時(shí)間：2023-03-06 15:55:18
導(dǎo)語：在奇函數(shù)乘以奇函數(shù)的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；一元二次方程；關(guān)系
應(yīng)用二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是初中、高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接點(diǎn)，是中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考察內(nèi)容之一，要全面掌握二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，并能分析和解決有關(guān)二次函數(shù)的綜合問題，合理利用二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系是十分必要的。在初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，關(guān)于二次函數(shù)和一元二次方程的概念、性質(zhì)的理解，大多數(shù)學(xué)生易走入誤區(qū)不能把握兩者之間所存在的關(guān)系，導(dǎo)致知識(shí)點(diǎn)之間相互孤立，不能有機(jī)整合兩者關(guān)系，導(dǎo)致對(duì)問題的求解思路受阻，往往陷入困境。其實(shí)二者之間存在著緊密的聯(lián)系，利用它們之間的相互關(guān)系可以靈活巧妙的解決問題，從而提高解題效率，有著事半功倍之奇效，同時(shí)二者知識(shí)點(diǎn)的相互整合，有利于對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用。下面就兩者的關(guān)系和應(yīng)用作如下探討：
一、拋物線與y=ax2+bx+c（a≠0）其一元二次方程的系數(shù)a、b、c的聯(lián)系
1.對(duì)于拋物線的開口方向由a的符號(hào)來決定：當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向上。
2.拋物線的對(duì)稱軸是平行于y軸的一條直線，而系數(shù)b和a的符號(hào)決定這條直線在y軸的左側(cè)還是右側(cè)：當(dāng)ab>0時(shí)，對(duì)稱軸直線x=-〖SX（〗b2a〖SX）〗
3.拋物線與y軸的交點(diǎn)位置由c來決定；當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上；當(dāng)c
二、二次函數(shù)與y=ax2+bx+c（a≠0）與一元二次方程與ax2+bx+c（a≠0）之間的相互關(guān)系
對(duì)于二次函數(shù)和一元二次方程的概念，教材中做了明確的說明，多數(shù)學(xué)生應(yīng)該沒過多問題。但對(duì)概念的理解和應(yīng)用不少學(xué)生還存在差異，特別是兩者的聯(lián)系可以說是多數(shù)學(xué)生感到很困難的。這里要明確對(duì)于函數(shù)與y=ax2+bx+c（a≠0）當(dāng)y=0時(shí)，函數(shù)式變成與ax2+bx+c（a≠0），與一元二次方程是相同的等式，故當(dāng)函數(shù)值y=0時(shí)，自變量x的值就是函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，該橫坐標(biāo)值即為方程與ax2+bx+c（a≠0）的解，所以一元二次方程與ax2+bx+c（a≠0）的解決定拋物線與x軸的交點(diǎn)，而一元二次方程的解由其判別式b2-4ab的值來決定，并且一元二次方程的解有三種情況，現(xiàn)用下表來說明拋物線與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程的解的關(guān)系：
判別式與ax2+bx+c（a≠0）的根與y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)=b2-4ac
反之，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)也可以判斷方程ax2+bx+c（a≠0）的根的情況。三、一元二次方程兩根與二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)關(guān)系的整合利用巧妙解答問題。
例1.求拋物線y=3x2-8x+4與x軸的交點(diǎn)。分析：令y=0，根據(jù)3x2-8x+4=0的根來確定拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。解：令y=0，則3x2-8x+4=0；b2-4ac=64-344=16>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根解得x1=〖SX（〗23〖SX）〗；x2=2，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（〖SX（〗23〖SX）〗，0）；（2，0）
