PC必有一個(gè)等于BC，由于AB=AC=BC，所以PB與PC必有一個(gè)等于PA，則說(shuō)明點(diǎn)P在ABC的對(duì)稱軸上，與假設(shè)矛盾.可見滿足條件的點(diǎn)P必在ABC的對(duì)稱軸上.故滿足條件的點(diǎn)共有10個(gè)(如圖7).
圖8拓展1 如圖8，四邊形ABCD為正方形，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得ABP、BCP、CDP、ADP均為等腰三角形?如果存在，請(qǐng)?jiān)趫D中找出來(lái).
分析 通過(guò)上述例子的分析講解中，我們可以先考慮這個(gè)正方形的一條對(duì)稱軸l1(如圖8)，此時(shí)，l1是線段AD、BC的中垂線，故l1上的任一點(diǎn)P均有AP=DP、BP=CP，所以l1上的任一點(diǎn)P(除l1與AD、BC的交點(diǎn))均可以，ADP與BCP為等腰三角形，而ABP≌DCP，所以對(duì)于l1上的點(diǎn)P，我們只需考慮它能否使ABP成為等腰三角形即可.故有以下討論：
圖9解 (如圖9)直線l1為正方形ABCD的一條對(duì)稱軸，在直線l1上存在點(diǎn)P，使得ABP、BCP、CDP、ADP均為等腰三角形.
由分析可知，只要點(diǎn)P在l1上且使ABP為等腰三角形，則BCP、CDP、ADP均為等腰三角形.而對(duì)于ABP，現(xiàn)在只知道它的一條邊為AB，故邊AB可能是等腰ABP的底，也有可能是它的腰，所以可以這樣進(jìn)行討論：
⑴當(dāng)邊AB為等腰ABP的底時(shí)，PA=PB，所以點(diǎn)P一定在線段AB的垂直平分線上，又由點(diǎn)P在l上，所以點(diǎn)P一定在線段AB的垂直平分線l2與直線l1的交點(diǎn)處(如圖9)記該點(diǎn)為P1.
⑵當(dāng)邊AB為等腰ABP的腰時(shí)，點(diǎn)A與B點(diǎn)均可能為等腰三角形ABP頂角的頂點(diǎn)，所以此處又要分類討論：
①當(dāng)點(diǎn)A為等腰ABP頂角的頂點(diǎn)時(shí)，PA=AB，故該點(diǎn)可以這樣找：以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓，與直線l1有兩個(gè)交點(diǎn)(如圖9)分別記為P2、P3.
②當(dāng)點(diǎn)B為等腰ABP頂角的頂點(diǎn)時(shí)，PB=AB，故該點(diǎn)可以這樣找：以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫圓，與直線l1也有兩個(gè)交點(diǎn)(如圖9)分別記為P4、P5.
由于正方形的對(duì)稱性，其對(duì)稱軸l1與l2具有平等性，故在直線l2上也能找到5個(gè)符合要求的點(diǎn)P1、P6、P7、P8、P9，而兩個(gè)P1是相互重合的，所以在l1與l2上共可以找到9個(gè)符合要求的點(diǎn)(如圖9).
除l1與l2上9個(gè)點(diǎn)外，是否還有其它滿足條件的點(diǎn)嗎?我們可以假設(shè)：在對(duì)稱軸l1與l2外存在一點(diǎn)P，使得ABP、BCP、CDP、ADP均為等腰三角形，則若PA=PB、PB=PC、PC=PD、PD=PA中有一成立，則點(diǎn)P必在對(duì)稱軸l1或l2上，所以上述等式均不成立，即不妨設(shè)PA=AB、PC=CD，此時(shí)由于AB=BC=CD=AD，所以PA=PC，即點(diǎn)P在AC的垂直平分線BD上，而在直線BD上滿足PA=PC=AB的點(diǎn)P只有B、C兩個(gè)點(diǎn)，顯然B、C兩個(gè)點(diǎn)不符合要求，所以在平面內(nèi)只存在9個(gè)滿足要求點(diǎn)P(如圖9)，使得ABP、BCP、CDP、ADP均為等腰三角形.