例2，若關(guān)于x的二次方程a（x-3）2+b=0（a≠0）的一個(gè)根是1，求另一個(gè)根。分析：該題按常規(guī)解法把x=1代入方程無法求出a、b的值，感覺進(jìn)入胡同，只能化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)關(guān)系求另一個(gè)根，但把二次函數(shù)與一元二次方程相結(jié)合可以使問題更為簡(jiǎn)化。解：設(shè)y=a（x-3）2+b=0（a≠0）則直線x=3是拋物線的對(duì)稱軸點(diǎn)（1、0）是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，由對(duì)稱性可知（3、0）是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)。方程與a（x-3）2+b=0的另一個(gè)根是x=5.以上兩例可以說明利用二次函數(shù)與一元二次方程的相互關(guān)系使不太容易求解的問題變得簡(jiǎn)便多了。12.TIF〗
例3.已知如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A（-1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，-4），判斷方程ax2+bx+c（a≠0）的根的情況。解：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)。方程ax2+bx+c（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由交點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0）可知x1=-1，x2=4，
1.韋達(dá)定理與拋物線對(duì)稱軸方程的關(guān)系及其應(yīng)用
二次方程中ax2+bx+c（a≠0），方程兩根x1、x2與系數(shù)a、b、c存在如下關(guān)系（韋達(dá)定理）：x1+x2=-〖SX（〗ca〖SX）〗，x1?x2=〖SX（〗ca〖SX）〗而拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸直線是x=-〖SX（〗b2a〖SX）〗，若把韋達(dá)定理引入拋物線對(duì)稱軸方程，不難得到x=〖SX（〗12〖SX）〗（x1+x2），由此，可以由方程的根求相應(yīng)拋物線的對(duì)稱軸，或者知拋物線的對(duì)稱軸直線求一元二次方程的根。
例5.已知方程ax2+bx+c（a≠0）的一個(gè)根為-1，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是x=3，求方程的另一個(gè)根。分析：此題可由對(duì)稱性求解，求出（-1，0）關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，但直接應(yīng)用關(guān)系x=〖SX（〗12〖SX）〗（x1+x2）更為方便。解：設(shè)方程的另一個(gè)根為直線x=3是拋物線的對(duì)稱軸〖SX（〗12〖SX）〗（-1+x2）=3解得x2=7由上例通過方程的兩根之和與拋物線對(duì)稱軸關(guān)系x=〖SX（〗12〖SX）〗（x1+x2）巧妙求出另一個(gè)根，不失是一種很好的解題途徑。
然而，在軟件編制完成后需測(cè)試軟件的性能，若此時(shí)無現(xiàn)成的測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)，為得到軟件測(cè)試所需的測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)而開一次井，無疑對(duì)成本的控制是不利的，因此，可用函數(shù)發(fā)生器來模擬測(cè)井信號(hào)以供軟件測(cè)試所用，本文利用RIGOLDG3000函數(shù)發(fā)生器來模擬測(cè)井信號(hào)，完成對(duì)八臂井徑儀數(shù)字化處理軟件的測(cè)試。
系統(tǒng)結(jié)構(gòu)
為便于比較先給出實(shí)際應(yīng)用中的原理框圖如圖1所示。
井下傳感器用于探測(cè)四條井徑信號(hào)以及磁重量、磁井徑和自然伽碼信號(hào)，深度數(shù)據(jù)由深度系統(tǒng)提供，它是根據(jù)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)數(shù)轉(zhuǎn)化而來的，這八路信號(hào)同時(shí)送入后面幾個(gè)模塊中進(jìn)行處理。
利用RIGOL DG3000函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生模擬的測(cè)井信號(hào)，再通過數(shù)據(jù)采集電路模塊送入計(jì)算機(jī)。模擬的原理框圖如圖2所示。
數(shù)據(jù)采集模塊(硬件部分) 數(shù)據(jù)采集電路采用一個(gè)16通道、100kHz的數(shù)據(jù)采集卡，主要由A／D轉(zhuǎn)換電路、數(shù)字量輸入、輸出電路、接口控制邏輯電路組成。在實(shí)際應(yīng)用中(如圖1所示)需加上前置電路。因?yàn)樵趯?shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)過程中各種各樣的干擾是不可避免的，所以有必要將測(cè)井信號(hào)進(jìn)行適當(dāng)放大和濾波處理，使信號(hào)達(dá)到采集卡所需輸入電壓范圍。但在圖2中，可不用前置電路，這是因?yàn)槔肈G3000函數(shù)發(fā)生器強(qiáng)大的波形產(chǎn)生功能完全可以滿足采集卡所需的輸入信號(hào)在電壓值及頻率范圍等方面的要求，因此，可直接將函數(shù)發(fā)生器的輸出端接人數(shù)據(jù)采集電路中。
數(shù)字化處理模塊(軟件部分)
該軟件完成數(shù)據(jù)的數(shù)字化處理，它是基于VC6．0基礎(chǔ)上編制完成的，除功能完整外，還具有良好的人機(jī)交互界面與操作簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。
各部分的連接
DG3000函數(shù)發(fā)生器所具備的模擬輸出通道可直接與數(shù)據(jù)采集電路相連接，數(shù)據(jù)采集卡采用PCI總線與PC相連進(jìn)行數(shù)據(jù)通信。由軟件提供軟觸發(fā)方式來控制數(shù)據(jù)采集卡的采集與停止。
八臂井徑儀數(shù)字化處理系統(tǒng)介紹
軟件按功能劃分主要包括三個(gè)模塊，分別為通信接口模塊、曲線顯示與打印模塊、曲線解釋模塊。下面將分別介紹各個(gè)模塊所具備的功能。
通信接口模塊
這一部分的主要任務(wù)是完成計(jì)算機(jī)對(duì)采集卡的控制、端口地址的初始化以及與采集卡進(jìn)行數(shù)據(jù)通信。
如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)擊“開始采集”按鈕后，先對(duì)采集卡進(jìn)行端口地址設(shè)置以及觸發(fā)方式設(shè)置，然后開始采集數(shù)據(jù)，并存入預(yù)先設(shè)定的動(dòng)態(tài)數(shù)組中。點(diǎn)擊“停止采集”按鈕后，則向采集卡發(fā)出停止采集信號(hào)，采集卡停止工作。最后，為方便對(duì)數(shù)據(jù)文件進(jìn)行有效處理，將動(dòng)態(tài)數(shù)組中的數(shù)據(jù)按一定存儲(chǔ)方式以文件的形式保存起來。
曲線顯示與打印模塊
該部分完成將數(shù)據(jù)文件以曲線的方式繪制出來并顯示在顯示器或者打印機(jī)中。在顯示曲線之前先進(jìn)行相應(yīng)的顯示參數(shù)設(shè)置，以滿足我們的觀測(cè)需求。
如圖4所示，單擊“瀏覽”按鈕選擇欲打開的數(shù)據(jù)文件，系統(tǒng)自動(dòng)讀取該數(shù)字文件的起點(diǎn)位置和終點(diǎn)位置并顯示出來，以方便我們?cè)O(shè)定欲觀測(cè)曲線的深度范圍。如需要可對(duì)其他顯示參數(shù)分別設(shè)置或取默認(rèn)值。
曲線解釋模塊
該模塊是在曲線顯示的基礎(chǔ)上完成的，測(cè)井曲線的數(shù)據(jù)量一般是很大的，當(dāng)把測(cè)井曲線顯示出來時(shí)，為減少工作量，觀測(cè)員可對(duì)測(cè)井曲線進(jìn)行大概的判斷和分析，以判斷出異常區(qū)域的大致深度范圍。然后利用曲線解釋模塊在此基礎(chǔ)上對(duì)異常區(qū)進(jìn)行判決分析，以準(zhǔn)確的判決出測(cè)井曲線的異常情況。大量的實(shí)踐表明，套管主要分為變形、腐蝕、破裂這三種異常情況，依據(jù)測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)并結(jié)合相應(yīng)的算法可較準(zhǔn)確的判斷出套管的異常情況。
為滿足不同異常程度的需求，可對(duì)套管異常的標(biāo)準(zhǔn)事先做出規(guī)定，在曲線解釋前進(jìn)行解釋參數(shù)的設(shè)置，參數(shù)設(shè)置窗口如圖5所示。
利用DG3000函數(shù)發(fā)生器進(jìn)行性能測(cè)試
測(cè)試內(nèi)容
針對(duì)軟件數(shù)據(jù)處理的兩個(gè)模塊，主要的測(cè)試內(nèi)容：1．測(cè)試曲線顯示模塊能否將DG3000函數(shù)發(fā)生器所輸出的波形繪制出來。2．測(cè)試曲線解釋模塊能否對(duì)所繪制數(shù)據(jù)曲線進(jìn)行有效判決。
測(cè)試應(yīng)達(dá)到的要求
對(duì)于測(cè)試內(nèi)容1，大量的實(shí)踐結(jié)果證明測(cè)井信號(hào)的有效部分的頻率低于100Hz，為使測(cè)試效果更明顯，可利用DG3000函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生頻率大干100Hz的模擬測(cè)井信號(hào)，根據(jù)采樣定理，測(cè)試信號(hào)頻率不能超過采集卡采集頻率的范圍，在此條件下，若曲線顯示模塊繪制出的曲線與模擬測(cè)井信號(hào)波形一致，則軟件性能一定能滿足繪制實(shí)際測(cè)井曲線的要求。
對(duì)于測(cè)試內(nèi)容2，由于判決機(jī)理的不同，對(duì)三種套管的異常情況需分別對(duì)待。對(duì)于套管腐蝕和破裂兩種情況，由于其判決的依據(jù)是磁重量數(shù)據(jù)的變化，磁重量的測(cè)量是根據(jù)鐵磁材料中，渦流會(huì)導(dǎo)致磁化的滯后效應(yīng)，而使得二次磁場(chǎng)與原生磁場(chǎng)間產(chǎn)生相位差這一原理得到的。大量的實(shí)踐數(shù)據(jù)表明，若套管發(fā)生腐蝕或破裂情況時(shí)，磁重量曲線呈現(xiàn)不規(guī)則形狀，由此，我們可知人為的根據(jù)磁重量數(shù)據(jù)曲線來判斷套管是否具有腐蝕或破裂是很困難的，因此利用DG3000函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的模擬測(cè)井信號(hào)進(jìn)行腐蝕和破裂情況的解釋也就沒有意義了。所以，本方案僅對(duì)套管變形判決性能進(jìn)行測(cè)試。