通過(guò)上述兩個(gè)例子，大家一定可以總結(jié)出一些解決這類問(wèn)題的方法：
其實(shí)這類問(wèn)題的解決關(guān)鍵就是：對(duì)已知等腰三角形一邊(不妨設(shè)為AB)與其第三個(gè)點(diǎn)(不妨設(shè)為P)所在直線(不妨設(shè)為l)，來(lái)確定等腰三角形的第三點(diǎn)P的位置(即確定三角形的形狀).而對(duì)已知一邊的等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的特殊性可分以下情況討論：⑴該邊(AB)是等腰三角形的底邊，則第三點(diǎn)P一定在該邊的垂直平分線上，所以一定在AB的垂直平分線與直線l的交點(diǎn)處；
⑵該邊AB是等腰三角形的腰，此時(shí)又可對(duì)該邊的兩個(gè)端點(diǎn)進(jìn)行討論：
①當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形頂角的頂點(diǎn)時(shí)，則第三個(gè)點(diǎn)P必在以A為圓心，AB為半徑的圓上.
②當(dāng)點(diǎn)B為等腰三角形頂角的頂點(diǎn)時(shí)，則第三個(gè)點(diǎn)P必在以B為圓心，AB為半徑的圓上.
進(jìn)而再根據(jù)點(diǎn)P所在直線l的位置，可以確定點(diǎn)P為圓與直線l的交點(diǎn).
掌握了這些規(guī)律，解決這類問(wèn)題就易如反掌，沒有任何困難了.以上結(jié)論供大家參考，并附練習(xí)題兩道：
1.如圖10，AB∥CD，BC=AD，AB=2，CD=10，∠C=∠D=45°.平面內(nèi)有一點(diǎn)P，使得APB、BPC、CPD、APD都是等腰三角形.
⑴在圖中作出點(diǎn)P的位置；
⑵求出點(diǎn)P到CD的距離.
圖10 圖112.如圖11，A、B在方格紙的格點(diǎn)位置上，請(qǐng)?jiān)僬页鲆粋€(gè)格點(diǎn)C，使它們所構(gòu)成的三角形為軸對(duì)稱圖形，這樣的格點(diǎn)C共有( )
A.8個(gè) B.9個(gè) C.10個(gè) D.11個(gè)
以現(xiàn)代教育思想觀念武裝頭腦，是探索數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。現(xiàn)代教育思想觀念要求，在探索研究性學(xué)習(xí)時(shí)，要以現(xiàn)代化教育思想觀念武裝自己的頭腦，要能跳出數(shù)學(xué)看數(shù)學(xué)。新課標(biāo)的教育理念認(rèn)為，創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力不是教出來(lái)的，而是通過(guò)獨(dú)立的思考和有利于創(chuàng)造性思維的環(huán)境激發(fā)出來(lái)的。要在課堂教學(xué)中合理滲透過(guò)程是探索數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的突破口。
案例：《等腰三角形性質(zhì)定理二》探討課
1.提出問(wèn)題
等腰三角形，除了兩個(gè)底角相等的性質(zhì)外，還有哪些性質(zhì)呢？
2.實(shí)驗(yàn)探索
先用一張長(zhǎng)方形紙片剪一個(gè)等腰三角形。將等腰三角形對(duì)折，使兩腰重合，然后打開對(duì)折的三角形，觀察折痕，猜想折痕有哪些性質(zhì)，等腰三角形有哪些性質(zhì)？
3.設(shè)置問(wèn)題
（1）這個(gè)猜想是等腰三角形所特有的嗎？不等邊三角形會(huì)不會(huì)也有這些特點(diǎn)呢？
（2）是不是所有的等腰三角形都具備這個(gè)特點(diǎn)呢？
4.推理論證
（1）出示一個(gè)不等邊三角形（用《幾何畫板》），畫出同一邊上的高線、中線、角平分線，觀察三線并不重合。
（2）慢慢拖動(dòng)三角形一頂點(diǎn)，將不等邊三角形轉(zhuǎn)化為等腰三角形，發(fā)現(xiàn)底邊上的高線、中線、頂角的平分線互相重合。
（3）在教師的指導(dǎo)下，由學(xué)生證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。
5.得出結(jié)論
本節(jié)探討課變直接給出定理為發(fā)現(xiàn)定理，讓學(xué)生人人參與定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，活躍學(xué)生的思維。
一、數(shù)學(xué)開放題是實(shí)施數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的載體