對(duì)于套管變形情況的判斷，其判決的依據(jù)是測(cè)井曲線幅度的變化，利用DG3000函數(shù)發(fā)生器強(qiáng)大的波形產(chǎn)生功能，如產(chǎn)生一脈沖信號(hào)，若曲線解釋模塊能準(zhǔn)確的判決出脈沖的起始位置和終止位置，則該模塊在實(shí)際應(yīng)用中也能滿足實(shí)際測(cè)井信號(hào)的要求。
測(cè)試時(shí)需注意的問題
根據(jù)采樣定理，DG3000函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生波形的頻率必須在采集卡采樣頻率范圍內(nèi)，否則曲線是繪制不出來的。
在實(shí)際中，曲線深度是由深度系統(tǒng)提供，本方案中深度值是由軟件本身自加的，須修改相應(yīng)程序(如假設(shè)每米欲采50個(gè)點(diǎn)，則每采一次深度自加0．02m)。
測(cè)試結(jié)果
曲線顯示模塊
DG3000函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生一頻率為200Hz，幅值為10V的正弦波，經(jīng)采集卡采集后，數(shù)據(jù)送至曲線顯示模塊處理結(jié)果如圖6所示
如圖6所示，由于除井溫曲線外，其余幾道數(shù)據(jù)曲線的繪制算法是一致的(軟件中采用一循環(huán)語句分別對(duì)每一道進(jìn)行繪制)，為簡(jiǎn)化測(cè)試過程的操作步驟，僅輸入一道信號(hào)(即圖6中的井徑一)，由圖可知，曲線顯示模塊準(zhǔn)確的繪制出一正弦波形，由此推斷其可基本滿
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足實(shí)際需求。
同理可知，由于算法的一致性，若將信號(hào)接入其他幾道相應(yīng)的數(shù)據(jù)通道端口，亦可準(zhǔn)確的繪制出來。
曲線解釋模塊
DG3000函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生一脈沖信號(hào)，與曲線顯示模塊一樣，僅輸入一道信號(hào)(井徑一)，送入計(jì)算機(jī)后處理結(jié)果如圖7所示。
由圖可知，曲線解釋模塊可比較準(zhǔn)確的判斷出測(cè)井曲線變形的情況，并將判決的結(jié)果標(biāo)識(shí)出來，用以指導(dǎo)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況的處理。脈沖所在處表示套管發(fā)生了變形，如圖，脈沖方向向右表示測(cè)量值大于套管的平均值，則表示為套管該側(cè)發(fā)生擴(kuò)徑變形，同理，脈沖方向向左則相反，表示套管該側(cè)發(fā)生縮徑變形。當(dāng)四道測(cè)井曲線(即井一至井四)同時(shí)滿足擴(kuò)徑變形時(shí)，則最終解釋結(jié)果判決為套管發(fā)生擴(kuò)徑變形，縮徑時(shí)亦然，若不同時(shí)滿足，則僅判決為套管變形。由于本測(cè)試只輸入一道信號(hào)，所以解釋的結(jié)果為套管變形。
結(jié)論
由上述可知，利用DG3000函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生模擬測(cè)井信號(hào)證明了該軟件所具有的曲線回放和曲線解釋兩部分功能模塊的正確性，在實(shí)際應(yīng)用中可基本完成實(shí)際所需要求。
本測(cè)試以該軟件的性能測(cè)試為例，利用DG3000函數(shù)發(fā)生器所產(chǎn)生的信號(hào)可作為測(cè)試信號(hào)以供我們使用。
信號(hào)產(chǎn)生
使用Sine按鍵，在屏幕顯示正弦波的操作菜單。通過使用正弦波形的操作菜單，對(duì)正弦波的輸出波形參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。
設(shè)置正弦波的參數(shù)主要包括：頻率／周期、幅值／高電平、偏移量／低電平。通過改變這些參數(shù)，得到不同形狀的正弦波。波形顯示窗口中的參數(shù)值與參數(shù)顯示窗口中的參數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。如圖9所示，在軟鍵菜單中，選中頻率。光標(biāo)位于參數(shù)顯示窗口的頻率參數(shù)位置，可在此位置對(duì)正弦波的頻率值進(jìn)行修改。在波形顯示窗口中，左上角顯示的參數(shù)類型變?yōu)轭l率，與頻率相對(duì)應(yīng)的參數(shù)值加陰影顯示。
深入測(cè)試
本測(cè)試中，使用DG3000函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生一頻率為200Hz，幅值為10V的正弦波進(jìn)行測(cè)試。隨著軟件的完善，在進(jìn)一步的測(cè)試中，需要更加真實(shí)的模擬測(cè)井信號(hào)，這時(shí)，我們同樣可以用RIGOL DS3000來產(chǎn)生逼真的信號(hào)。使用DG3000提供的任意波形編輯功能或者通過Ultrawave軟件來編輯我們所要模擬的測(cè)井信號(hào)，從而更加精確的對(duì)數(shù)字化處理軟件進(jìn)行測(cè)試。
我們也可以利用RIGOL DG3000與RIGOL DSl000系列示波器組成的工作平臺(tái)采集和重現(xiàn)真實(shí)的測(cè)井信號(hào)。只需要用DS1000采集一次測(cè)井信號(hào)，就可以用DG 3000重復(fù)再現(xiàn)信號(hào)，可以實(shí)現(xiàn)與真實(shí)測(cè)試最接近的測(cè)試環(huán)境，給我們更加可靠的測(cè)試數(shù)據(jù)。
關(guān)鍵詞：模式方法，極限，微分，積分，分段函數(shù)