例如，怎樣測(cè)量學(xué)校旗桿的高度。針對(duì)各種不同的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)出不同的測(cè)量方法。
這是一道綜合開放題，其條件、策略、結(jié)論都是開放的。（1）條件的開放性。可考慮的各種不同的條件大致有：旗桿的大小，旗桿周圍的地理環(huán)境和測(cè)量者能涉足的位置、測(cè)量工具。（2）策略的開放性。可考慮的各種不同的策略大致有：直接測(cè)量、利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。利用相似三角形的比例關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，利用三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算等。通過(guò)這樣的活動(dòng)不但使學(xué)生鞏固了解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，而且使學(xué)生體會(huì)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用，以及如何創(chuàng)設(shè)條件將一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。
二、注重用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法處理周圍的社會(huì)生活問(wèn)題是研究性學(xué)習(xí)的延伸
教師在注重對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能進(jìn)行教學(xué)的同時(shí)，更應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想和方法的學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)能力的提高，要讓學(xué)生多思、多想、多探索、多領(lǐng)悟，引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)自己理解、分析、歸納等處理問(wèn)題的能力。讓學(xué)生憑借自己的智慧和能力，積極、獨(dú)立地思考問(wèn)題，主動(dòng)探索知識(shí)，創(chuàng)造性地解決社會(huì)生活實(shí)際問(wèn)題。
如，裁縫師傅要想在一塊三角形的布料上剪出一個(gè)半徑盡可能大的圓做裙子，應(yīng)該如何剪才能符合要求？這個(gè)問(wèn)題可歸納為怎樣作一個(gè)圓和三角形的三邊都相切的問(wèn)題。又如，木工把一塊直角三角形的木板加工成一張正方形桌子的臺(tái)面，方法有很多，但若要求臺(tái)面的面積最大，他應(yīng)該怎么做呢？這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為二次函數(shù)的最大值問(wèn)題。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課；小組合作；實(shí)踐
數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的主要目的任務(wù)是鞏固和加深已學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，并使之系統(tǒng)化；熟練已有技能，提高學(xué)生已有知識(shí)的能力；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所歸納的知識(shí)去解決新的問(wèn)題，在新問(wèn)題解決的過(guò)程中進(jìn)行科學(xué)方法的訓(xùn)練；也可以引導(dǎo)學(xué)生不斷總結(jié)和聯(lián)想知識(shí)之間的相關(guān)性，對(duì)所學(xué)知識(shí)遷移再加工，將原來(lái)死知識(shí)加工成規(guī)律性好、條理性強(qiáng)的活知識(shí)。只有將知識(shí)縱橫聯(lián)系，才會(huì)在做題時(shí)融會(huì)貫通?？梢姅?shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的任務(wù)是繁重的。一個(gè)人的力量是有限的，由于每個(gè)學(xué)生所處的文化環(huán)境、家庭背景和自身的思維方式不同。美國(guó)的韋伯斯特曾說(shuō)過(guò)：“人們?cè)谝黄鹂梢宰龀鰡为?dú)一個(gè)人所不能做出的事業(yè)；智慧+雙手+力量結(jié)合在一起，幾乎是萬(wàn)能的?！币虼碎_展小組間的合作學(xué)習(xí)，能夠?qū)崿F(xiàn)優(yōu)劣互補(bǔ)，促進(jìn)知識(shí)的建構(gòu)。在合作學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)習(xí)任務(wù)由大家共同分擔(dān)，集思廣益，各抒己見，人人都盡其所能，這樣問(wèn)題就變得較容易解決了。