每年在教學(xué)過程中都會(huì)遇到許多同學(xué)學(xué)習(xí)微積分感覺困難的問題，其中一個(gè)主要原因就是同學(xué)們沒有順利完成從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的相應(yīng)轉(zhuǎn)變，而這里面學(xué)習(xí)方法的轉(zhuǎn)變又是一個(gè)關(guān)鍵。對(duì)于初次接觸大學(xué)數(shù)學(xué)--微積分的大一新生而言，在微積分學(xué)習(xí)過程中，掌握相關(guān)的幾個(gè)重要“模式”就顯得尤其重要了。下面就在一元函數(shù)微積分學(xué)習(xí)過程中所遇到的幾種“模式方法”進(jìn)行探討。
一、關(guān)于極限
眾所周知，函數(shù)是微積分的研究對(duì)象，極限是微積分的研究工具，它貫穿微積分的始終，掌握好函數(shù)的極限這一工具，對(duì)微積分的學(xué)習(xí)有著舉足輕重的意義。
1．有理函數(shù)極限模式
當(dāng)自變量時(shí)，比如對(duì)有理函數(shù)極限（其中分子和分母均為多項(xiàng)式）而言，該“模式”的特點(diǎn)為：若分母的極限， 則；若分母的極限，而，則；若，則分子分母定可找到相同公因式，約分化簡(jiǎn)后再按上述兩步繼續(xù)討論。即，
另外當(dāng)自變量時(shí)，極限取決于分子分母的最高次項(xiàng)的次數(shù)，當(dāng)次數(shù)相等時(shí)，極限為分子分母最高次項(xiàng)的系數(shù)比；當(dāng)分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)時(shí)，極限；當(dāng)分母的次數(shù)低于分子的次數(shù)時(shí)，極限。論文參考，微分。
2、兩個(gè)重要極限模式；
第一重要極限模式有兩個(gè)顯著特點(diǎn)：作為分子的正弦函數(shù)所包含的表達(dá)式要和分母的表達(dá)式完全一樣；該一樣的表達(dá)式為在某一變化過程中的無窮小量；結(jié)論：該極限為1，即。論文參考，微分。此處需要注意的是，不論自變量是在在何種變化過程下，只需保證表達(dá)式即可。論文參考，微分。
第二重要極限亦具有兩個(gè)類似的特點(diǎn)：底數(shù)一定要是1加上某個(gè)表達(dá)式，而指數(shù)是底數(shù)所加表達(dá)式的倒數(shù)；指數(shù)部分的表達(dá)式要為無窮大。結(jié)論：該極限值等于。即。對(duì)第二重要極限需要注意的是，在冪指函數(shù)的極限中，若底數(shù)可分離出1加某個(gè)表達(dá)式，且該表達(dá)式為無窮小，則其一般可以湊出第二個(gè)重要極限的模式。
3、無窮小等價(jià)替換模式
等價(jià)無窮小是一個(gè)非常有用的知識(shí)點(diǎn)，既然等價(jià)，我們就可以替換，從而就有了“無窮小等價(jià)替換模式”。該模式一般應(yīng)用于分時(shí)極限，是僅在乘除法時(shí)使用，即若，（其中）。
二、關(guān)于微分
微分是微積分這門課程的重要構(gòu)成部分，微分最核心的部分可用微分模式來概括，即函數(shù)的微分等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分。比如，函數(shù)的微分。這里需要強(qiáng)調(diào)的是微分一定等于導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分，而自變量的微分一般是初學(xué)微積分者易于忽略掉的地方
另外，即便是復(fù)合函數(shù)的微分也遵循這一模式：例如，復(fù)合函數(shù)的微分
三、關(guān)于積分
積分這部分有兩個(gè)模式是非常重要的
1、奇零偶倍模式，完整的描述為奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的積分為零，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的積分等于2倍的的積分。即
該模式對(duì)于計(jì)算對(duì)稱區(qū)間上的定積分非常有用，可以節(jié)省諸多時(shí)間。
例：，其實(shí)該積分是不需要利用區(qū)間可加性去討論去掉積分符號(hào)的。
2.積分上限函數(shù)模式（變上限定積分模式）
這里其實(shí)是只討論積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，該模式的內(nèi)容為積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于把積分上限帶入被積函數(shù)后再乘以積分上限的導(dǎo)數(shù)。
例：
四、關(guān)于分段函數(shù)
微積分還有一個(gè)能夠令初學(xué)者非常困惑撓頭的地方，那就是討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限、連續(xù)性、可導(dǎo)性的問題，此處由于都與分段函數(shù)有關(guān)，從而可歸納為“分段函數(shù)模式”。
“分段函數(shù)模式”的特點(diǎn)：一定要利用相應(yīng)的定義（或相應(yīng)的充要條件）去研究函數(shù)在其分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)性與可導(dǎo)性。論文參考，微分。
分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限左、右極限存在且相等；
分段函數(shù)在分段點(diǎn)處連續(xù)左、右連續(xù)；
分段函數(shù)在分段點(diǎn)處可導(dǎo)左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等。論文參考，微分。
其中，左右極限，左右連續(xù)，左右導(dǎo)數(shù)一定要用相應(yīng)的定義去求解或判斷。論文參考，微分。
例：討論函數(shù)在處的的連續(xù)性。
解：錯(cuò)誤解法，，所以函數(shù)在處連續(xù)。錯(cuò)在忽略 函數(shù)在處左右兩側(cè)的表達(dá)式不一樣這個(gè)問題。而利用“分段函數(shù)模式”解法：，右連續(xù)；
，不左連續(xù)，從而函數(shù)在處不連續(xù)。
例：討論函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。
解： 從而。
這種方法顯然是錯(cuò)誤的，而一旦我們應(yīng)用“分段函數(shù)模式”，這種錯(cuò)誤就可以避免。
，
。
顯然在處不可導(dǎo)。
參考文獻(xiàn)
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[2]趙樹嫄，微積分[M]，北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2007。
〔中圖分類號(hào)〕 G633.6〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A
〔文章編號(hào)〕 1004―0463（2011）07（A）―0034―03
素質(zhì)教育是21世紀(jì)中國(guó)教育的主旋律，課堂教學(xué)是實(shí)施素質(zhì)教育的重要環(huán)節(jié)，而中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)操作模式是實(shí)施數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的關(guān)鍵.為了全面提高學(xué)生的基本素質(zhì)、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、開發(fā)學(xué)生的智能潛力，作為教學(xué)模式的一種――變式教學(xué)，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一種重要途徑.
變式是指相對(duì)于某種范式（即教材中具體數(shù)學(xué)思維成果，包含基本知識(shí)、知識(shí)結(jié)構(gòu)、典型問題、思維模式等）的變化形式，即不斷變更問題的情境或改變思維的角度，在保持事物本質(zhì)特征不變的情況下，使事物的非本質(zhì)屬性不斷遷移的變化方式.變式有多種形式，如形式變式、內(nèi)容變式、方法變式等.變式既是一種重要的思想方法，又是一種重要的教學(xué)途徑.通過變式進(jìn)行技能和思維的訓(xùn)練叫做變式訓(xùn)練；采用變式進(jìn)行教學(xué)叫做變式教學(xué).變式教學(xué)要求教師在課堂上通過變式展示知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、形成的完整的認(rèn)知過程.因此，變式教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生研究、探索問題的能力，是教學(xué)中學(xué)生思維訓(xùn)練和技能培養(yǎng)的重要途徑.
我認(rèn)為在變式教學(xué)的過程中，應(yīng)包括以下幾個(gè)方面的內(nèi)容：
一、概念、定理、公式的變式教學(xué)
1. 知識(shí)形成過程中的問題設(shè)計(jì).從培養(yǎng)學(xué)生思維能力、創(chuàng)新意識(shí)的要求來看，數(shù)學(xué)概念的形成過程和其內(nèi)涵、外延的揭示過程比數(shù)學(xué)概念的定義本身更重要.在知識(shí)形成過程的教學(xué)中，教師不應(yīng)直接將現(xiàn)成結(jié)論教給學(xué)生，而應(yīng)充分利用實(shí)驗(yàn)、特例、多媒體教學(xué)等手段，設(shè)計(jì)系列問題，增加輔助、探索環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生從直觀想象出發(fā)去發(fā)現(xiàn)、猜想.通過多樣化的變式，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析以及概括的能力.然后，讓他們給出驗(yàn)證或理論證明，使他們形成一個(gè)完整的認(rèn)知過程，逐步掌握認(rèn)識(shí)事物、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和真理的方式、方法.
2. 基本概念辨析型變式.數(shù)學(xué)概念的變式主要包括概念的引入變式、辨析變式、深化變式和鞏固變式.
對(duì)概念的引入變式舉例如下：
例1奇偶函數(shù)的定義，可通過下列變式題組引入：
（1）設(shè)f（x）=2x2，g（x）=x4+1，計(jì)算①f（1），f（-1），g（2），g（-2）；② f（a），f（-a），g（a），g（-a）；③ f（x），
f（-x），g（x），g（-x）.
（2）設(shè)f（x）=x3，g（x）=-，計(jì)算①f（1），f（-1），g（2），g（-2）；② f（a），f（-a），g（a），g（-a）；③ f（x），
f（-x），g（x），g（-x）.