一、小組合作數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中知識(shí)結(jié)構(gòu)的創(chuàng)建和知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的形成。
數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是由大量的概念、定理、公理組成的知識(shí)體系，新教材的編排是把知識(shí)點(diǎn)分散到各個(gè)階段。在復(fù)習(xí)課中要求學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，希望通過(guò)復(fù)習(xí)課把所學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，讓學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題的過(guò)程中知道它們的聯(lián)系。通過(guò)小組合作交流能加深學(xué)生的印象，特別對(duì)于一些學(xué)困生有一定的幫助。
例如在“等腰三角形”的復(fù)習(xí)課中，教師開始設(shè)置以下問(wèn)題：1、什么樣的三角形是等腰三角形？2、等腰三角形具有什么樣的性質(zhì)？3、怎樣判定一個(gè)三角形是等腰三角形？4、有哪些特殊的等腰三角形？5、它們分別具有哪些特殊性？學(xué)生圍繞這五個(gè)問(wèn)題進(jìn)行小組合作交流學(xué)習(xí)。首先小組長(zhǎng)督促每一個(gè)小組成員在自己的筆記本上借助于課本或上新課時(shí)的筆記分別完成以上問(wèn)題，然后以小組長(zhǎng)為主持進(jìn)行合作交流。例如一個(gè)小組的做法，小組長(zhǎng)問(wèn)：等腰三角形具有什么樣的性質(zhì)？一個(gè)組員回答：“等邊對(duì)等角”、“三線合一”。組長(zhǎng)及時(shí)就問(wèn)：“三線”指的是哪三線？幾個(gè)組員同時(shí)回答：底邊上的中線、底邊上的高、頂角的角平分線。組長(zhǎng)在準(zhǔn)備問(wèn)下一個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，一個(gè)組員說(shuō)：好像還有軸對(duì)稱性。一石擊起千層浪，其他的組員紛紛接話：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形、等腰三角形的其它性質(zhì)就是因?yàn)槭禽S對(duì)稱才得到的等等。十分鐘左右，各個(gè)小組完善好每一個(gè)問(wèn)題后，教師提出下一個(gè)問(wèn)題：能不能把這一些分散的問(wèn)題用一個(gè)圖表或提綱的形式把它們串起來(lái)？小組又開始了第二輪合作討論。三、四分鐘后，有小組畫出了等腰三角形的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：
在整個(gè)過(guò)程中，每一個(gè)學(xué)生都積極地參與了學(xué)習(xí)中，特別是那些平時(shí)學(xué)習(xí)有點(diǎn)困難的學(xué)生，一方面他們?cè)谛〗M長(zhǎng)的監(jiān)督下，翻書或筆記把所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)抄了一遍，另一方面，在交流和討論的過(guò)程中他們耳濡目染了學(xué)習(xí)的知識(shí)。所以或多或少有一些復(fù)習(xí)的效果。
事實(shí)也證明，那些原本對(duì)幾何題不知從何下手的學(xué)生，在后面的測(cè)驗(yàn)中有了明顯的好轉(zhuǎn)。由于他們有了比較清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)，他們知道從題目中的條件寫出它們相對(duì)應(yīng)的結(jié)論。其實(shí)這對(duì)后進(jìn)生的轉(zhuǎn)化是一個(gè)良好的開端。
二、小組合作數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中典型例題的研究
在復(fù)習(xí)課中，例題的設(shè)置至關(guān)重要，一道好的例題能以點(diǎn)帶面，能讓學(xué)生在掌握該題的同時(shí)可以掌握這一類型的解題方法；或是能通過(guò)該題掌握一系列的問(wèn)題的解法；或是通過(guò)一道例題培養(yǎng)學(xué)生很多方面的能力。因此讓學(xué)生對(duì)例題的研究是很有價(jià)值的。然而每個(gè)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和知識(shí)層面各有不同，因此他們研究的方向和深度也就大有差異。小組合作學(xué)習(xí)能補(bǔ)促其中的缺陷。
教師首先設(shè)置典型的例題，然后設(shè)置一系列的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生合作研究的方向。
1.例題的設(shè)置
復(fù)習(xí)課的例題既應(yīng)具有基礎(chǔ)性、典型性、啟發(fā)性、綜合性、應(yīng)用性、開放性、創(chuàng)新性等特點(diǎn)，又能把知識(shí)、技能、思想、方法聯(lián)系在一起，更重要的是能在小組合作學(xué)習(xí)中起到以點(diǎn)帶面的作用。例如在復(fù)習(xí)“等腰三角形”的時(shí)候，教師設(shè)置了一組例題：
如圖1，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù)。
這是一道根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求其中某些角的度數(shù)的問(wèn)題。
第一，題目本身可以訓(xùn)練學(xué)生對(duì)“等邊對(duì)等角”這一性質(zhì)的
運(yùn)用，具有基礎(chǔ)性和典型性；第二，要解決該題，要利用三角形的
內(nèi)角和定理及三角形的外角定理，具有綜合性和應(yīng)用性；第三，此題很容易進(jìn)行變式、拓展，比如：把∠BAD=26°這個(gè)條件換成AC=BC，此時(shí)就需要運(yùn)用方程的思想。這樣的題對(duì)學(xué)生來(lái)講，具有代表性，有思考的空間，有利于學(xué)生在合作交流的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、拓展思維和歸納方法。
又如在復(fù)習(xí)全等三角形的時(shí)候，教師設(shè)置的例題：
2.問(wèn)題的設(shè)置
在小組合作學(xué)習(xí)中的問(wèn)題要能夠引導(dǎo)學(xué)生研究的方向。例如在上述例題的合作學(xué)習(xí)中，教師設(shè)置以下問(wèn)題：（1）例題的用意何在？它主要是要讓學(xué)生運(yùn)用哪些知識(shí)點(diǎn)，怎樣用？（2）解決此類問(wèn)題的突破口在哪里？有哪些解題方法？（3）在原題的基礎(chǔ)上能否改變題目的一個(gè)條件或結(jié)論，形成新的有創(chuàng)意性的問(wèn)題，問(wèn)題又將如何解決？
3.小組合作學(xué)習(xí)
學(xué)生的潛能是激發(fā)出來(lái)的，“三個(gè)臭皮匠賽過(guò)諸葛亮”，能夠正確地引導(dǎo)他們，小組合作能帶給教師很多的驚喜。特別是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的學(xué)生，在小組合作的學(xué)習(xí)中大有收獲，一個(gè)小組中的一個(gè)組員，剛進(jìn)初一的時(shí)候，每次數(shù)學(xué)考試都在30分左右。自從實(shí)行小組合作學(xué)習(xí)以來(lái)，他都會(huì)跟著其他的同學(xué)去思考。當(dāng)看到別的學(xué)生做得出來(lái)每一個(gè)題的時(shí)候，開始是羨慕，后來(lái)慢慢跟著他們一起去聽，當(dāng)遇到自己不會(huì)的問(wèn)題的時(shí)候也能夠去問(wèn)本組的同學(xué)，而且發(fā)現(xiàn)本組的同學(xué)還挺樂意幫助他。在講解的時(shí)候還特別投入。
三、小組合作數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的課堂小結(jié)