首先，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察計(jì)算結(jié)果，并得出結(jié)論：在（1）中，有f（x）=f（-x），g（x）=g（-x）；在（2）中，有f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x）.然后，啟發(fā)學(xué)生指出兩類函數(shù)的特點(diǎn)，從而引進(jìn)奇偶函數(shù)的概念.
對(duì)概念的鞏固變式舉例如下：
例2已知f（x）=x（1-x）（x>0），x（1+x）（x
變式1已知f（x）=x（1-x） （x>0），1（x=0），x（1+x）（x
變式2已知f（x）=x（1-x） （x>0），0（x=0），x（1+x）（x
變式3已知f（x）為奇函數(shù)，且x>0時(shí)，（f）x=x（1-x），求f（x）在x
變式4已知f（x）是偶函數(shù)，且x>0時(shí)，（f）x=x（1-x），求f（x）在x
通過上述變式的引入，可以使學(xué)生不僅對(duì)函數(shù)的奇偶性定義有了更深刻的理解，而且對(duì)不同題型的解法之間的內(nèi)在聯(lián)系有了更深入的認(rèn)識(shí).
在概念形成后，教師不應(yīng)急于讓學(xué)生應(yīng)用概念解決問題，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方位、多層次地探索概念的變式，透過現(xiàn)象看本質(zhì).一方面，可針對(duì)概念的內(nèi)涵與外延設(shè)計(jì)變式問題，在弄清其內(nèi)涵與外延的過程中，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性；另一方面，可針對(duì)一些內(nèi)容或形式相似、易造成混淆的問題，在教學(xué)中設(shè)計(jì)辨析變式問題，使學(xué)生在錯(cuò)綜復(fù)雜的事物聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)，并學(xué)會(huì)客觀地評(píng)價(jià)事物.
3. 定理、公式的深化變式.一些定理、公式的推導(dǎo)、證明方法具有典型性，往往代表了一類典型的解題方法或思想，對(duì)它們的證明及推導(dǎo)方法加以探索，有利于學(xué)生解題思想方法的形成、鞏固，并深化已學(xué)過的知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生的求異思維、創(chuàng)新意識(shí).
例3（等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)）設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則其前n項(xiàng)和為：Sn=na1（q=1），（q≠1）.當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1是顯然的，下面僅給出q≠1時(shí)的公式推導(dǎo)方法：
方法一：（錯(cuò)位相減法）設(shè)Sn=a1+a1q+…+a1qn-1①，qSn=a1q+a1q2+…+a1qn②.
①-②得：（1-q）Sn=a1-a1qn，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=.
方法二：（公式法）由整式除法知，當(dāng)q≠1時(shí)，=1+q+q2+…+qn-1，兩邊同乘以a1，得：=a1（1+q+q2+ … +qn-1）， Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1=.
方法三：（轉(zhuǎn)換法）Sn+1=Sn+a1qn=a1+a1q+…+a1qn-1+a1qn=a1+q（a1+a1q+ … +a1qn-1）=a1+qSn . 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn+a1q=a1+qSn，即Sn=.
方法四:（比例性質(zhì)法）==…==q，由等比定理得q=，即=q，當(dāng)q≠1時(shí)得：Sn=.
4. 圖形變式.在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)盡可能利用圖形位置和襯托背景的變化，反復(fù)變更概念的非本質(zhì)屬性，突出且保持概念的內(nèi)涵特征，幫助學(xué)生形成正確的概念思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.
二、例題、習(xí)題的變式教學(xué)
1. 一題多解變式.即引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一問題從不同角度加以思考，探求不同的解答方案，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性.
例4已知a，b，m∈R+且a.
證法1：a，b，m∈R+，欲證>，只需證（a+m）b>a（b+m），即bm>am，因此只需證明b>a成立.a.
證法2：a，b，m∈R+，a=-1，故>.
證法3：a，b，m∈R+，a=，即>.
證法4：b>a>0，可設(shè)b=ka（k>1），而m∈R+，=>==.即>.
上述各種證法涉及不等式證明的常用方法：分析法、比較法、放縮法及構(gòu)造法等.通過對(duì)本題證法的全方位探討，無疑能培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、想象能力及綜合能力.
2. 一法多用變式.即將解決某一問題的方法加以歸納、總結(jié)并形成技巧，用以解決其他問題.這種變式能達(dá)到多題歸一的目的，能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)、方法的遷移能力.
3. 一題多變變式.即從一道習(xí)題出發(fā)，運(yùn)用逆向或橫向思維，通過改變題目條件、變化題型、變特殊條件為一般條件等手段，使原來的一道題變成一類題，再由一類題變?yōu)槎囝愵}，并通過對(duì)變題的研究、解決，使學(xué)生形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性的變式.
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例5求曲線y2=4-2x上與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)P的坐標(biāo).