課堂教學(xué)是一門藝術(shù)，懂得適時(shí)課堂小結(jié)更是一門藝術(shù)。“編簍編筐，重在收口”，良好的課堂小結(jié)設(shè)計(jì)可激起學(xué)生的思維，產(chǎn)生畫龍點(diǎn)睛、余味無(wú)窮、啟迪智慧的效果。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課課堂小結(jié)是課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中的重要一環(huán)，不但可以幫助學(xué)生掌握知識(shí)和技能。還可促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成，新知識(shí)模塊的建立，解題技能的優(yōu)化和思想方法的提煉。教育心理學(xué)理論告訴我們，每堂課的結(jié)尾都存在著后攝效應(yīng)，即“故事的結(jié)尾往往是最容易被記住的”。然而教育心理學(xué)理論還告訴我們，在課堂教學(xué)接近尾聲之際，正是學(xué)生精力開始減弱的時(shí)刻，這個(gè)時(shí)刻，學(xué)生開始疲勞，記憶力開始下降。特別是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，內(nèi)容多，任務(wù)重，如果在這個(gè)時(shí)刻教師幫學(xué)生做小結(jié)，效果不是很好。
新課程理念也強(qiáng)調(diào)課堂應(yīng)以學(xué)生為本，尊重學(xué)生的主體性，張揚(yáng)學(xué)生的個(gè)性，把學(xué)生從傳統(tǒng)的“認(rèn)知體”提升到“生命體”。小組合作學(xué)習(xí)能體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。在合作學(xué)習(xí)過(guò)程中，小組中每個(gè)成員都能積極參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中。把學(xué)生從一節(jié)課的疲勞中給帶出來(lái)，極致地發(fā)揮出他們的潛能。
1.合作小結(jié)復(fù)習(xí)的重要知識(shí)點(diǎn)
數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，知識(shí)點(diǎn)比較多，而且比較散。學(xué)生在小結(jié)的過(guò)程中往往容易遺漏。在小組合作的過(guò)程中，以小組中心發(fā)言人為主，回憶歸納所復(fù)習(xí)到的知識(shí)，其他組員認(rèn)真地核對(duì)。中心發(fā)言人講完后，組員輪流發(fā)表自己的收獲，把小結(jié)過(guò)程中遺漏的知識(shí)點(diǎn)逐一補(bǔ)充完整。在展示結(jié)果的時(shí)候，小組間又一次核對(duì)和補(bǔ)充。讓所復(fù)習(xí)的知識(shí)在短短的幾分鐘里多次地經(jīng)過(guò)每個(gè)學(xué)生的大腦，大大地加深了對(duì)所學(xué)內(nèi)容的記憶。而且在這種輕松地環(huán)境下，前面所感覺到的疲勞也就不再存在了。
2.合作小結(jié)課堂中的解題方法和技巧
一堂數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的核心是解題方法和技巧。學(xué)困生之所以學(xué)困，就是在遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候不知從何下手。換一句話說(shuō)，就是不知道用什么樣的方法和技巧解題。如果在一節(jié)復(fù)習(xí)課后能把所用的方法和技巧歸納起來(lái)，學(xué)生在遇到相同問(wèn)題的時(shí)候一般還是能做得出來(lái)。在小組合作的時(shí)候，教師可以引導(dǎo)小組中成績(jī)優(yōu)秀的成員歸納小結(jié)，讓基礎(chǔ)不好的學(xué)生在旁邊耳濡目染，并要求他們認(rèn)真地在相應(yīng)的題目旁邊做好筆記。提高了中下生的解題能力，更為培養(yǎng)優(yōu)秀學(xué)生打下了基礎(chǔ)。比如在“等腰三角形的復(fù)習(xí)”課中，教師在小結(jié)的時(shí)候引導(dǎo)：“在等腰三角形的問(wèn)題解決中通常會(huì)遇到哪些解題思想？”其中一個(gè)小組歸納：在等腰三角形中沒有給出頂角、底角的情況下，要分兩種情況；小組中另外一個(gè)學(xué)生也有所領(lǐng)悟說(shuō)：在等腰三角形中沒明確腰和底的情況下也要分兩種情況；其中一個(gè)學(xué)生就立即提出：還要考慮三角形的三邊關(guān)系。另一個(gè)小組歸納：在等腰三角形的求角問(wèn)題中，如果給出了某個(gè)角的度數(shù)，就從這個(gè)已知角出發(fā)，如果沒有給出角的度數(shù)，設(shè)未知數(shù)比較簡(jiǎn)單；還有的學(xué)生講到證明兩條邊相等或兩個(gè)角相等時(shí)，如果在同一個(gè)三角形中，優(yōu)先考慮等腰三角形的判定或性質(zhì)；如果不在同一個(gè)三角形中，則優(yōu)先考慮所在的三角形全等等等。不管是在小組討論的過(guò)程中還是在小組間展示的過(guò)程中，學(xué)生都表現(xiàn)出高度的積極性和學(xué)習(xí)的激情。效果要比教師小結(jié)好的得多。