變題一：（將條件一般化，提高應(yīng)變能力）在曲線y2=4-2x上求一點(diǎn)M，使此點(diǎn)到A（a，0）的距離最短，并求最短距離.
變題二：（改變背景，提高創(chuàng)新能力）拋物線G1：y2=4-2x與動(dòng)圓G2：（x-a）2+y2=1沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.
變題三：已知拋物線C：y2=4-2x，圓心在x軸上的動(dòng)圓在拋物線的內(nèi)部相切于拋物線C的頂點(diǎn)，求動(dòng)圓半徑的取值范圍.
變題四：（聯(lián)系實(shí)際，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)）一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數(shù)解析式是y=（0≤y≤20），在杯內(nèi)放一個(gè)玻璃球，要使球觸及杯底，求玻璃球半徑r的取值范圍.
變題五：（變換條件結(jié)論，提高探索能力）是否存在滿足下列條件的拋物線：（1）準(zhǔn)線是x=；（2）頂點(diǎn)在x軸上；（3）點(diǎn)O（0，0）到此拋物線上動(dòng)點(diǎn)M的距離的最小值為.若存在，有幾條？并求方程.若不存在，說明理由.
三、教法、學(xué)法的變式
所謂教法、學(xué)法的變式，即教師在一堂課中根據(jù)教材的特點(diǎn)在貫穿啟發(fā)式教學(xué)的同時(shí)，或講授、或點(diǎn)撥、或討論、或探索、或練習(xí)、或?qū)嶒?yàn)，運(yùn)用多種教學(xué)手段，不斷變換教與學(xué)的方法，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，使教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體作用達(dá)到和諧統(tǒng)一，大幅度提高課堂教學(xué)效率.
四、數(shù)學(xué)變式教學(xué)應(yīng)注意以下幾個(gè)方面
如上對(duì)主要的數(shù)學(xué)變式教學(xué)方法進(jìn)行了說明，但應(yīng)當(dāng)指出，數(shù)學(xué)變式不是為了變式而變式，而是要根據(jù)教學(xué)需要，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.其目的是通過變式訓(xùn)練，使學(xué)生在理解知識(shí)的基礎(chǔ)之上，把學(xué)到的知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，形成技能、技巧，完成“應(yīng)用――理解――形成技能――培養(yǎng)能力”的認(rèn)知過程.因此，數(shù)學(xué)變式教學(xué)要有一定的藝術(shù)性，要正確把握變式的度. 一般在數(shù)學(xué)變式教學(xué)時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：
1. 差異性. 數(shù)學(xué)變式教學(xué)要突出一個(gè)變字，避免簡(jiǎn)單的重復(fù).變式題組的題目要有明顯的差異，每道題要使學(xué)生既感到熟悉，又感到新鮮.從心理學(xué)的角度看，新鮮的題目對(duì)學(xué)生的刺激性強(qiáng)，學(xué)生的神經(jīng)興奮度高，做題時(shí)注意力就集中，思維就敏捷，從而能使訓(xùn)練達(dá)到較好的效果.因此，數(shù)學(xué)變式教學(xué)要努力做到變中求活，變中求新，變中求異，變中求廣.
2. 層次性.數(shù)學(xué)變式教學(xué)要有一定的難度，才能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極思考.但是，變式要由易到難，層層遞進(jìn)，讓問題處于學(xué)生思維水平的最近發(fā)展區(qū)，以充分激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲；要讓學(xué)生經(jīng)過思考，能夠跨過一個(gè)個(gè)門坎，從而起到培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，發(fā)展學(xué)生的智力的作用.
3. 開闊性.一幅好畫，境界開闊就會(huì)令人回味無窮.同樣，數(shù)學(xué)變式教學(xué)，一定要內(nèi)涵豐富，境界開闊，給學(xué)生留下充足的思維空間，讓學(xué)生感到內(nèi)容充實(shí).因此，所選范例必須要有典型性：一要注意知識(shí)的橫向聯(lián)系；二要能夠進(jìn)行一題多解；三要具有延伸性，可進(jìn)行一題多變.
4. 靈活性.根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況，數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練的方式要靈活多樣，口頭、書面、板演均可，力求使學(xué)生的獨(dú)立練習(xí)和教師的啟發(fā)引導(dǎo)下的半獨(dú)立練習(xí)相結(jié)合.同時(shí)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，有時(shí)可分散訓(xùn)練，有時(shí)可集中訓(xùn)練，有時(shí)一個(gè)題目的變式可分幾次完成，以充分展示知識(shí)螺旋上升的形式. 這種靈活的訓(xùn)練方式不僅可以提高學(xué)生的興趣，集中學(xué)生的注意力，而且可以使學(xué)生的多種感官參與學(xué)習(xí)，提高學(xué)生大腦和神經(jīng)的興奮度，達(dá)到最佳的訓(xùn)練效果.